N cP = |
^ Р |
(°тах) °шах |
(3.56) |
|
°тах |
||||
|
|
|||
|
J |
adp (с) da |
|
|
Соотношения (3.55) и (3.56) можно экспериментально проверить. Для этого необходимо построить семейство кри вых усталости по параметру вероятности разрушения как при гармоническом, так и при случайном нагружении, а затем сопоставить левые и правые части проверяемых соот ношений для выбранных значений Р. Такой подход требует
достаточно большого объема экспериментальных данных, особенно для долговечностей, соответствующих малым веро ятностям разрушения.
Проверка справедливости гипотез суммирования повре ждений осложняется тем, что параметры уравнений кривых усталости при регулярном нагружении определяются обычно по результатам испытаний ограниченного числа образ цов. Поэтому проверка соответствия результатов эксперимен тов при нерегулярных нагрузках расчетным значениям дол говечности должна быть сформулирована в виде статистиче ских критериев, учитывающих ограниченность объемов выборки как при испытаниях при нерегулярных нагрузках, так и при построении кривых усталости при регулярном нагружении. Ограниченность выборки при определении харак теристик сопротивления усталости при регулярном нагру жении должна учитываться также при вычислении вероят ности разрушения, коэффициентов запаса при эксплуата ционной нагрузке [8, 9, 58].
В большинстве случаев проверка гипотез суммирования производится для медианных долговечностей, соответствую щих вероятности разрушения Р = 0,5, или же для средних
значений долговечности, что не совсем верно, если исполь зуется логнормальное распределение долговечностей [см. равенство (1.22)].
Рассмотрим подход, позволяющий применить статисти ческий критерий сравнения средних Стыодента для сопостав ления медианного значения экспериментально определенной долговечности при заданном режиме нерегулярного нагру жения с расчетами по формулам (3.55), (3.56) при Р = 0,5.
Вдальнейшем используются следующие предположения:
1.Распределение долговечности при фиксированных па раметрах нагрузки подчиняется двухпараметрическому ло гарифмически пормалыюму закону как при регулярном,
так и при нерегулярном нагружении.
2. Уравнение медианной кривой усталости при регуляр ном нагружении может быть записано в виде степенного уравнения.
3. Уравнение медианной кривой усталости при случай ном нагружении может быть записано в виде степенного уравиения
Л'с = В«<С“. |
(3.57) |
В каждом конкретном случае с помощью известных про цедур статистики может быть исследована непротиворечи вость предположений 1—3 экспериментальным данным. При необходимости степенные уравнения кривых усталости мо гут быть заменены экспоненциальными или иными уравне ниями, позволяющими применить аппарат регрессионного анализа. Кроме того, известно, что критерий Стыодента и регрессионную обработку данных можно применять и при некотором отклонении от нормального закона. Поэтому и предположение 1 не следует считать слишком ограничитель ным. При анализе результатов программных испытаний пред положение 3 не используется.
Предположения 2 и 3 о возможности регрессионного ана лиза результатов усталостных испытаний как при регуляр ном, так и при нерегулярном нагружении соответствуют практике инженерных расчетов и позволяют объединить результаты испытаний на разных уровнях нагрузки в одну статистическую совокупность и тем самым уменьшить требо вания к объему экспериментов. Необходимость регрессион ной обработки данных при регулярном нагружении вызва на также тем, что в расчетных формулах различных гипотез суммирования повреждений используется уравнение кривой усталости N (о), параметры которого в условиях статистиче
ского разброса данных целесообразно определять путем ре
грессионного |
анализа. |
|
|
Поскольку |
для нормального |
распределения |
медиана и |
N cр совпадают, справедливо |
равенство |
= 10£(1й N\ |
|
с использованием которого выражение (3.55) для Р = 0,5
можно записать так:
1 0 - е<18 N q) = |
° т а х |
d a |
|
J 10 - Е « е № » р (о ) |
(3 5 8 ) |
°m in
Оценка среднего значения логарифма долговечности при случайно*! нагружении Е (lg N c) в левой части равенства
(3.58) может быть получена двумя способами. Первый способ заключается в проведении экспериментов при случайном на гружении, построении по этим данным линии регрессии в
координатах lg Nc — lg оои и получении в результате ре
грессионной обработки оценки медианной кривой усталос
ти, которую обозначим |
lg |
N l (оск). Второй способ |
оценки |
Е (lg N с) заключается |
в |
использовании равенства |
(3.58), |
а именпо в проведении испытаний при регулярном нагружепии, построении оценки медианной кривой усталости IgTV (а), а затем в вычислениях оценки Е (lg N c), которую обо
значим |
lg N а |
(аек), |
согласно выражению |
(3.58). Разница в |
оценках |
lg Nl |
и lg |
полученная двумя |
способами, может |
