Материал: Нахождение точки бифуркации линейных периодических систем (80

где fn(σ ) (t) – Т-периодические вектор-функции с кусочно-непрерывной интегрируемой производной. Каждая группа решений соответствует элементарному делителю (λ −α(σ))mσ матрицы К.

Собственные значения матрицы К называются характеристическими показателями системы (1). Каждому характеристическому показателю α соответствует одно или несколько решений системы (1) вида

где f (t) – T-периодическая векторная функция. Обратно, если найдено ре-

шение вида (10), то α – характеристический показатель. Причем для каждого мультипликатора ρ системы (1) можно указать множество характери-

стических показателей α , таких, что ρ = eαT .

Из последнего равенства получаем следующую формулу связи между характеристическими показателями и мультипликаторами T-периодической линейной системы дифференциальных уравнений:

T1 ln ρ =α + 2πim, m Z .

На основании вышеизложенных фактов о структуре решений системы

(1) и общих теорем об устойчивости линейных систем сформулированы следующие теоремы об устойчивости системы (1) в терминах характеристических показателей и мультипликаторов.

Предположим, что элементы матрицы А(t) представляют собой кусоч- но-непрерывные, интегрируемые на каждом конечном интервале вещественной оси функции. Это гарантирует существование, единственность и продолжимость решения задачи Коши x(t0 ) = x 0 при всех t ≥ t0 .

Теорема 1. При сделанных предположениях относительно матрицы А(t) система (1) устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части всех ее характеристических показателей не положительны, причем в случае чисто мнимых или нулевых характеристических показателей максимальная из размерностей соответствующих им клеток Жордана матрицы К должна быть равна 1.

Следствие. Система (1) неустойчива тогда и только тогда, когда существует характеристический показатель системы с положительной вещественной частью или характеристический показатель, вещественная часть ко-

6

торого равна 0, а размерность соответствующей ему клетки Жордана матрицы К больше 1.

Теорема 2. При сделанных ранее предположениях относительно матрицы А(t) система (1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части всех ее характеристических показателей отрицательны.

Теорема 3. При сделанных выше предположениях относительно матрицы A(t) система (1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мульти-

пликаторы лежат внутри или на границе круга, радиус которого равен единицы на комплексной плоскости, причем, если мультипликаторы лежат на границе этого круга, максимальная размерность соответствующих им клеток Жордана матрицы монодромии должна быть равна единице.

Теорема 4. При сделанных ранее предположениях относительно матрицы A(t) система (1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, ко-

гда ее мультипликаторы лежат внутри круга радиусом единица на комплексной плоскости.

Теорема 5. Линейная T-периодическая система (1) с кусочнонепрерывной, интегрируемой на каждом конечном промежутке вещественной прямой матрицей-функцией A(t) имеет T-периодическое решение тогда

и только тогда, когда по крайней мере один из его мультипликаторов равен единице; она имеет 2T-периодическое решение тогда и только тогда, когда существует мультипликатор, равный (−1).

Таким образом, задача исследования устойчивости линейной Т-периодической системы сводится к построению матрицы монодромии и нахождению ее мультипликаторов.

2. Постановка задачи

Приведенные здесь теоретические сведения являются предисловием к постановке следующей задачи: рассматривается слабовозмущенная Т-пе- риодическая система:

Функции bij (t) , i, j {1, 2} предполагаются кусочно-непрерывными, ин-

тегрируемыми на каждом конечном промежутке вещественной прямой, T-периодическими.

7

Условия (12) гарантируют асимптотическую устойчивость системы при ε = 0 . При малых изменениях параметра ε система (1) сохраняет устойчивость, при дальнейшем возрастании ε наиболее вероятен переход

системы в неустойчивое состояние. Если a11 + a22 > 0 , что гарантирует по-

ложительность одного или обоих собственных значений матрицы A ={aij }i, j=1,2 , а в случае комплексно-сопряженных собственных значений

положительность их вещественных частей, система (11) неустойчива. Более подробно: существуют такие значения ε1 < 0 , ε2 > 0 ,δ1 > 0, δ2 > 0 , что при

чения ε1, ε2 называются, как правило, точками бифуркации системы. Задача состоит в том, чтобы найти минимальные значения ε

(ε1 < 0 ,ε2 > 0 ), при которых происходит переход системы из устойчивого

состояния в неустойчивое или наоборот, и исследовать поведение решений системы в окрестности точек бифуркации.

