Материал: Общая характеристика нагрева материалов

             (11)

                         (12)

где  - вектор поля скоростей; Qu - объемное тепловыделение в системе, обусловленное действием источника тепла.

Коэффициенты объемной теплоемкости сr и электронной теплопроводности k¢e являются функциями температуры, поэтому система (11), (12) нелинейна. Из-за математических трудностей приходится делать упрощающие предположения. В частности, обычно для металлов считают, что температурная зависимость теплофизических коэффициентов не оказывает существенного влияния на температурное поле. Если, кроме того, среда неподвижна, а поглощение излучения происходит в тонком поверхностном слое, величина которого ~a-1 (a - коэффициент поглощения), то система (11), (12) упрощается:

                    (13)

где k* = k¢e/(cr) - коэффициент температуропроводности [см2/с].

Совместно с краевыми условиями

¶T/¶z = 0 при z = 0;                         (14)

T= 0 при z = ¥ ;

t = 0                              (15)

система (11) - (15) описывает нагрев полубесконечного тела, начиная со времени ti > 10-9 с. Граничное условие (14) справедливо только в том случае, если плотность потерь тепла с поверхности с помощью лучеиспускания (по закону Стефана-Больцмана), конвекции (по закону Ньютона) или испарения мала по сравнению с величиной плотности потока ЛИ. Если это условие не выполняется, то соотношение (14) должно быть изменено. При этом ¶Т/¶z > 0 при потерях теплоты на лучеиспускание или конвекцию и ¶Т/¶z £ 0 при испарении. Здесь Т является функцией пространственных координат х, у, z и времени τ.

Рассмотрим общую задачу о скорости установления равновесия между электронами и решеткой [16].

Электроны в металле, вносящие заметный вклад в передачу энергии решетке, движутся со скоростями порядка фермиевской uF ~ ~~108 см/с (eF - энергия Ферми, m - масса электрона), которая значительно превышает скорость звука в металле, равную примерно 3×105 см/с. Поэтому передачу энергии от электронов решетке можно рассматривать как черенковское излучение звуковых волн сверхзвуковыми электронами.

Согласно теории упругости смещение , вызванное силой

 = - UÑd( - t)

(U - постоянная взаимодействия электрона с решеткой, входящая в выражение для времени свободного пробега), с которой электрон действует на решетку [14, 17], рассматриваемую как упругий континуум, удовлетворяет волновому уравнению

¶2/¶t2 - s2D= - UÑd( - t)/r,          (16)

где r - плотность металла и s - скорость звука. Разлагая смещение и d-функцию в интеграл Фурье и подставляя в (16), можно получить для смещения выражение

 =.                  (17)

Потери энергии электроном вычисляются далее, как работа силы, с которой электрон действует на упругую среду:

                (18)

После подстановки в (13) производной по времени от (17) вычисление de/dt сводится к квадратурам. Не останавливаясь на деталях этого вычисления, приведем окончательный результат [13]:

     (19)

Здесь km - максимальное значение составляющей волнового вектора k, перпендикулярной к направлению движения электрона. Появление этого параметра связано с тем, что для очень коротких волн кристалл нельзя рассматривать как сплошную среду.

Для вычисления энергии, теряемой электронами в единице объема за единицу времени, выражение (19) следует просуммировать по всем электронам. С учетом того, что в передаче энергии принимают участие только электроны, находящиеся на краю распределения Ферми, получаем следующее выражение для передаваемой энергии:

              (20)

где n - число электронов в единице объема (~ 6×1022 см-3), а0 - постоянная решетки. Последнюю формулу удобно переписать, используя выражение для времени свободного пробега электрона [14, 17]

          (21)

где tе(Т) - время свободного пробега, при вычислении которого температуры электронов и решетки предполагаются одинаковыми и равными Т. Так как при температуре выше дебаевской время релаксации обратно пропорционально температуре, то вместо (20) и (21) можно написать

                       (22)

где коэффициент теплообмена электронов с решеткой kei практически не зависит от температуры и равен

Чтобы оценить численное значение kei, можно взять величину Tte из данных по электропроводности. Здесь воспользуемся сравнительно грубой оценкой [17] (дающей правильный порядок величины электропроводности для большинства металлов) Ttе (Т) » 10-11 с×град, из которой следует приближенное выражение для коэффициента теплообмена:

kei » 10-16 ns2.                              (23)

Численное значение kei в типичном случае n = 6×1022 см-3, s = 3×105 см/с равно

kei » 10-16 ns2 = 5×1017 эрг×см-3×с-1×град-1 [5×1010 Вт/(см3 град)].

