Материал: Моделирование вероятностного распределения расходов в водопроводных сетях

Приведенная обработка данных реальных процессов потребления воды (использовались результаты ранее выполненного в Тресте «СУВСОЗ» экспериментального изучения режимов водопотребления показала, что законы распределения всех случайных величин, необходимых для модели (2.2), могут быть достаточно точно аппроксимированы нормальным законом распределения вероятностей. Это позволяет реализовать процесс моделирования процессов потребления воды для всех узлов системы с использованием только одного датчика псевдослучайных чисел, распределенных по нормальному закону [] следовательно, моделирование случайных параметров в (2.2) может быть представлено в форме:

а=  (2.3)

где α - моделируемое значение параметра;

μ и σ- и математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение параметра, известные из эксперимента;

- нормированная случайная величина с μ=0 и σ=1

Следует отметить, что при моделировании процессов потребления воды можно достаточно просто учесть суточную неравномерность потребления для этого необходимо считать в (2.2) значение Q также случайной величиной с дисперсией, равной дисперсии суточных нагрузок.

Обработка данных экспериментального изучения режимов водопотребления показала, что для имитационного моделирования процессов потребления воды достаточно использовать в (2.1) две гармонические составляющие с периодом 24 и 12 часов. При этом все статистические характеристики исходного и моделируемого процессов потребления воды практически совпадают. На рис.2.1. приведены данные, показывающие хорошее совпадение автокорреляционной функции исходного и моделируемого процессов (подтверждение совпадений математических ожиданий и дисперсии не требуется, т.к. именно эти параметра исходного процессов потребления воды использованы при моделировании).

Исходя из описанных выше предпосылок разработан алгоритм имитационного моделирования процессов потребления воды,, показанный на рис.2.2.

Работа алгоритма осуществляется следующим образом:

. Для узла расчетной схемы сети вырабатываются случайные числа (где). Значение используется для определения среднего значения нагрузки в первые сутки моделирования для j -го узла:

.1. Примеры моделируемого процесса потребления воды х - автокорреляционные функции исходного.

Qj1 = M(Qj)(1+t1υqj), (2.3)

Где M(Qj) и υqj - математическое ожидание и коэффициент вариации средних часовых нагрузок за весь период моделирования для j - го узла.

Рис. 2.2. Блок-схема алгоритма моделирования процесса потребления воды

2.      По значениям определяются величины амплитуды и фазового сдвига для первых суток по формулам:

Qa1=Qa1(1+t2υQa1)  (2.4)

Qa2=Qa2(1+t3υQa2)  (2.5)

α1= α1(1+t4υα1)   (2.6) 

α2= α2(1+t5υα2)   (2.7)

где Qa1 и Qa2 математические ожидания амплитуды первой и второй гармоники в (2.1);

α1 и α2- математические ожидания фазовых сдвигов для первой и второй гармоники в (2.1) ;

υQa1, υQa2, υα1 и υα2- коэффициента вариации для амплитуд и узлов фазового сдвига.

. На основе (2.2) вычисляется значение нагрузки в узле для всех 24 часов первых суток моделирования. При этом в (2.2)

Q0 = σ0tn, n = 6, 7, ……., 27  (2.8)

Где σ0 -  стандартное отклонение случайного шума.

При переходе ко 2 узлу схемы используется значение, для первого узла и 28 новых значений, обеспечивающих вычисление параметров гармоник и 24 часовых нагрузок и для этого узла. Работа алгоритма для новых суток моделирования начинается после выполнения других расчетов в других блоках имитационного моделирования (см. гл. 2).

При работе датчика псевдослучайных чисел в данном алгоритме используются достаточно короткие последовательности этих чисел, что гарантирует отсутствие каких-либо детерминированных трендов в этих последовательностях.

Количество моделируемых случайных нагрузок в каждом из узлов схемы определяется требованиями к желаемой точности получаемых оценок параметров функций распределения. Предполагая, что значения коэффициентов вариации для всех указанных выше функций распределения приблизительно равны максимальному из коэффициентов вариации нагрузок в узлах схемы, а приемлемая погрешность определения математических ожиданий (ε) - составляет 0,05, получаем необходимую продолжительность имитационного моделирования:

 , (2.9)

Где N - число часов моделирования нагрузок;

- максимальный коэффициент вариации нагрузок ;

параметр, соответствующий 95% вероятности попадания математического ожидания в интервалах n 

где n- среднее значение случайной величины.

Поскольку - для систем водоснабжения составляет 0,75-0,8, то в соответствии с (2.9), N = 1280 т.е. период имитационного моделирование составляет 54 дня.

Необходимые для работы алгоритма имитационного моделирования процесса водопотребления исходные данные берётся по заданию к объекту.

