плане. Непосредственная проверка различных гипотез о накоплении повреждений, которые физически обосновы ваются и фактически записываются для индивидуального образца, затруднена из-за большого разброса прочностных характеристик. В связи со статистическим характером прочности гипотезы накопления повреждений нуждаются в статистической трактовке, что важно для прогнозирования ресурса по параметру вероятности разрушения, а также для достоверного анализа результатов испытаний при нерегуляр ном нагружении. Приведенные выше соотношения для раз личных гипотез суммирования повреждений записаны для индивидуального образца и не могут быть непосредственно проверены из-за существенного статистического разброса прочности [20, 83]. Например, при экспериментальной про верке соотношения (3.1) величины N (ari) являются случай
ными и варьируют от образца к образцу. Поскольку экспе риментально для индивидуального образца можно опре делить только одну из случайных величин N (а*) (нельзя
разрушить один образец более одного раза [17—20, 83]), не обходимо использовать соотношения типа (3.1) с учетом ве роятностного характера циклической долговечности.
Чтобы подчеркнуть, что гипотеза линейного суммирова ния повреждений формулируется для индивидуального об разца, в работе [17] предложено (3.1) записывать в виде
(3.43)
fei N (ъ I я)
где q — вектор, полностью характеризующий «индивидуаль
ную» кривую усталости образца. Из соотношения (3.43) следует способ проверки справедливости линейной гипоте зы. Для этого по известному распределению случайного век-
тора q и зависимости N (ст) от q следует определить теорети ческое распределение случайной величины N n. Затем с по
мощью статистического критерия сравнить теоретическое и эмпирическое распределения N a. Указанный способ требует
наличия модели, включающей зависимости N от вектора q
■—>
и функции распределения q [18]. Такие модели носят фено-
—►
менологический характер (q обычно представляет собой ска
лярную величину) [9, 18, 20, 59, 126, 207]. Например, в ра боте [20] семейство кривых усталости определялось с помо щью уравнения
(3.44)
m
Здесь N 0 — базовое число циклов; q — ад — индивидуаль
ный предел выносливости, рассматриваемый как случайная величина, распределенная по закону Вейбулла
где а0 > О, а0 > 0, а 1 — константы трехпараметриче
ского распределения (параметры сдвига, масштаба, формы). Целесообразность использования таких моделей ограни чена в связи с необходимостью априорного принятия пред положений о форме уравнения индивидуальной кривой усталости и зависимости параметров этого уравнения от инди видуальных свойств образца, а также принятия вероятностной модели для описания изменчивости этих свойств. Следует учитывать, что обычно эти предположения затруднитель но или даже невозможно подвергнуть экспериментальной
проверке.
Другой подход, предназначенный для статистической трактовки линейной гипотезы накопления повреждений (и который может быть обобщен и на другие гипотезы), заклю
чается в том, что квантили распределения |
долговечности |
|
N n, соответствующие вероятности Р — 7Vnp> |
находятся |
по |
так называемой формуле квантильного суммирования |
[83J |
|
|
(3.46) |
|
где Np (<Ji) — квантильная кривая усталости (кривая рав
ной вероятности усталостного разрушения).
Как показано в работе [9], соотношение (3. 46) является следствием (3.1), например в случае специальной модели, в которой предполагается, что
N (а) = Ф (а) |, |
(3.47) |
где ф (сг) — детермипированпая функция а; |
£ — случай |
ная величина, отражающая статистический разброс долго вечности при фиксированном а.
Очевидно, что выражение (3.47) является обобщением модели (3.44). Это указывает на определенную общность рассмотренных статистических трактовок линейной гипоте зы (3.1). Предположение типа (3.46) позволяет достаточно просто оценивать квантили распределения долговечности, назначать безопасный ресурс и т. д. Недостаток модели (3.47) заключается в том, что дисперсия величины lg N оказывает
ся не зависимой от уровня нагрузок а, что не всегда соответ-
ствует действительности [160, 161]. Из выражения (3.47) следуют соотношения, обычно проверяемые при эксперимен тальном исследовании долговечности при программном на гружении:
(3.48)
i=i
(что следует из выражений (3.46) и (3.47) при симметричном распределении £);
Г |
|
JE(Ig jVn) _ 2 ^10_B(lg N(Ci}) |
(3.49) |
(что следует из выражений (3.46) и (3.47) при симметричном распределении lg |).
С помощью подходов, аналогичных сформулированным равенствами (3.43) или (3.46), можно прогнозировать ресурс по параметру вероятности и с использованием гипотез, от личных от линейной. Так, в литературе имеется описание подхода, предложенного В. П. Когаевым [81], основанного на корректированной линейной гипотезе Серепсена — Когаева, причем предполагается нормальное распределение пределов выносливости и применяется уравнение кривой усталости в виде (3.44).
