Материал: МОС Задачник
Для нахождения поправки необходимо провести двойную интерполяцию по разности моментов по разности широт. Проведем сперва интерполяцию по Т.
При изменении Т на +4 минуты (1ч24м – 1ч20м) поправки меняются на +1м (для
Δφ=3º30’) и на +2м (для Δφ=4º00’). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем значение поправок при изменении |
Т на +2 минуты (1ч22м – 1ч20м). Составим |
|||||||
пропорции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 м |
+1 |
4 м |
+2 |
|
|||
|
2 м |
x |
2 м |
x |
|
|||
х |
2 ( 1) |
0,5м |
х |
2 ( 2) |
|
1м |
||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
Таким образом для Δφ=3º30' поправка будет равна |
41,5 минуты (41+0,5), а для |
|||||||
Δφ=4º00'– 53 минуты (52м +1 м).
Проведем интерполяцию по Δφ. При изменении Δφ на +30' поправка меняется на +11,5 минут. Найдем изменение поправки при изменении Δφ на +11' с помощью пропорции:
30' |
+11,5 |
|||
11' |
x |
|
||
х |
11 ( 11,5) |
|
4м |
|
|
||||
|
|
30 |
|
|
Рассчитав изменение поправки, найдем и само значение: 41,5 + 4 = 45,5 минут.
Ответ: +45,5 минут.
Задания для индивидуальной работы.
По данным таблицы 4, с помощью (Приложение 1) определить поправку за широту к времени восхода Солнца.
Таблица 4 – Варианты для выполнения индивидуальных заданий
№ |
Δφ |
Т |
Табличный интервал широт |
№ |
Δφ |
Т |
Табличный интервал широт |
№ |
Δφ |
Т |
Табличный интервал широт |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.1 |
1º20' |
1ч38м |
2º |
4.11 |
4º38' |
1ч10м |
5º |
4.21 |
6º29' |
1ч27м |
10º |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2 |
4 |
38 |
1 |
02 |
5 |
4.12 |
5 |
45 |
1 |
39 |
10 |
4.22 |
1 |
40 |
1 |
25 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3 |
8 |
22 |
1 |
17 |
10 |
4.13 |
1 |
30 |
1 |
27 |
2 |
4.23 |
4 |
55 |
1 |
18 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4 |
1 |
53 |
1 |
38 |
2 |
4.14 |
4 |
20 |
0 |
55 |
5 |
4.24 |
7 |
32 |
1 |
14 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5 |
4 |
17 |
0 |
37 |
5 |
4.15 |
8 |
27 |
1 |
36 |
10 |
4.25 |
1 |
30 |
1 |
39 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6 |
8 |
40 |
0 |
45 |
10 |
4.16 |
1 |
21 |
1 |
05 |
2 |
4.26 |
2 |
42 |
1 |
33 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.7 |
1 |
52 |
0 |
42 |
2 |
4.17 |
3 |
10 |
1 |
34 |
5 |
4.27 |
6 |
15 |
1 |
30 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.8 |
3 |
47 |
0 |
59 |
5 |
4.18 |
7 |
41 |
1 |
31 |
10 |
4.28 |
1 |
19 |
0 |
57 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9 |
7 |
35 |
1 |
25 |
10 |
4.19 |
1 |
54 |
0 |
53 |
2 |
4.29 |
4 |
55 |
0 |
46 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.10 |
1 |
53 |
1 |
26 |
2 |
4.20 |
3 |
50 |
1 |
11 |
5 |
4.30 |
9 |
25 |
1 |
35 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3.
1. Сферические треугольники в задачах судовождения.
Сферический треугольник – часть сферы, которая образуется при попарном пересечении трех дуг больших кругов. В сферических треугольниках и стороны и углы измеряются в градусной мере.
Вершины сферического треугольника обозначаются заглавными буквами A, B, C, а противолежащие им стороны одноименными малыми буквами a, b, c. (Рис.1.1). Стороны и углы при вершинах называются элементами сферического треугольника.
Рис. 1.1 – Сферический треугольник
Будем рассматривать треугольники Эйлера – сферические треугольники, элементы которых меньше 180˚.
При решении сферических треугольников необходимо знать как минимум три из шести его элементов. В сферическом треугольнике (Рис. 1.1), лежащие рядом элементы обозначим двумя черточками. В нашем случае угол "А" и сторона "a" будут крайними элементами, а сторона "c" и угол "B" – средними элементами. Для нахождения неизвестных элементов будем использовать четыре основные теоремы сферической тригонометрии:
Теорема косинуса стороны.