Если теперь обозначить через ci теплоемкость решетки, рассчитанную на единицу объема, то величина tр = сi/kei будет играть роль характерного времени изменения решеточной температуры, связанного с обменом энергией между электронами и решеткой. Величина tе¢= =сe/kei играет аналогичную роль для электронов. Из-за малой величины теплоемкости вырожденного электронного газа tе¢ при температуре порядка тысячи градусов оказывается в несколько десятков раз меньше, чем tр (типичные значения tр ~ 10-10, tе¢ ~ 10-12 с).

Выясним теперь вопрос о том, как влияет электрон-решеточная релаксация на температуропроводность металла.

Выше отмечалось, что в интервале температур от сотен до десятков тысяч градусов Кельвина основным механизмом переноса энергии является электронная теплопроводность. Существенная при низких температурах фононная теплопроводность в указанном интервале температур меньше электронной по крайней мере на порядок [14, 18]. Лучистый перенос энергии начинает играть заметную роль при температурах, значительно больших, чем 104 К, которые мы пока не будем рассматривать.

При температурах выше дебаевской коэффициент электронной теплопроводности k¢e составляет несколько единиц Вт/(см×град) [14]. Этому значению k¢e соответствует коэффициент температуропроводности k* = = порядка 0,1 - 1,0 см2/с. Такая температуропроводность характерна для медленных процессов, постоянная времени которых много больше, чем tр, так что в металле успевает установиться равновесие между электронами и решеткой и «работает» полная теплоемкость (сi + се). Если же характерное время изменения теплового потока мало по сравнению с tр, так что отсутствует равновесие между электронами и решеткой, процесс характеризуется «высокочастотным» коэффициентом температуропроводности , который в несколько десятков раз больше, чем приводимый обычно в таблицах коэффициент k*. В этом случае имеет место заметная разница между температурами решетки и электронов.

Для определения температуры металла, поглощающего световой импульс, необходимо решить задачу теплопроводности для электронов и решетки, рассматриваемых как отдельные подсистемы со своими температурами, и учесть теплообмен между ними, описываемый соотношением (19). Такой подход пригоден, очевидно, при том условии, что время установления равновесия в подсистемах много меньше времени установления равновесия между ними.

Система уравнений, описывающая распределение температур в металле, может быть записана в виде

         (24)

В (24) F(,t) есть энергия, получаемая электронами в результате поглощения света, отнесенная к единице объема.

Система уравнений (24) нелинейна, ее коэффициенты зависят от температуры. Наиболее существенно учесть температурную зависимость электронной теплоемкости, которая дается выражением [18]

                           (25)

Решая систему уравнений (11), можно исследовать характер изменения со временем электронной и решеточной температур [16]. Чтобы избежать вычислительных осложнений (учет которых не дает ничего принципиально нового), упростим задачу в соответствии с условиями эксперимента. Во-первых, будем считать, что поток света плотностью Q(t) равномерно распределен по поверхности х = 0 металла, занимающего полупространство x > 0. Такое допущение правильно, если размер площадки, на которую фокусируется ЛИ, а также толщина образца, много больше, чем расстояние, на которое распространяется в металле тепло за время действия светового импульса. Эти условия практически всегда оказываются выполненными ввиду малой продолжительности импульсов.

Во-вторых, будем считать, что поглощение света происходит в бесконечно тонком слое вблизи поверхности металла, т.е. положим F(,t) = =Q(t)d(x). Как будет видно далее, это предположение хорошо выполняется, начиная с моментов времени порядка cе(Тн)/kei ~ 10-12 с (Тн - начальная температура металла), и потому является вполне приемлемым.

Прежде чем приступить к решению системы (24), обсудим качественный характер изменения температур Ti и Те. До времени порядка tе¢(Tн) = сe(Тн)/kei теплообмен с решеткой никак не сказывается на температуре электронов. В течение этого времени электроны как бы теплоизолированы, и их температура быстро растет. Поскольку решетка при этом остается холодной вплоть до времени порядка tр = сi/kei, то рост электронной температуры продолжается до тех пор, пока поток энергии к ионам kei (Те - Тi) » keiТе не сравняется с поглощаемым световым потоком. В дальнейшем электроны будут передавать решетке практически всю поглощаемую энергию, и их собственная внутренняя энергия будет меняться очень мало. Выравнивание электронной и решеточной температур происходит за время, превышающее tр, после чего металл характеризуется одной температурой Т и низкочастотной температуропроводностью k*.

