Материал: Нахождение точки бифуркации линейных периодических систем (80
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Т. К. Кацаран, Л. Н. Строева
НАХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ (лабораторная работа)
Методическое пособие для студентов вузов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2011
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 30 июня 2011 г., протокол № 10
Рецензент канд. техн. наук, доц. Б.Н. Воронков
Методическое пособие подготовлено на кафедре нелинейных колебаний факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 4-го курса дневного отделения факультета ПММ.
Для специальности 010502 – Прикладная информатика (по областям)
2
В настоящей работе исследуются системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами вида
dxdt = (A + εB(t))x,
где ε – малый параметр, т.е. системы, мало отличающиеся от систем с постоянными коэффициентами. Здесь x Rn , A – постоянная матрица, B(t) –
интегрируемая на каждом конечном промежутке вещественной прямой матрица-функция, B(t + T ) = B(t) , t R , T > 0 . Системы такого вида при-
нято называть слабовозмущенными.
Известно, что матрицант системы X (t,ε) при любом фиксированном t является аналитической функцией параметра ε в промежутке ε < r0 .
Многие задачи современной техники приводят к исследованию систем указанного вида. Для этих систем требуется определить порядок роста или убывания решений, выделить области устойчивости или неустойчивости системы на плоскости или прямой параметров. Часто «невозмущенная» система для ε = 0 является устойчивой, но не асимптотически, при этом возмущенная система может быть неустойчивой даже при сколь угодно малых ε .
Эти задачи сводятся к вычислению характеристических показателей (или мультипликаторов системы) при малых ε .
В настоящей работе применяется прямой метод для исследования таких систем. Он сводится к численному нахождению мультипликаторов системы и исследованию их зависимости от ε .
3
1. Системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Рассматривается система дифференциальных уравнений
|
dx |
= A(t)x , |
(1) |
|
|
dt |
|||
|
|
|
||
где x = (x1 , ...,xn ), A(t) = {aij (t)}i, j= |
|
– кусочно-непрерывная, интегрируемая |
||
1,n |
||||
на каждом конечном промежутке вещественной прямой матрица-функция. Будем считать всюду в дальнейшем, что для некоторого T > 0 и всех
t R выполняется равенство
A(t + T ) = A(t) , |
(2) |
т.е. что коэффициенты системы (1) являются периодическими функциями периода Т.
Определение. Матрицантом системы (1) называется ее фундаментальная матрица X (t) , удовлетворяющая условию X (0) = I .
Утверждение. Матрицант системы (1), (2) удовлетворяет тождеству
X (t + T ) = X (t) X (T ) . |
(3) |
Действительно, обе части равенства (3) удовлетворяют матричному уравнению dXdt = A(t) X , в силу единственности решения задачи Коши ко-
торого обе части равенства тождественно равны.
Обратное утверждение. Пусть X (t) – дифференцируемая невырож-
денная матрица-функция размерности n ×n , |
удовлетворяющая при всех |
|
t R тождеству (3). Тогда |
X (t) является матрицантом уравнения (1) с |
|
Т –периодической матрицей A(t) . |
|
|
Действительно, |
|
|
A(t + T ) = dX (t + T ) X −1 (t + T ) = |
||
|
dt |
|
dX (t) X (T ) X |
−1 (T ) X −1 (t) = dX (t) |
X −1 (t) = A(t) , |
dt |
dt |
|
что и требовалось доказать. |
|
|
Определение. Пусть X (t) – матрицант системы (1). Матрица X (T ) на-
зывается матрицей монодромии, а ее собственные значения – мультипликаторами системы (1). Совокупность мультипликаторов называется спек-
тром этой системы. |
|
Мультипликаторы удовлетворяют уравнению |
|
det[ X (T ) − ρI ] = 0 , |
(4) |
которое называется характеристическим уравнением системы (1).
4
Пусть aG – собственный вектор матрицы монодромии, отвечающий некоторому мультипликатору ρ , т.е.
X (T )a = ρa , a ≠ 0 . |
(5) |
G Пусть x(t) – решение уравнения (1) с начальным условием |
x(0) = a |
( a – вообще говоря, комплексный собственный вектор при вещественной матрице A(T ) ); оно выражается через матрицант в виде
x(t) = X (t)a ,
используя равенства (3) и (5), получим
x(t + T ) = X (t + T )a = X (t) X (T )a = ρX (t)a = ρx(t) ,
а именно
x( t + T ) = ρx( t ) . |
(6) |
Таким образом, каждому мультипликатору соответствует решение системы (1), удовлетворяющее (6). Если предположить, что выполнено (6), где x(t) ≠ 0 , тогда при t = 0 имеем
x(T)=ρx(0) ,
так как x(T ) = X (T )x(0) , то мы получаем Х(Т)х(0) = ρх(0), х(0) ≠ 0. Откуда следует
det[ X (T ) − ρI ] = 0. |
(7) |
Теорема Флоке – Ляпунова. Матрицант уравнения (1) с Т-периодичес- кой матрицей A(t) представим в виде
X (t) = F (t)eKt , |
(8) |
где F (t) – неособая, Т-периодическая, непрерывная с интегрируемой ку-
сочно-непрерывной производной матрица-функция размерности n ×n , удовлетворяющая условию F (0) = I , К – постоянная матрица порядка n ×n .
Обратно, пусть F (t) – матрица-функция с указанными свойствами, К – произвольная постоянная матрица. Тогда X (t) , определяемая равенством (8),
является матрицантом некоторой системы (1) с Т-периодической матрицейфункцией A(t) .
Доказательство этой теоремы как в случае матрицанта, так и в случае произвольной фундаментальной матрицы приводится в монографии Якубовича В.А., Старжинского В.М. «Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения».
Из теоремы Флоке – Ляпунова следует, что система (1) имеет фундаментальную систему решений, распадающуюся на s групп, каждая из которых имеет вид:
5