Материал: Моделирование вероятностного распределения расходов в водопроводных сетях

Дополнительные трудности разработки методов имитационного моделирования инженерных сетей связаны с тем, что в реальных условиях очень сложно организовать проведение экспериментального изучения условий и параметров их функционирования. Практически возможными являются лишь одновременные замеры параметров вектора Y (число выходов системы ограничено) и отдельных составляющих вектора X, так как в современных системах число входов может достигать нескольких тысяч. Весьма сложным является наблюдение за структурой системы, особенно в части состояний пассивных элементов, число которых в 1,5-2 раз [2] превышено временное измерение значений последовательной (расход целевого продукта) и параллельной (потеря давления) переменной для всех пассивных (участки трубопроводов) элементов системы. Сложность разработки имитационных моделей связана и с тем, что в полном виде данные о структуре инженерных сети S не используются в проектной практике, здесь применяют так называемые «расчетные схемы», структура которых значительно упрощена по сравнению с реальной сетью. В расчетные схемы включается лишь до 15-30% общего числа пассивных элементов, при этом для каждого из них с целью получения адекватной модели проходится использовать не реальные параметры, а некоторые условные, найденные при решении задач идентификации модели инженерной сети [2, 10, 11]. В связи с этом, даже в случае выполнения каких либо экспериментов на инженерной сети получаемые данные используются весьма ограничено.

.2 Определение ранее предложенных методов моделирования реальным условиям

Указанные выше особенности трубопроводных инженерных сетей позволяют перейти к анализу и оценке имеющихся методов их математического моделирования, при этом с позиций темы настоящей работы основной вопрос заключается в соответствии моделей реальным вероятностным условиям функционирования систем водо-, тепло-, газоснабжения городов и населенных пунктов.

Трубопроводная инженерная сеть состоит из совокупности ветвей (участки трубопроводов между узлами) и узловых точек (точки подачи или потребления целевого продукта, а также любые другие точки соединения ветвей), связанных между собой и отображающих любые плоские или пространственные схемы движения жидкости или газа. Сеть содержит I = 1, 2, … р ветвей и j = 1, 2, … n узлов, при этом сеть имеет контуров. В топологическом отношении трубопроводные инженерные сети похожи на электрические [10]. Здесь также полезно использование теории графов [11], в соответствии с которой между числом ветвей, узлов и линейно независимых контуров имеется соотношение - n - 1 + k - p.

Основой всех математических моделей потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях являются два линейных сетевых закона Кирхгофа [2, 12, 13]. В соответствии с первым из них в каждом - j ом узле должен соблюдаться материальный баланс транспортируемого воды.

∑ qi = Qi , j = 1, 2, . . . n  (1.5)

В (1.1.) суммирование ведется по всем ветвям с расходами, примыкающим к данному j - oму узлу, в котором потребление продукта (нагрузка) равна Qj. Для узлов поступления целевого продукта в сеть в (1.5) нагрузка берется со знаком «минус». Если узел j является только точкой ветвления потоков, то Qj = 0.

Второй закон Кирхгофа для трубопроводных инженерных сетей приводит к линейному уравнению.

∑ = hi = 0,  (1.6)

где i - номер линии; k - номер любого замкнутого контура, выделенного в сети.

В соответствии с (1.6) сумма потерь напора в трубопроводах каждого из независимых контуров сети должна равняться нулю.

Вводя первую и вторую матрицу инценденций [2. 10. 11] уравнения (1.5) и (1.6) можно записать в матричном виде

Aq = Q; Bh = 0,  (1.7)

где A- матрица размерности p(n-1), элементы которой равны + 1,-1 или 0 B - матрица размерности, элементы которой также равны + 1 , -1 или 0.

При составлении матриц и необходимо соблюдать некоторые простые правила [2,13]. Структура этих матриц полностью характеризует инженерную сеть любой сложности.

Для замыкания систем уравнений (1,5) и (1.6) или (1.7) необходимо записать уравнение связи между последовательной и параллельной переменными, т.е. между величиной потока и потерей напора для любого элемента системы. Во многих случаях трубопроводных инженерных сетей [2,3,14], имеем

h = S   (1.8)

где: S - коэффициент сопротивления; r - постоянная (для сетей тепло-, водо-, газоснабжения низкого и среднего давления r ≈ 2).

Нелинейность уравнения (1.8) является основным затруднением при разработке алгоритмов расчета потокораспределения в инженерных сетях. Если бы (1.8) было линейным уравнением, то при математическом моделировании трубопроводных сетей можно было бы полностью использовать хорошо развитый аппарат анализа электрических распределительных сетей [15, 16].

Уравнение (1,8) относится только к пассивным элементам инженерных сетей при отсутствии в них дополнительных источников давления. Если учесть эти источники (бустерные станции подкачки, компрессные станции, дроссели и т.п.), то с учетом (1.8) система уравнений (1.7) принимает вид [17]:

Aq = 0

BSqq= BH,  (1.9)

Где S и q - диагональные матриц размерности p x p; q - матрица-столбец потоков по участкам сети; Н- матрица столбец активных давлений.