Таким образом, при t ® ¥ решение системы уравнений (24) должно стремиться к решению обычной задачи теплопроводности для полупространства. Отметим, что так, как описано выше, процесс протекает только в том случае, когда внешний поток Q(t) изменяется не слишком быстро. Напомним, кроме того, что под Q(t) мы здесь понимаем поглощенную часть светового потока.

Перейдем теперь к решению системы уравнений (24). Рассмотрим сначала времена, много большие, чем се/kei. При этом, как было отмечено выше, изменение энергии электронного газа незначительно, се(¶Те/¶t) << ci(), и им можно пренебречь. В результате задача существенно упрощается, поскольку уравнения с хорошей точностью можно считать линейными. В дальнейшем мы получим решение нелинейной задачи, правильное при малых временах, и установим пределы применимости линейного решения. С учетом сказанного система (24) при t >> ce/kei преобразуется к виду

           (26)

Искомое решение должно удовлетворять следующим начальному и граничным условиям:

                    (27)

Для решения задачи (26), (27) воспользуемся преобразованием Лапласа по времени. Обозначая

и выполняя стандартные вычисления, придем к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для функции (х,s). Интегрируя это уравнение и обращая решение с использованием теоремы о свертке, получим следующее выражение для температуры решетки на поверхности x = 0:

    (28)

где I0(z) - функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.

Выражения для электронной температуры и разности температур (Те - Ti) можно получить из (28), заменив под интегралом функцию Q(t) соответственно на

Q + tр dQ/dt и tрdQ/dt.

Как было отмечено, при изучении действия ЛИ на металлы представляют интерес два режима освещения: моноимпульс длительностью порядка 10-8 с (генерируемый при модулировании добротности) и последовательность импульсов («пичков») длительностью порядка 10-8 с каждый, составляющих вместе импульс длительностью порядка 10-3 - 10-4 с (режим свободной генерации). В обоих этих случаях характерное время изменения плотности светового потока значительно превосходит время релаксации решеточной температуры tр, что позволяет упростить выражение (28). Используя асимптотическое разложение функции I0(z) при больших z [19]  получим вместо (28) выражение

          (29)

которое совпадает с решением обычной «низкочастотной» задачи тепло-проводности.

Из (28) и (29) следует, что изменение со временем температуры поверхности будет запаздывать относительно изменения плотности светового потока. По порядку величины это запаздывание совпадает с характерным временем изменения плотности светового потока.

Рассмотрим теперь поведение решения (28) при малых временах t£tр.

Из сказанного выше о виде функции Q(t) следует, что за времена порядка tр плотность светового потока меняется мало, поэтому в рассматриваемом интервале ее можно аппроксимировать линейной функцией времени: Q(t) = const(t). Вычисляя интеграл в (28), получаем

 (30)

Для электронной температуры в этом случае получается выражение

 (31)

В предельном случае t << tр (но в то же время, конечно, t >> ce/kei) из (30) и (31) получаем

т.е. температура электронов много больше, чем температура решетки.

При малых временах разность между электронной и решеточной температурами практически равна первой из них и линейно растет со временем в пределе t << 0,5ti. По мере нагревания решетки, рост разности температур (Te - Ti) замедляется и вблизи максимума функции Q(t) достигает своего наибольшего значения. Чтобы оценить его, заменим реальный импульс треугольным с полушириной, равной длительности импульса t0 = ti. После несложных вычислений получим

               (32)

Полагая, например,

t0 = 10-8 с, k* = 1 см2/c, получим

(Te - Ti)max » 10-7 Qmax (Q - в Вт/см2).

Как следует из постановки задачи, при высоких (Qmax ³ 109 Вт/см2) плотностях потока такая оценка должна быть несколько завышенной, поскольку она не учитывает потерь энергии на термоэлектронную эмиссию, а также изменения коэффициента поглощения в результате нагревания и движения среды, уже заметного к моментам времени порядка t ~ 10-8 с. Тем не менее при потоке порядка 109 Вт/см2 и длительности импульса порядка 10-8 с максимальная разность между электронной и решеточной температурами оказывается порядка нескольких сотен градусов, и ею нельзя пренебрегать, ссылаясь лишь на малость времени электрон-решеточной релаксации. При более коротких импульсах разность температур будет, очевидно, еще больше. В то же время в режиме свободной генерации эта разность температур, по крайней мере, на порядок меньше, и, как правило, ее можно не учитывать.