Статистическая модель усталостного разрушения, пред назначенная для описания индивидуальных свойств образ цов и представленная формулами (3.44) — (3.45), является достаточно типичной для класса моделей, в основе которых лежат два следующих основополагающих утверждения:
1. Существует кривая усталости индивидуального об разца, выражаемая в виде детерминироваипой убывающей зависимости N от а (т. е. предполагается, что развитие
усталостного повреждения определяется «начальным каче ством» образца) [82, 83].
2. Кривые усталости индивидуальных образцов либо не пересекаются, либо совпадают.
Сформулированные утверждения невозможно непосред ственно проверить экспериментально. Косвенное подтвержде ние справедливости этих положений может быть получено с использованием измерений в процессе нагружения физи ческих величии (например, рассеяния энергии, неупругости, параметров акустической эмиссии и т. п.), которые лучше коррелируют с долговечностью, чем пагрузка сг, и поэтому позволяют на начальных стадиях испытаний «индивидуа лизировать» образцы [28, 168, 171, 173]. Основное значение изложенных положений заключается в том, что из них сле-
I4ie. 65. Различные модели для описания статистического разброса усталостной долговечности:
а — кривые усталости индивидуальных образцов имеют одинаковый наклон |
и точ |
ку перегиба, б — кривые усталости индивидуальных образцов имеют |
полюс; |
0/2 — случайная величина. |
|
дует совпадение квантильпых кривых усталости с индиви дуальными кривыми усталости, что позволяет трактовать гипотезы суммирования повреждений, обычно формулируе мые для индивидуальных образцов, в статистическом аспек те, с помощью подходов квантильпого суммирования, папример (3.46). Примеры различных моделей для описания ста тистического разброса долговечностей представлены на рис. 65. Модели такого типа предполагают задание уравне ния кривой усталости N = N (p/q) в зависимости от парамет ра индивидуальных свойств образца q и закона распределе ния F (q) случайной величины q [17, 37, 51, 74, 81, 126, 173].
Наиболее простой и распространенной является модель типа а, для задания которой необходимо определить наклон кривой усталости b (обычно в логарифмических координа тах), точку перелома кривой усталости N0l тип и параметры распределения предела выносливости OR на базе N 0 (распре
деления Вейбулла, нормальное или логнормальное). Для задания моделей типа б необходимо задать 8акон совместно
го распределения точки перелома N 0 и HR. |
|
|
При описании распределения |
пределов |
выносливости |
на заданной базе ORN необходимо |
учитывать, |
что распреде |
ления долговечностей и <JRN не могут вводиться независи
мо. Действительно, рассмотрим соотношение, определяющее кваитильную кривую усталости для логнормального распре деления долговечности в виде (1.59), которое можно запи сать так [82]:
/> = 0,5 + Ф |
lg N — а (о) |
(3.50) |
|
Ь(а) |
|
где а (а) = Е (lg N ), b (а) = Sjg N — параметры распределе ния lg N в зависимости от а; Ф (г) — функция Лапласа.
Соотношение (3.50) можно интерпретировать как функ цию распределения пределов выносливости ORN на заданной базе N . Для этого необходимо задать в явном виде зависи мости Е (lg N) и sig N от <j. Тогда для плотности распределе ния р справедлива формула
|
|
|
Р (они) = |
№ |
о) |
|
(3.51) |
|
Для |
|
степенного |
уравнения кривой |
усталости |
а (о) — |
|||
= lg В |
— b lg о и |
Ь (о) = |
sjg N = |
com>t |
получим |
следую |
||
щее распределение для |
GRNI |
|
|
|
|
|||
Р (O’HW) |
= |
______ ь______ |
exp |
|
2sfg |
, (3.52) |
||
|
|
osIg N Y 2 TI In 10 |
|
|
|
|||
откуда следует, что о имеет логнормальное распределение с
параметрами
|
£ ( l g a ) = - ^ - l g - ^ ; sigo = |
- | - siB^ |
(3.53) |
||
Из приведенных выше выкладок следует, что распреде |
|||||
ления р (N/o) и р (<J!N ) не |
могут |
вводиться |
независимо. |
||
В частности, |
введение порога чувствительности |
по циклам |
|||
N 0 приводит |
к появлению |
порога |
по |
напряжениям [82]. |
|
В ряде сл учаев действительно приходится вводить в логнор мальное распределение предела выносливости порог [161]. Иногда для упрощения расчетов целесообразно заменять логнормальное распределение о на нормальное, что можно
сделать, |
используя |
формулы [82] |
Е (а) = |
10а д |
о. Sa = E („) Кехр [(ле „ In ID)2] — 1 • |
|
|
(3.54) |
Статистическая трактовка гипотез суммирования повре ждений позволяет осуществлять прогнозирование долговеч ности по параметру вероятности разрушения. Так, кваптильная запись расчетных соотношений позволяет определять долговечность при случайном нагружении N CP, соответст вующую вероятности разрушения Р. Для линейной гипоте зы N cp определяется по формуле
|
|
ашах |
р(а) do, |
|
1 |
_ |
f |
(3.55) |
|
N cP |
" |
J |
ЯрЮ |
|
|
|
СГщШ |
|
|