быть обусловлена случайным характером этих оценок из-за ограниченного числа испытанных образцов. Гипотезу о ра венстве расчетных и экспериментальных средних логариф мов долговечности, т. е. гипотезу о справедливости липейной гипотезы в форме (3.58), можно отвергнуть только в случае
статистически значимого различия^ N1 и lg N Q. Статисти
ческий критерий сравнения средних при заданном режиме нагружения, т. е. фиксированном <тСц, основан на прибли женном распределении Стыодента величины t [182]:
|
t |
lg *;■ |
lg N f! |
(3.59) |
|
= |
|
||
2 |
2 |
— дисперсии |
_ _ _ |
■ |
где sj^e и |
s^ -p |
оценок lg Nl |
и lg VVc, |
число степеней свободы к определяется по числу образцов, испытанных при случайном п0 и гармоническом нагружении пг по известным формулам [1821:
_1_ |
|
(1 - с)* |
|
|
°— п |
|
|
пс — 2 + |
с |
= |
Ig*c |
|
|||
к |
п ., — 2 |
*L -P + « L H> |
|
||||
|
|
|
|
|
!g< |
IffWc |
|
Если в результате вычисления t |
|
по выражению |
(3.59) |
||||
окажется, |
что | 1 1> |
tath (ta |
— |
100а-процентная |
точка |
||
t распределения, а — уровень значимости), |
то есть основа |
||||||
ния отвергнуть линейную гипотезу в форме (2.30) как не со ответствующую результатам эксперимента на фиксированном уровне a CI{,
Рассмотрим методики вычисления величин, входящих в равенство (3.59). Эмпирическое уравнение регрессии, оце нивающее медианную кривую усталости при случайном на гружении (3.57), имеет вид, аналогичный уравнениям (1.39) и (1.47):
причем оценки параметров Ьс и еа являются некоррелиро
ванными случайными величинами, распределенными по нор мальному закону, дисперсии этих оценок si и si так же,
ьс |
е с |
ЛА
как и величины Ьс и ев, вычисляются по формулам, анало
гичным (1.34) — (1.37). Причем оценка lgiVc также распре делена нормально с дисперсией
s2— |
= 4 |
(lg <тск— lg Пск)2 + s i . |
(3.61) |
lgiVc |
bc |
Сс |
|
При вычислениях по стандартной схеме регрессионного анализа может быть учтена зависимость дисперсии логариф ма долговечности от уровня напряжений.
Для испытаний при гармоническом нагружении уравне ние регрессии имеет вид
i p r = _ S ( ] g<;_ I g ^ ) + e ; 5 = 1 0 ' + ^ , |
(3.62) |
АЛ
где b же — оценки по экспериментальным данным неизвест ных параметров b же истинной линии регрессии, они явля
ются случайными величинами, которые нормально распре делены и некоррелировапы. Представим выражение (3.58) в следующем виде:
Е (lg N .) = lg -------- - |
(3.63) |
abp (a) da
amin
или, сделав замену x = а/аск»получим
|
v |
|
Е (lg N c) = е + Mg а — M gaCK— lg J xbp (x) dx. |
(3.64) |
|
|
a |
|
В качестве оценки E (lg N c) естественно взять величину |
||
|
v |
|
lg |
= e + b lg a — Mg aCK— lg J xbp (ж) dx. |
(3.65) |
|
a |
|
Эта величина является случайной, так как случайными
лл
являются величины е и Ь. В качестве численного значения
lg N B следует взять результат подстановки в выражение
АА
(3.65) выборочных значений Ь и е1. При этом в силунезави-
1Следует отметить, что выборочные величины е и Ь, а также случай-
АА
ные величины с и Ъ обозначены одинаково. Предиолагается, что cwbicjf
буквенных обозначений понятен из контекста.
симости случайных величин Ь и е дисперсия оценки 1g
вычисляется по формуле
— Sл |
-{ - s2 Л« |
(3.66) |
6 |
Ф(Ь) |
|
где |
v |
|
л л |
|
|
Ф {£) = Ьlg а — Ъlg нск— 1%\х*р (х) dx. |
(3.67) |
|
2 |
а |
|
Для определения s— - необходимо вычислить дисперсию |
||
IBWP |
|
л |
Л |
|
|
нелинейной функции <р (Ъ) от случайной величины Ь. Поско-
Л
льку случайная величина b распределена по нормальному
закону, |
для / |
л |
имеет место формула [182] |
|
|
|||
|
|
|
Ф(й) |
|
|
|
12 |
|
|
|
2 /* |
I Ф2 (*) Р (0 dt — |
|
|
|||
|
S |
Ф(*) Р (*) dt * |
(3.68) |
|||||
|
|
Ф(Ь) |
|
|||||
где р (t) |
— плотность |
нормального |
распределения, |
р (t) = |
||||
1 |
|
|
Г |
« - |
й)2' |
|
|
|
= 7 Щ |
|
ехр L—5?“} |
|
|
|
|||
При этом в вычислениях по соотношению |
(3.68) |
вместо |
||||||
математического |
ожидания оценки |
параметра |
b и |
диспер |
||||
сии этой оценки s\ подставляются их выборочные значения
Ь и 5л. Для оценки s * могут быть применены также мето-
ft Ф(Ь)
ды статистического моделирования и метод линеаризации. Однако, как показали расчеты для конкретных данных, ме
тод линеаризации может давать завышенные значения s^g WP,
а метод статистического моделирования требует существен но больших затрат машинного времени, чем расчеты по фор муле (3.68), так как для расчетов интегралов в этой форму ле можно применять эффективную квадратурную формулу Эрмита.
Аналогичный подход используется для проверки соот ношений гипотезы линейного суммирования для программно го нагружения в виде равенства (3.49). Отличие от случая стохастического нагружения заключается в том, что резуль таты испытаний при различных режимах программного на гружения не объединяются в одну статистическую совокуп ность и не применяется аппарат регрессионного анализа для обработки результатов экспериментов при нерегуляр ном нагружении. Оценка среднего и дисперсия оценки экс периментально определенного логарифма долговечности