2.2 Моделирование случайного процесса изменения структуры инженерной сети

Функционирование трубопроводных инженерных сетей происходит в условиях возникновения отказов различных пассивных и активных элементов. При этом каждый пассивный элемент может находиться лишь в двух состояниях - работоспособном и неработоспособном, т.е. состоянии при котором он должен быть исключен из расчетной схемы инженерной сети. Оценка состояний активных элементов может быть дана также просто в том случае, если речь идет об одном насосе, компрессоре, дросселе и т.п. Если включенный в схему инженерной сети активный источник реально состоит из нескольких параллельных работающих насосов, оценка его состояний значительно сложнее, так как отказ одного из насосов может лишь несколько изменить характеристику всего активного элемента в целом, а наличие резервных насосов может в короткое время полностью компенсировать последствия возникшего отказа. Поэтому правильное определение требований к гидравлическим характеристикам активных элементов (величина подачи и напора во всех возможных условиях работы сети), определение разумного (минимально необходимого) резерва оборудования насосных и компрессорных станций является одной из важнейших задач проектирования инженерных сетей.

Несмотря на то, что само понятие надежности технической системы определяется достаточно просто -«надежность есть вероятность того, что система будет в полном объеме выполнять функции в течении заданного промежутка времени, при заданных условиях работы», определение конкретных параметров надежности проектируемой или эксплуатируемой инженерной сети представляет сегодня весьма сложную теоретическую и практическую задачу. Для сложных систем энергетики, а именно к ним относятся инженерные сети систем тепло-, водо-, газоснабжения, эта проблема связана не только с трудностями определения показателей надежности при последовательно -параллельной схеме соединений пассивных элементов, сколько с самим понятием отказа в инженерной сети, которая обеспечивает транспортирование целевого продукта многим потребителям в узлах схемы сети. При этом даже нарушается нормальное снабжение целевым продуктом одного из узлов схемы,, то, очевидно, это состояние нельзя считать отказом инженерной сети в целом. Такое положение приводит к тому, что при анализе сложных систем в ряде случаев предлагается определять не показатели надежности, а показатели эффективности функционирования. Однако и в этом случае трудности достаточно велики, когда встает вопрос о выборе некоторой нормы этой эффективности для условий работы конкретной системы.

В настоящее время различные рекомендации по определению показателей надежности трубопроводных инженерных сетей достаточно противоречивы, дискуссионы и на нашли еще широкого использования на практике. В реальных условиях проектные организации проводят расчеты установившегося потокораспределения при исключении из расчетной схемы инженерной сети небольшого числа пассивных элементов с наибольшими значениями потоков в полной схеме и по этим данным уточняют характеристики активных элементов. При этом значительная часть полученных в ряде исследований данных о потоках отказов пассивных элементов не находит практического применения. Кроме того, упомянутые расчеты проводят только при максимальных расчетных нагрузках в узлах сети, хотя, как было указано в разделе 1.2., эти нагрузки имеют весьма малую вероятность появления и поэтому полученные результаты не характеризуют поведение системы во всем рассматриваемом промежутке времени.

Один из возможных и уже нашедших применение в практике проектирования электроэнергетических систем методов определения показателей надежности и оценки последствий отказов элементов систем состоит в статистическом моделировании (метод Монте-Карло) В этом методе моделируется естественный ход случайного процесса возникновения отказов (и восстановлений) и, при достаточной продолжительности моделирования, на этой основе могут быть получены оценки показателей надежности. В методе Монте-Карло моделирование заключается в определении моментов возникновения отказов, в зависимости от заданных распределений вероятности безотказной работы для всех элементов системы. В принципе, если совместить моделирование случайного потока отказов с моделированием случайных процессов потребления целевого продукта в узлах расчетной схемы инженерной сети, то можно найти оценки последствий отказов пассивных элементов при заданных характеристиках активных источников питания или, наоборот определить требования к этим характеристикам исходя из необходимости поддержания давлений во всех узлах сети. Однако, большое (до 1000  1500) количество пассивных элементов в инженерных сетях, относительно малые значения интенсивности потоков отказов (порядка λ= 1год. км приводят к тому, что продолжительности периода моделирования должна составлять 20-30 лет для того, чтобы точность искомых параметров надежности системы в целом была не хуже 10%, При этом весьма сложно будет осуществить моделирование случайных процессов потребления воды на таких длительных интервалах. Таким образом применение метода Монте-Карло для исследования надежности проектируемых инженерных сетей не приводит большому эффекту в следствии вышеуказанных положений.

Основная цель настоящей диссертационной работы состоит в том, чтобы предложить такую математическую модель инженерной сети которая обеспечит построение функций распределения вероятности требуемых давлений источников питания. При этом требуется учесть и случайный характер процесса потребления воды случайные потоки отказов пассивных элементов инженерных сетей.