Конкретнее, решение поставленной задачи состоит из следующих эта-

пов:

а) для данной Т-периодической системы линейных дифференциальных уравнений исследовать наличие точек бифуркации при ε ≤ε0 ;

б) построить графики зависимости от ε модулей мультипликаторов на промежутке ε ≤ε0 ;

в) найти минимальные по модулю точки бифуркации системы (11):

ε1 < 0 , ε2 > 0 , εk <ε0 , k = 1, 2 .

Обозначим ρk (ε) за мультипликатор системы (11), удовлетворяющий

условиям

ρk (εk −δ) <1, ρk (εk +δ) >1

д) в заключение ответить на следующие вопросы:

– является ли система (11) при ε = 0 асимптотически устойчивой или экспоненциально неустойчивой?

8

–какие другие возможности качественного поведения решений исследуемой системы при ε = 0 существуют?

–существуют ли на указанном промежутке ε ≤ε0 точки бифуркации

ε1 , ε2 , удовлетворяющие условиям пункта в (если существуют, указать их)?

–существуют ли качественные изменения графиков решений системы, удовлетворяющие условиям (13), при значениях параметра до и после точек бифуркации и можно ли дать им количественную оценку (если существуют, то сделать это)?

3.Алгоритм решения задачи

1.Найти период исследуемой системы: это наименьшее положительное

число T = n1T11 = n2T12 = n3T21 = n4T22 , где n1 , n2 , n3 , n4 – натуральные чис-

ла; Tij = 2π αij , i, j = 1, 2 .

2. Исследовать характер устойчивости системы при ε = 0. Данный алгоритм применим только в случае, если система (11) при ε = 0 асимптоти-

инаходятся мультипликаторы системы (11).

4.Построить графики зависимости от ε абсолютных величин мульти-

пликаторов на промежутке ε ≤ε0 .

5. Исследовать наличие интервалов (lh,(l +1)h) (−ε0 ,ε0 ), l Z , та-

ких, что по крайней мере для одного из мультипликаторов, обозначим его ρ1 (ε) , выполнено неравенство

9

то при изменении параметра ε (lh,(l + 1)h) система (11) переходит из ус-

тойчивого состояния в неустойчивое, точка бифуркации находится на интервале (lh,(l +1)h).

Далее: если выполняются неравенства

ρ1 (lh) >1, ρ1 ((l +1)h) <1, ρ2 ((l +1)h) <1,

то при изменении параметра ε (lh,(l +1)h) система (11) переходит из неус-

тойчивого состояния в устойчивое, точка бифуркации системы находится на этом интервале.

Замечание. Случаи, когда мультипликаторы системы (11) двукратные и лежат на единичной окружности, требуют особого рассмотрения.

из которых выполняются неравенства (15) либо (16). Найти точки бифуркации ε1 > 0 , ε2 < 0 исследуемой системы методом деления отрезка пополам.

7. Построить матрицы монодромии системы (11) при следующих значениях параметра ε =εi ±δ , где i = 1, 2 , 0 < δ << h ; при каждом из этих зна-

чений найти один из мультипликаторов системы и соответствующий ему собственный вектор, который обозначим aG±i , i = 1, 2 .

8. Построить графики решений x±(k ) (t) , k = 1, 2 исследуемой системы на интервале [0, 2T], удовлетворяющие начальным условиям (13).

9. По результатам проведенных исследований оформить выводы. Ниже приводится описание метода Рунге – Кутта, который использу-

ется при решении задачи Коши (14) для системы (11) на промежутке [0, T ].

4. Методы Рунге – Кутта

Методы Рунге – Кутта применяются при численном решении задачи

Методы Рунге – Кутта обладают следующими свойствами:

1.Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти xm+1 , нужна информация о предыдущей точке tm , xm .

2.Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень р различна для различных методов и называется порядковым номе-

ром или порядком метода.

3. Они не требуют вычисления производных от f (t, x) , а требуют вычисления самой вектор-функции.

10