Материал: Общая характеристика нагрева материалов

Рис. 12

Очевидно, что такая граница, строго говоря, существует только при T = 0 К, когда имеется определенная величина предельной энергии eф, выше которой нет ни одного занятого электронного энергетического уровня. С повышением температуры в распределении Ферми для электронов появляется так называемый «максвелловский хвост» термически возбужденных электронов. Поэтому при Т > 0 К появляется вероятность не только испускания фотоэлектронов, но и самопроизвольной термоэмиссии электронов из металла. Однако вследствие сильного вырождения электронного газа в типичных металлах «размывание» резкого спада Ферми в распределении электронов по энергиям весьма незначительно вплоть до комнатных температур и даже выше (100 - 1000 К), поэтому можно ожидать достаточной четкости красной границы и в области комнатных температур. Ее прецизионное определение требует проведения опытов при достаточно низких температурах и применения метода экстраполяции кривых спектрального распределения. Это предсказание теории вполне оправдывается на опыте.

Следует ожидать, что с ростом частоты света n число фотоэлектронов сначала будет возрастать за счет электронов, занимающих уровни в интервале энергий между Wa - hn и предельной энергией eф (рис. 12). Если частота света n становится такой, что энергия кванта больше высоты барьера hn > Wa, то число фотоэлектронов больше уже не имеет причин возрастать (если пренебречь ионизацией электронов, не входящих в число электронов проводимости, а также падающей световой волной).

Более того, так как с ростом частоты уменьшается вероятность элементарного акта поглощения света электронами, то при переходе через критическую частоту hn = Wa можно ожидать максимума на спектральной кривой фототока (селективный эффект). Это явно отслеживается экспериментально, особенно ярко для щелочных металлов, что объясняется относительно небольшой величиной потенциала Wa для этих веществ.

Большая величина свободного пробега электронов в металле позволяет допустить, что процессы столкновения электронов с фононами не должны заметно влиять на величину фототока. Широкий интервал энергий фотоэлектронов определяется не процессами столкновений электронов внутри металла, а тем, что в силу особых свойств фермиевской функции распределения электроны проводимости в металле уже при 0 К распределены в широком интервале энергий (от 0 до eф, причем eф ~ 10-12 эрг ~ 1 эВ).

Используя модель свободных электронов, можно произвести и количественный расчет, который, в частности, дает вполне удовлетворительное объяснение ряду количественных закономерностей фотоэффекта [33].

Допустим, что поверхность металла совпадает с плоскостью ху, а нормаль к ней - с осью z. Тогда ток электронов через поверхность определяется формулой

                            (66)

где N(e^) - число электронов, у которых нормальная составляющая энергии e^ = 0,5mu2^ лежит в интервале de^ и которые за 1 с падают на поверхность металла, a D(e) - вероятность прохождения электронов с нормальной энергией e^ через потенциальный барьер. Как показано в работе [34], величина N(e^) равна

 (67)

Действительно, из выражения для функции распределения Ферми следует, что число электронов, слагающая импульса pz которых лежит в интервале dpz, равно

Используя новые координаты pzVcosj, pyVsinj и интегрируя по углу j от 0 до 2p, получим

Введем новую переменную интегрирования z = V2 /2mkT и обозначим

где pz2/2m = e^, тогда получим

где

откуда следует (67), если умножить выражение n(e^) на скорость uz= =(2e^/m)0,5, что дает поток электронов за 1 с. В частности, из (67) при абсолютном нуле получаем

    (68)

Функция (68) имеет, очевидно, вид прямой линии.

Для определения вероятности D(e^) необходимо знать форму потенциального барьера, удерживающего электроны проводимости в металле. При заданном типе потенциального барьера вероятность может быть определена обычными квантовомеханическими методами.

Применение формулы (66) для вычисления фототока требует, во-первых, определение влияния падающего ЭМП на распределение электронов проводимости по энергиям и, во-вторых - использование измененной этим влиянием функции распределения для определения величины фототока. Для решения этих задач требуется:

- знать исходное распределение электронов проводимости по энергиям в отсутствие падающего света;

- определить вероятность элементарного акта поглощения фотона частоты v электроном энергии e, в результате которого электрон получит определенную нормальную составляющую энергии e¢^ (эта вероятность кроме n и e будет зависеть от интенсивности и поляризации света и от характера потенциального поля в металле);

- найти функцию распределения электронов, возбужденных светом, по значениям нормальной энергии к поверхности металла N¢(e¢^);

- определить вероятность D¢(e¢^) прохождения таких электронов через потенциальный барьер. Умножив функцию распределения возбужденных электронов на D¢(e¢^), получим выражение для числа электронов с определенной величиной нормальной энергии вне металла, созданных данной частотой света, т.е. кривую распределения фотоэлектронов по скоростям N¢(e¢^) D¢(e¢^). Наконец, интегрируя это выражение по всем возможным значениям «нормальных» энергий, мы получим полный фототок как функцию частоты и температуры j = f(n,T), т.е. спектральные характеристики эффекта при различных температурах.