Система (1.9) является математической моделью трубопроводной инженерной сети, записанной в так называемом контурном виде [15]. Другая (эквивалентная) модель потокораспределения записывается в виде узловых уравнение [14, 16]:

Aq = Q h = AtP h + H = Sqq , (1.10)

где A - дополненная одним узлом матрица A (дополнительным узлом является узел, где (1.1) превращается в тождестве, т.е. балансирующий узел сети);

Р - матрица - столбец давлений во всех узлах сети;

t - знак транспонирования.

В настоящее время известно большое число различных методов решения систем уравнения (1.5) и (1.6) [7,8,10] нашедших достаточно широкое использование в практике проектирования и эксплуатации инженерных сетей.

Все методы расчета потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях могут быть разделении на две большие уравнений (1.5) и (1.6), а также методы экстремального подхода, базирующиеся на поиске экстремума некоторой специальной функции состояния системы с учетом связей, являющихся следствием одного первого или второго из законов Кирхгофа [15,16]. Ко второй группе относятся и методы, основанные на применении принципов нелинейного программирования [17, 18].

В первой группе методов расчета установившегося потокораспределения основной путь решения состоит в последовательном улучшении некоторого, заданного произвольно или по какому-либо алгоритму, потокораспределения таким образом, чтобы на каждом шаге итерационного процесса происходило уменьшение невязок решаемой системы уравнений. При этом, если начальное потокораспределение задается, исходя из первого закона Кирхгофа баланс нагрузок в узлах, приходим к тому или иному варианту метода контурных расходов, по сути аналогичного методу контурных токов для линейных электрических сетей [14, 16]. При задании потокораспределения в виде давление в узлах сети [2, 10] получаем метод узловых давление, аналогичный методу узловых напряжений [17,20]. В любом случае необходимо на каждом шаге «увязочного» процесса расчета установившегося потокораспределения решать систему нелинейных уравнений, размерность которой велика для больших инженерных сетей, насчитывающих до 1000-1500 узлов (наименьшая размерность систем уравнений получается в методах контурных расходов -K x K, где K- число независимых контуров).

Исторически проблемы расчета установившегося потокораспределения в инженерных сетях сводились к решению двух вопросов - ускорению счета и доказательству безусловной сходимости процесса к единственному существующему решению. Второй из вопросов можно считать решенным в результате работ Евдокимова А.Г. [3], решение первого продолжает быть в значительной мере актуальным и сегодня. Основные направления исследований и разработок в этой области заключаются в алгоритмическом учеты и использовании свойств малой заполненности матриц коэффициентов решаемых уравнений [17], а также в обеспеченны возможности решения так называемых гибридных уравнений, получающихся в тех случаях, когда потокораспределение необходимо задавать в виде фиксированных потоков по отдельным ветвям схемы, а также давлений в некоторых ее узлах [17,18].

Для целей настоящей работы, не останавливаясь на глубоком теоретическом анализе достоинств и недостатков большого числа детерминированных методов расчета установившегося потокораспределения, необходимо подчеркнуть два, общих для всех существующих математических моделей и алгоритмов расчета, свойства, состоящих в том, что, во-первых, большая размерность решаемых систем уравнений приводит к достаточно большим затратам машинного времени, а во вторых все методы могут быть использованы только при детерминированном задании нагрузок в узлах (одним числом для каждого узла). При этом обязательным условием является равенство суммарной нагрузки системы тепо-, водо-, газоснабжение сумме нагрузок во всех ее узлах. Указанные свойства существующих моделей установившегося потокораспределения, алгоритмов и программ его расчета на ЭВМ приводят к ряду существенных противоречий между потребностями практики управления потокораспределением в трубопроводных инженерных сетях и существующей их теорией [15,16].

Прежде всего отметим, что в настоящее время общепризнанным является стохастический характер процессов потребления воды в рассматриваемых системах [4]. Это значит, что любая измеренная или принятая для конкретного потребителя узла расчетной схемы инженерной сети нагрузка характеризуется некоторой вероятностью ее появления в течение анализируемого периода работы системы (обычно - год). Наиболее полно вероятностный характер потребления воды учитываются при его моделировании нестационарным случайным процессом [4, 10], но практически полезные результаты в ряде случаев могут быть получены и при рассмотрении нагрузок (величин потребления целевого продукта за какой-либо интервал времени - секунда, минута, час) в качестве случайных величин [20].

При этом, конечно, теряется весьма важная информация о корреляционных связах между вариацией нагрузок в различных временных сечениях процесса потребления воды, а в качестве важнейших характеристик функций распределения вероятности тех или иных нагрузок используются лишь два первых центральных момента - математическое ожидание и дисперсия нагрузок. Более подробно эти вопросы рассмотрены в разделе настоящей работы, а здесь укажем лишь на то, что в ряде случаев признание вероятностного характера процесса потребления воды приводит к парадоксальным ситуациям и невозможности непосредственного использования существующих математических моделей установившегося потокораспределения.

