Материал: Нахождение точки бифуркации линейных периодических систем (80
Одним из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Он служит одним из методов Рунге – Кутта первого порядка. Вычисления значения xm искомого решения задачи (17) проводятся по формуле
|
|
|
|
xm+1=xn+h f(tm , xm ) . |
|
|
|
|
|
(18) |
||||
Наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка |
||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
h |
|
|
h |
|
|
|
|||
|
−ω) |
|
, xm ) +ω f (tm + |
|
|
3 |
|
|||||||
xm+1 = xm +h |
(1 |
f (tm |
|
|
, xm |
+ |
|
|
f (tm , xm )) |
+o(h |
) . (19) |
|||
2ω |
2ω |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При ω = |
1 |
мы получаем исправленный метод Эйлера, при ω = 1 полу- |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чаем модификационный метод Эйлера. Для всех ω, отличных от нуля, ошибка ограничения имеет порядок h3.
Методы Рунге – Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делается при выводе методов первого и второго порядков. Приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка – один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге – Кутта описыва-
ется системой следующих пяти соотношений: |
|
|
|
||||||||||||||
x |
m+1 |
= x |
m |
+ h (R + 2R |
+ R + R |
4 |
), |
(20) |
|||||||||
|
|
|
|
6 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R1 = f (tm , xm ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
|||||||
|
|
|
+ h R1 ) , |
|
|
||||||||||||
|
|
R |
= |
f (t |
m |
+ h , |
x |
|
|
(22) |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
m |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
= |
f (t |
m |
+ h , |
x |
+ |
|
h R2 |
) , |
|
|
(23) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
m |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
= |
f (t |
m |
+ h , x |
+ |
h R3 |
) . |
|
|
(24) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
m |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точность вычислений для этого метода имеет порядок h5 , так что формулы (20)–(24) описывают метод четвертого порядка. Заметим, что при исполнении этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.
В приведенных формулах f (t, x) может быть как скалярной, так и век-
торной функцией.
На следующей странице приводится список параметров для заданий по теме описанной здесь лабораторной работы.
11
12
Учебное издание
Кацаран Татьяна Константиновна, Строева Любовь Николаевна
НАХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ (лабораторная работа)
Методическое пособие для студентов вузов
Корректор В.П. Бахметьев
Подп. в печ. 14.02.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 0,76. Тираж 30 экз. Заказ 1042.
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33
13