Материал: Начертательная геометрия. Балаганская Е.А
9.2. Параллельные прямые
(Свойство 6)
Пусть a // b . Одноименные проекции отрезков прямых линий параллельны и находятся в таком же соотношении, как
и длины самих отрезков (рис. 9.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
a1 |
|
|
a |
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
||||||||
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 9.2. Параллельные прямые |
|
||||||||||||||||||||||
Задача 9.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дано: прямая m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Надо: провести прямую |
n так, чтобы |
выполнялось |
|||||||||||||||||||||
условие n // m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проекции |
|
прямой |
|
n |
|
|
(рис.9.3) |
параллельны |
|||||||||||||||
соответствующим проекциям прямой : n2 // m2 ; |
n1 // m1 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
n2 |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
n1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рис. 9.3. Решение задачи 9.2 Следует отметить, что пересекающиеся и параллельные
прямые принадлежат одной плоскости.
9.3. Скрещивающиеся прямые
(Свойство 7)
Если прямые принадлежат разным плоскостям, то они являются скрещивающимися.
Одноименные проекции двух пересекающихся прямых могут пересекаться, точки их пересечения не лежат на одной линии связи (9.4) или быть параллельными (9.4).
a2 |
|
K |
|
A |
|
L2 |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
B2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
B1 L1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a1 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис.9.4. Скрещивающиеся прямые с |
|||||||||||
пересекающимися проекциями |
|||||||||||
|
|
m2 |
K2 |
|
A2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
m1 |
|
|
|
K1 |
||||||
|
n1 |
|
|
34 |
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Рис.9.4. Скрещивающиеся прямые с параллельными проекциями
Вопросы для самопроверки:
1. Как могут располагаться в пространстве две прямые линии?
10. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая параллельная плоскости параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Поэтому, чтобы на эпюре Монжа задать прямую a параллельную плоскости
( a // ), необходимо |
и достаточно в плоскости |
взять |
произвольную прямую b и провести a // b . |
|
|
Задача 10.1. |
|
|
Дано: плоскость |
задана треугольником (рис.10.1). |
|
Надо:провести прямую a параллельную данной плоскости.
Решение
1.Провести прямую a параллельно какой-либо стороне треугольника: a // AB ; a // BC ; a // AC
2.Провести прямую a параллельно любой прямой d принадлежащей плоскости: a // d 
3.Провести прямую a параллельную прямым уровня
(горизонтали или фронтали): a // h , a // f
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
A2 |
|
a1 |
|
A2 |
a1 |
|
C2 |
B1 |
a1 |
|
Рис.10.1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
C1 |
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
K1 |
|
|
|
задачи 10.1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a2 |
|
35 |
|
|
|
|
2 |
|
|
a2 |
|
a2 |
||
B2 |
|
A1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
n2
a2
11. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Две плоскости параллельны, если в одной из них можно провести две пересекающиеся прямые параллельно двум пересекающимся прямым в другой плоскости.
Чтобы задать на эпюре Монжа плоскость |
a b , |
|
параллельную плоскости |
m n , достаточно указать |
|
проекции пересекающихся |
прямых a и b , соответственно |
|
параллельных прямым m и n .
1.плоскости заданы следами
fo
fo
ho
fo
x |
ho |
ho |
|
2. плоскости заданы |
пересекающимися прямыми |
n2 |
a2 |
m2 |
b |
|
2 |
x m1 |
b |
|
1 |
n1
a1
3. плоскости заданы треугольниками
|
B2 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
b2 |
||
A2 |
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
x A |
|
36 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Круг задач, ответы на которые, можно получить графическим путем, чрезвычайно широк. Все они могут быть отнесены к двум классам:
1класс – позиционные задачи;
2класс – метрические задачи.
Деление между этими классами условно. Как правило, чтобы решить метрическую задачу необходимо выяснить позиционные отношения между геометрическими элементами, входящими в условие задачи, т.е. решить позиционную задачу.
Под позиционными задачами подразумеваются задачи, решение которых позволяет получить ответ о принадлежности
элемента |
(точки) или |
подмножества |
(линии) |
множеству |
||
(поверхности). |
|
|
|
|
|
|
Позиционные задачи разделяются на две группы: |
|
|||||
1. задачи на принадлежность (инцидентность): |
|
|
||||
а) принадлежность точки линии ( A |
l ); |
|
|
|||
б) принадлежность точки поверхности A |
; |
|
||||
в) принадлежность линии поверхности ( l |
); |
|
||||
2. задачи на пересечение: |
|
|
|
|
||
а) на пересечение линии с линией ( l |
m ); |
|
|
|||
б) |
на |
пересечение |
поверхности |
с |
||
поверхностью( |
); |
|
|
|
|
|
в) на пересечение линии с поверхностью ( l |
|
). |
||||
12.1. Принадлежность точки линии
(Свойство 3)
37