Так например, в СНиП 02.04.02-97 «Водоснабжение. Наружные сети и сооружения», в отличие от ранее использовавшихся нормативов, введена зависимость величины расчетных нагрузок от численности населения. При этом учтен тот объективный [6] факт, что по мере увеличения объектов водоснабжения (увеличения численности населения) происходит уменьшение дисперсии функции распределения вероятности нагрузок. Поскольку расчетные максимальные нагрузки должны иметь малую вероятность превышения (или высокую вероятность непревышения, т.е.обеспеченность [18], они определяются при допущении нормальности закона распределения в виде:

Qp = M(Q) + t √ D(Q), (1.11)

где Qp - расчетная нагрузка; M(Q) и D(Q) - математическое ожидание и дисперсия; t - параметр стандартизированного нормального распределения; t = 2,5- 3.

Применяя (1.11) к различным потребителям и к сумме всех потребителей, автоматически приходим к

∑ Qpj(n) ≠ Qpn ,  (1.12)

где Qpj(n) - расчетная нагрузка в j - ом узле с численностью населения - n; Qpn - расчетная нагрузка для всей системы при N = ∑ n;

Неравенство (1.12) вызвано тем, что нет никаких оснований применять различные t в (1.11) для различных потребителей (поэтому t = const для всех узлов сети), а при определении параметров функции распределения общей нагрузки системы простое суммирование допустимо лишь для M(Qj). Для преодоления указанного противоречия имеются лишь предложения [6, 11]. которые по сути затушевывают его а не устраняют. Так, в [16] предложено ввести расчет потокораспределения, приняв условно, что общая нагрузка равна сумме нагрузок в узлах и при этом, вместо фактических коэффициентов гидравлического сопротивления отдельных ветвей S использовать фиктивные S = kS, где k определяется так, чтобы (1.8) из неравенства превратить в равенство. Однако, в [6] нет ни обоснований такого достаточно произвольного решения, ни оценки его последствий с позиций совпадения найденных потерь напора в сети с реально возможными.

В целом надо отметить, что любая используемая модель потокораспределения приводит сегодня к тому, что величина требуемого давления (Hнс.) на насосных станциях источников питания инженерных сетей при различных общих нагрузках в сети (Q∑) описывается выражением

Н н.с = Нг + S экв (Q∑)   (1.13)

где Нг - геометрическая высота подъема ЦП; Sэкв - эквивалентное гидравлическое сопротивление системы.

Рис.1.1. Вид диаграммы рассеивания данных наблюдений по потерям напора в водопроводных сетях; 1 - поле множества событий в течение всего цикла водопотребления; 2 - подмножества событий в часы средних и максимальных расходов в период активного водозабора; 3 - подмножество событий в часы минимальных ночных расходов.

На рис приведен график зависимости (1.13), а также показаны экспериментальные данные [20], полученные измерением разности давлений на источнике питания и в одном из узлов действующей крупной системы водоснабжения. Анализ рис.1.1 показывает, что величина требуемого давления Н н.с. не зависит однозначно от Q и для каждого значения общей нагрузки может быть получена функция распределения Н н.с. с достаточно большей дисперсией.

В рамках существующих моделей потокораспределения это обстоятельство не может быть учтено и, в связи с этим, актуальной задачей является разработка математической модели стохастического потокораспределения, цель которой обеспечить удовлетворительное совпадение результатов расчета потокораспределения при случайных нагрузках в узлах сети с экспериментальными данными рис 1.1.

Другой недостаток существующих моделей установившегося потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях связан с тем, что для ряда реальных задач эксплуатации требуется проведение большого числа расчетов при фиксированных значениях ППЦП в узлах сети и различных сочетаниях нагрузок нескольких насосных станций, питающих общую сеть. Такая задача возникает при выборе оптимального по энергозатратам режима работы активных элементов схемы сети источники в условиях автоматизации технологическими процессами в инженерных сетях [12, 14]. При этом, для выбора оптимального режима может потребоваться порядка сотен расчетов потокораспределения, но из-за достаточно большой продолжительность каждого из расчетов для больших инженерных сетей*⁾, общее время счета значительно возрастает и выбор режима существенно отстает от того момента, когда он необходим. Это приводит к снижению эффективности автоматизации требует перехода к моделям потокораспределения имеющим, возможно, более низкую точность, но значительно превосходящим существующие модели по времени счета.

И, наконец, необходимо отметить, что актуальность разработки моделей стохастического потокораспределения прямо вытекает из потребностей современных алгоритмов оптимального управления режимами функционирования инженерных сетей. Так, Евдокимовым А.Г. [15] доказано, что в качестве критерия оптимальности системы управления водопроводными распределительными сетями необходимо рассматривать скалярную величину дисперсии свободных напоров в узлах сети, которая связана с эксплуатационными затратами. Очевидно, что для принятия правильных решений, как в случае оперативного управления, так и в случае управления развитием сети необходимо иметь достаточно простые и достоверные алгоритмы вычисления дисперсии узловых напоров в зависимости от параметров функций распределения ППЦП и состояний структуры сети. Именно создание таких алгоритмов и должно стать основной задачей настоящей работы.