Ввиду большой сложности точного проведения этой схемы расчета Р. Фаулер [35] предложил полуфеноменологическое решение для частного случая этой задачи. А именно, он ограничился рассмотрением сравнительно узкого интервала частот вблизи «красной границы» (примерно от n0 до 1,5 n0). Решение этой задачи, несомненно, имеет и практический интерес, поскольку экспериментаторов и практиков больше всего интересует вопрос не столько об определении полной кривой спектрального распределения, сколько вопрос о точном ходе этой кривой в узкой области частот вблизи красной границы [36 - 39]. Если ограничиться рассмотрением этой узкой области частот, то отсюда сразу следует, что фотоэлектроны имеют начальные энергии также в узком интервале вблизи предельной энергии Ферми eф. Так как на распределение этих «термически возбужденных» электронов температура оказывает сильное влияние, то следует ожидать, что и состояние фотоэлектронов в этом диапазоне частот будет сильно зависеть от Т. Поэтому в этом случае уже нельзя считать, что поверхность фотокатода находится при 0 К. Пользуясь узостью интервала начальных энергий, можно считать все величины, не очень резко зависящие от энергии электронов, практически постоянными. Можно также считать постоянными величины, зависящие от частоты n в небольшой степени, по сравнению с величинами, которые зависят от разности частот (n - n0).

Если учесть все эти упрощения, то программа расчета значительно облегчается. А именно, теперь нет необходимости определять вероятность элементарного акта поглощения фотона электроном, поскольку эту вероятность можно принять в данном случае постоянной. Хотя вероятность D(e¢^), по-видимому, и зависит от разности (n -n0), но Фаулер принимает, что D(e¢^) = 0 для электронов с энергией e¢^ < Wa и равна единице для e¢^ > Wa. Таким образом, можно воспользоваться формулой (67) для числа электронов, падающих на 1 см2 границы металла за 1 с, в интервале нормальных энергий от eф до eф+hn. Для определения числа электронов, которые могут выйти за границу металла, очевидно, необходимо проинтегрировать величину (67) в пределах от W - hn до ¥. Выбор нижнего предела связан с тем, что свет частоты n как бы смещает граничную энергию на величину hn и делает ее равной eф + hn, и потому появляются электроны с энергией, большей чем высота потенциального барьера Wa (см. рис. 12). Вместо вероятности элементарного акта поглощения фотона электроном введем, по Фаулеру, постоянный коэффициент v*, который показывает, во сколько раз значение функции распределения электронов, возбужденных светом, меньше этой функции для нормального газа электронов проводимости. Таким образом, для фототока получим

       (69)

Вводя новые переменные

после подстановки de^ = -kTdx¢, получим

          (70)

Функция  может быть найдена по таблицам или же представлена в виде рядов

    (71)

 (72)

Уравнение спектрального распределения окончательно можно записать в следующей форме:

(73)

Универсальная постоянная А0 = 4pmq0k2/h3 = 120 А×см-2×град-2.

Легко проверить, что при n = 0 и v* = 1 (при этом x = - hn0/kT <<0) из формулы (73) сразу получаем уравнение Ричардсона для термоэлектронной эмиссии:

Далее, для случая Т = 0 К, когда х = ± ¥, получаем

 (74)

Первое из уравнений (74) дает красную границу, а второе показывает, что для близких к ней частот спектральная характеристика имеет квадратичный характер. При температурах, отличных от 0 К, уже нельзя говорить о красной границе, ибо при Т > 0 и для n < n0, x £ 0 функция  отлична от нуля, к которому она стремится лишь асимптотически при . Поэтому при Т > 0 фототок существует не только при n>n0, но и при n £ n0. Однако можно сохранить представление об эффективной красной границе и при Т > 0, определив ее как частоту при х = 0 из уравнений Фаулера [40].