Для достижения цели более целесообразным представляется не моделирование по методу Монте-Карло, а совмещение сетевых методов изучения надежности и метода пространства состояний. Первый шаг сетевых методов состоит в построении логической или структурной схемы сложной сетевой системы, в которой источники целевого продукта и его потребители связаны транспортной сетью - в нашем случае трубопроводной инженерной сетью. Между расчетной схемой сети, построенной в зависимости от её физической схемы, и логической схемой имеются существенные различия, которые заключается в том, что последняя строится так, чтобы на её основе можно было определить комбинации отказов элементов, приводящие к отказу системы в целом. Отказавшие элементы исключаются из логической схемы и если при этом наущается связь между точками входа и выхода, то это считается отказом системы.

При составлении логических схем элементы сети считаются соединенными последовательно если отказ каждого из них обуславливает отказ системы. При параллельном соединении отказ системы возможен только в том случае, если одновременно отказывают все элементы. Очевидно, что сложные сетевые системы не приводятся однозначно к логическим схемам с последовательно-параллельным соединением элементов и в этом случае используют методы поиска множества минимальных путей и минимальных сечений в сети для упрощения её логической схемы.

Покажем, что для решения задач настоящей работы нет необходимости построения сложных логических схем инженерной сети и приемлемые решения могут быть найдены если сложную сеть заменить последовательной схемой ее пассивных элементов. При этом в отличие от исследований электроэнергетических систем не будем считать отказ элемента причиной полного отказа системы. Нам достаточно определить здесь время пребывания системы в состоянии, когда в сети нет ни одного отказавшего элемента, а также обще времена всех состояний системы, при которых в отказе находится лишь один элемент. Далее, если имеется математическая модель стохастического потокораспределения (при случайных нагрузках в узлах сети) то для каждого из указанных выше состояний можно получить функции распределения вероятности требуемых давлений активных элементов (при заданном давлении активных элементов (при заданном давлении в диктующих точках сети).

Суммарная функция распределения этих давлений для всех возможных состояний может быть найдена достаточно просто, т.к. при этом следует учитывать, что относительное время пребывания системы в состоянии с одним отказавшим элементом является как-бы весомым коэффициентом. Характеризующей функции распределения требуемых давлений в общую функцию распределения. Математическая модель трубопроводной инженерной сети, обеспечивающая моделирование стохастического потокораспределения для полной схемы сети подробно рассмотрена в разделе, а для состояния системы с одним отказавшим элементом - в разделе. Ниже рассмотрен алгоритм моделирования состояний с потоками отказов для инженерной сети на примере сетей систем водоснабжения.

В ряде проведенных исследований надежности систем водоснабжения было установлено что пассивные элементы (участки трубопроводов) являются ремонтнопригодными с экспоненциальными распределениями продолжительной работы и восстановлений, т.е.

F₁(t)= (2.10)

F₂(t)=, (2.11)

где F₁(t) - функция распределения вероятностей продолжительностей работы; F₂(t) - функция распределения вероятностей простоев (восстановлений);

λ и μ - параметры потоков отказов и восстановлений, соответственно;

t - время для которого определяется значение F₁(t) или F₂(t).

Для каждого из элементов сети могут быть определены коэффициенты готовности (K1) и неготовности (K2), которые при стационарных значениях λ и μ и достаточно большом времени t являются вероятностями нахождения элемента в работоспособном состоянии или в простое, соответственно.

Коэффициенты готовности и неготовности определяется по формулам:

K₁= ; K₂= ; (2.12)

Продолжительность периода, когда в системе нет ни одного элемента в состоянии простоя, можно легко определить исходя из ее логической схемы в которой: все элементы соединены последовательно. Так как для каждого элемента отказы и восстановления происходит независимо от состояния других элементов, то можно считать систему по ее логической схеме отказавшей с вероятностью, определяемой как произведение вероятностей отказов для всех элементов.

Таким образом, алгоритм моделирования случайных состояний сложной инженерной сети (рис.2.3) может быть представлен в виде последовательности определения вероятностей отказов для каждого из элементов системы на основе доступных данных-параметров λ и μ [4] показанных на рисунке. Эти вероятности для определения характеристик стохастического потокораспределения для каждого из состояний системы и, далее, для: всех возможных состояний в течение расчетного года работы системы.

Рис. 2.3. График осредненных значений величин λ, полученных на основании статической обработки данных наблюдений проведенных в трех климатических зонах нашей страны.(соответственно кривые 1, 2 и 3).

Алгоритм моделирования случайных состояний сложной инженерной сети состоит из следующих этапов:

1. Ввод программы, контроль программы и исходных данных.

2. Присвоение I→0 для начало работы счетчика циклов.

. Счетчик циклов по I, служит для проведения арифметических операций.

4. Определение значения параметров потоков отказов для каждого элемента сети по формуле λi=* Li , где параметр потоков отказов элементов сети, Li - длина элемента сети I ϵ M.

. Определение значения коэффициентов готовности по формуле 2.12.

. Определение значения коэффициентов неготовности по формуле 2.12.