Во всяком сферическом треугольнике косинус стороны равен сумме произведения косинусов двух других сторон и произведения синусов этих сторон на косинус угла между ними: cos a cosb cos c sin b sin c cos A .
Теорема косинуса угла.
Во всяком сферическом треугольнике косинус угла равен сумме отрицательного произведения косинусов двух других углов и произведения синусов этих углов на косинус стороны между ними:
Теорема котангенсов (четырех рядом лежащих элементов).
В сферическом треугольнике для четырех рядом лежащих элементов котангенс крайнего угла, умноженный на синус среднего угла равен произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны, минус произведение косинусов средних
элементов: ctgA sin B ctga sin c cos B cos c |
(3.1) |
10
Формулу (8.1) можно упростить, воспользовавшись тригонометрическим тождеством:
ctg = 1 / tg. |
|
После преобразований получим: tg A = sin B / (sin c / tg a – cos B ∙ cos c) |
(3.2) |
Если в результате элемент А, найденный по формуле (3.1) получится отрицательным,
то к нему необходимо прибавить 180˚.
Теорема синусов.
Во всяком сферическом треугольнике отношения синусов углов к синусам противолежащих сторон равны: sin A / sin a sin B / sin b sin C / sin c (2.5)
Для определения неизвестных элементов будем пользоваться первыми тремя теоремами. Теорему синусов необходимо использовать только для проверки.
Пример. В сферическом треугольнике заданы две стороны и угол между ними: b = 37˚27,9′; A = 109˚48,6′; c = 140˚40,4′.
Определить: a, B, C.
Решение.
Если микрокалькулятор не дает возможность записывать числа в градусах и минутах, необходимо перевести значения заданных элементов в градусы. Для этого значения минут делим на 60 и прибавляем к значениям градусов.
b = 37˚27,9′ = 37,465˚; A = 109˚48,6′ = 109,810˚; c = 140˚40,4′=140,673˚.
Запишем основные теоремы для нашего примера:
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A;
ctg B sin A = ctg b sin c – cos A cos c;
ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A.
Выразим неизвестные элементы и получим рабочие формулы: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A; tg B = sin A / (sin c / tg b – cos A cos c); tg C = sin A / (sin b / tg c – cos b cos A);
После подстановки заданных элементов получим:
cos a = – 0,7446 a = arcos (-0,7446) = 138 07,6′. tg B = 1,6657 B = arctg (1,6657) = 59 01,4′.
tg C = – 1,9871 C = arctg (-1,9871) = 116 42,8′.
Проверка: sin A / sin a = 1,409508; sin B / sin b = 1,409508; sin C / sin c = 1,409508. Ответ: a =138 07,6′; B = 59 01,4′; C = 116 42,8′
11
Задания для индивидуальной работы.
В задачах № 5.1 ÷ 5.30 заданы две стороны и угол сферического треугольника : a, b, C.
По данным таблицы 5, определить два угла и сторону: A, B, c.
Таблица 5 – Варианты для выполнения индивидуальных заданий
№ |
a |
b |
C |
№ |
a |
b |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.1 |
90º21,7' |
135º33,5' |
129º15,0' |
5.16 |
154º26,9' |
126º47,9' |
96º54,3' |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2 |
37 27,9 |
140 40,4 |
109 48,6 |
5.17 |
5 58,7 |
87 20,3 |
52 03,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3 |
81 27,5 |
115 56,5 |
25 43,2 |
5.18 |
60 23,0 |
107 53,0 |
72 48,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4 |
107 00,6 |
123 37,3 |
54 37,4 |
5.19 |
129 44,5 |
100 57,2 |
112 22,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5 |
96 51,4 |
135 35,4 |
90 07,7 |
5.20 |
46 58,3 |
49 34,4 |
96 57,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6 |
70 35,1 |
143 31,2 |
25 21,4 |
5.21 |
112 44,9 |
95 18,0 |
71 29,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7 |
32 42,7 |
38 34,0 |
145 56,4 |
5.22 |
136 48,2 |
110 40,1 |
113 53,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.8 |
128 21,6 |
132 26,6 |
103 54,5 |
5.23 |
103 54,7 |
163 33,6 |
146 02,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.9 |
73 15,3 |
43 39,8 |
85 32,1 |
5.24 |
86 20,1 |
124 41,9 |
89 50,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.10 |
101 20,0 |
86 34,6 |
84 25,7 |
5.25 |
128 31,9 |
55 20,0 |
124 59,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.11 |
44 00,2 |
78 11,3 |
163 50,3 |
5.26 |
76 32,5 |
99 58,7 |
124 24,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.12 |
26 13,8 |
116 02,4 |
83 52,4 |
5.27 |
91 03,1 |
61 36,6 |
34 41,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.13 |
88 58,6 |
33 02,5 |
105 55,1 |
5.28 |
38 51,5 |
96 19,6 |
35 57,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.14 |
50 01,3 |
97 32,4 |
44 35,2 |
5.29 |
43 35,1 |
109 00,7 |
96 49,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.15 |
137 11,2 |
124 10,6 |
110 22,3 |
5.30 |
22 22,6 |
69 53,9 |
132 10,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12
2. Решение прямоугольных и четвертных сферических треугольников.