Остановимся еще на вопросе о температурной зависимости фототока. Из формулы (73) вытекает, что эта зависимость в сильной степени определяется величиной частоты света. Для трех частных случаев мы получаем:

если n = n0 (т.е. х = 0 и f(0) = 1), то j = v*A0T2;

если n ³ n0, то x >> 0, и в силу (69)

Следует заметить, что даже для интервала частот (n - n0), соответствующего интервалу длин волн ~ 10 нм, первое слагаемое в правой части гораздо больше второго, и поэтому фототок весьма слабо зависит от Т;

в) если n << n0, то x << 0, и в силу (71) приближенно имеем

т.е., получаем резкую зависимость от температуры. Если подобрать постоянные v* и n0 в формулах Фаулера путем наложения экспериментальных и теоретических кривых, то получается достаточно удовлетворительное согласие. Это убеждает в том, что изложенная полуфеноменологическая теория, по крайней мере качественно, хорошо отражает реальную природу фотоэффекта в металле. Можно также применить эту теорию к расчету распределения энергий фотоэлектронов, определяемых из вольт-амперных кривых для задерживающего потенциала [39].

7. Фотоэлектрический эффект под действием ЛИ

Высокие плотности потока ЛИ существенно изменили постановку классических задач об ионизации в поле сильной ЭМВ. Особенность здесь состоит в том, что в практически важных случаях энергия кванта ЛИ оказывается меньше потенциала ионизации, так что выход электрона из металла вызывается поглощением нескольких квантов. Среди опубликованных по этой теме работ имеются труды [41 - 43], в которых с помощью теории возмущений вычислена вероятность фотоэффекта с поглощением двух фотонов. Однако с увеличением числа фотонов, необходимых для вырывания электрона из металла, расчеты по теории возмущений становятся все более трудоемкими. Более эффективным оказывается подход, предложенный в работе Л.В. Келдыша [44], примененный к задаче о многоквантовом фотоэффекте в работе Ф.В. Бункина и М.В. Федорова [43].

Рассмотрим постановку задачи и метод решения, предложенный в работах [43, 44]. Пусть существует следующая упрощенная модель металла: электроны движутся в поле с постоянным потенциалом, который испытывает скачок на границе металл - вакуум:

                      (75)

(плоскость x = 0 есть граница металла с вакуумом). Для состояний электрона с положительной энергией eр = p2/2m волновая функция имеет вид

         (76)

где q2 = p2 + 2mU0 и ар, b+p, b-p - постоянные, определяемые из условий непрерывности при x = 0 и нормировки волновой функции. Аналогично, для состояний с отрицательной энергией ek = - k2/2m волновую функцию можно записать в виде

         (77)

где  - постоянные.

В формулах (76) и (77) опущены множители вида exp[i(ypy + +zpz)/ħ], которые будут учтены в конечном результате.

Принимаемые допущения (внешнее ЭМП имеет вид плоской волны; длина волны в рассматриваемом случае много больше характерной длины ħ/kF, где kF = [2m (u0 - eF)]0,5, eF - энергия Ферми) позволяют не учитывать зависимость напряженности поля от координаты и ограничиться дипольным приближением. Таким образом, потенциал внешнего поля имеет вид

где E - напряженность ЭП волны и q - угол падения волны на поверхность металла.

Далее вводится ортонормированная система функций вида [44]

      (78)

и волновая функция электрона, в начальный момент времени находившегося в состоянии Yk, представляется в виде

Теперь, в отличие от обычной теории возмущений, вычисляется вероятность перехода электрона из начального состояния не в стационарное конечное состояние, а в состояние типа (68). При этом точно учитывается основной эффект действия сильного поля на свободный электрон; поправка же, связанная с несвободным характером движения электрона, вводится в окончательном результате.

Вероятность перехода электрона из состояния Yk в состояние Yp в единицу времени равна

Для вычисления тока эту вероятность необходимо просуммировать по всем состояниям электрона внутри металла и по импульсам выходящих из него электронов (при этих вычислениях должны быть учтены множители вида exp[(i(ypy + zpz)/ħ]).

После выполнения необходимых интегрирований для плотности тока получается весьма громоздкое выражение, которое можно упростить в некоторых предельных случаях. Приведем здесь окончательные результаты только для этих случаев [43, 44].

Рассмотрим случай, когда

Плотность тока при этом определяется формулой

              (79)

Если кроме gF << 1 выполняется еще и условие gF(U0 - eF)/ħw >> 1 (первое означает, очевидно, что напряженность поля велика, а второе - что частота поля мала), то написанное выражение переходит в следующее:

          (80)

Последняя формула отличается от обычной туннельной формулы для тока автоэлектронной эмиссии множителем

             (81)

Появление этого множителя связано с приближением, вносимым выбором функций Yр(х, t). Чтобы уточнить формулу (79), можно ввести в нее в качестве поправки при всех значениях gF множитель (81).