Прямоугольные – сферические треугольники у которых хотя бы один угол равен 90˚ .
Четвертные – сферические треугольники у которых хотя бы одна сторона = 90˚.
Расчетные формулы значительно упрощаются, если подставить в них значения тригонометрических функций для угла 90˚. sin 90˚= 1; cos 90˚= 0; ctg 90˚= 0.
Пример. В сферическом треугольнике заданы два угла и сторона между ними:
A = 90˚; b = 61˚07,8′; С=77˚10,4′.
Определить: a, B, с. Решение.
Основные формулы для нашего примера: cos B = – cos A cos C + sin A sin C cos b; ctgA sin C = ctg a sin b – cos C cos b;
ctg C sin A = ctg c sin b – cos A cos b.
Упростим формулы и выразим неизвестные элементы: cos B = sin A sin C cos b;
0 = ctg a sin b – cos C cos b => |
tg a = sin b/(cos C cos b) |
|
ctg C = ctg c sin b. |
=> |
tg c = sin b tg C |
Проверка: sin A / sin a = 1,03042; |
sin B / sin b = 1,03042; sin C / sin c = 1,03042. |
|
Ответ: a =103˚57,5′; B = 108˚43,1′; c =52˚14,5′.
Задания для индивидуальной работы.
В задачах № 6.1 ÷ 6.30 заданы два угла A, B и сторона с сферического треугольника. По данным таблицы 6, определить стороны a,b и угол C.
Таблица 6 – Варианты для выполнения индивидуальных заданий
№ |
с |
А |
В |
№ |
с |
А |
В |
6.1 |
90º00,0' |
105º36,2' |
73º57,6' |
6.16 |
90º |
118º44,0' |
97º41,4' |
6.2 |
36 32,4 |
90 |
45 35,1 |
6.17 |
54 18,7 |
90 |
95 26,5 |
6.3 |
58 43,8 |
76 56,9 |
90 |
6.18 |
90 39,5 |
93 04,1 |
90 |
6.4 |
52 51,5 |
90 |
64 07,1 |
6.19 |
129 46,6 |
90 |
14 21,2 |
6.5 |
90 |
137 01,0 |
111 50,0 |
6.20 |
90 |
88 38,1 |
105 44,5 |
6.6 |
45 49,0 |
90 |
46 32,3 |
6.21 |
58 17,7 |
90 |
139 10,4 |
6.7 |
61 27,5 |
104 23,3 |
90 |
6.22 |
142 45,4 |
49 57,9 |
90 |
6.8 |
65 31,4 |
90 |
85 57,0 |
6.23 |
145 40,0 |
100 23,7 |
90 |
6.9 |
90 |
124 50,3 |
82 17,1 |
6.24 |
64 46,2 |
90 |
127 48,4 |
6.10 |
99 30,4 |
110 23,1 |
90 |
6.25 |
90 |
2 16,5 |
101 16,6 |
6.11 |
90 |
164 44,2 |
37 53,7 |
6.26 |
90 |
54 23,2 |
95 01,2 |
6.12 |
104 55,6 |
90 |
70 06,0 |
6.27 |
66 03,2 |
90 |
96 21,1 |
6.13 |
90 |
152 58,7 |
55 21,6 |
6.28 |
133 01,7 |
90 |
86 45,0 |
6.14 |
75 38,9 |
38 35,0 |
90 |
6.29 |
29 02,6 |
59 38,5 |
90 |
6.15 |
77 18,4 |
90 |
128 16,2 |
6.30 |
90 |
156 43,3 |
47 56,4 |
13