Рис. 33. Распределения Райса для различных значении р.
алотности распределения максимумов Райса (для Е [а] = 0):
, . |
Кр- — 1 |
'______£ ___ J + |
р ^ х ) = - к т е к р |
2 (Э- — 1) Х |
|
|
|
+ Т ехр( |
т -)ф ( т ^ т ) ’ |
(2-57) |
|
где |
х = сга/аск; |
Ф — функция нормального распределения; |
|||
ф w |
- T S |
- f |
*• |
|
|
При [3 = 1 (узкополосный процесс) выражение (2.57) |
|||||
превращается |
в распределение Рэлея: |
|
|||
|
|
|
pRa (х) = |
х exp (— 0,5л:2). |
(2.58) |
На рис. 33 показаны плотности распределения Райса для различных значений р. Функция распределения максиму мов Райса имеет вид
м - ф (F F = r) - т ф (трЫ ехр( - 4 - ) • <2-59>
В случае, если проводится схематизация методом размахов, не существует точного выражения для функции р (ст0), где 2оа — величина размаха [133]. Существуют при
ближенные формулы. Так, в работе [234] предложено при менять выражение
Р К ) = |
ехр |
(2.60) |
а в работе [59] — выражение, аналогичное предыдущему, только вместо р используется число 2Emaxih, где k — сроднее
-г |
у гп |
в |
значение размахов, п = |
— |
оС1{; £ тах — среднее значение |
положительных максимумов. При схематизации по разма
хай |
расчеты |
дают |
оценку |
долговечности |
сверху. |
В |
работе |
1133] |
оценка |
распределения |
размахов основана |
на численном методе решения интегрального уравнения. Ковалевски, предложивший для размах он формулу (2.60), ввел также приближенную формулу для совместной плот ности вероятностей амплитуд оыи средних от значений цик
лов [234]:
РЧ, |
exp |
Р Ч |
|
|
Р (Оа» ®т) — <&, / 2я ф- - 1) |
2о:СИ |
2 (Р2- 1) <& |
||
|
(2.61)
Как известно, наиболее адекватно повреждающее дей ствие исходной нагрузки отражает метод полных циклов, для которого приближенное распределение амплитуд полу чено А. С. Гусевым в работе [57]:
|
|
|
J $2х ехр (— 0,5(52|д,2;г2), |
0 < |
х < |
х&; |
||
|
|
|
\ хс ехр (— 0,5х2)ф, |
|
х ^ |
яр, |
(2.62) |
|
|
|
|
|
|
||||
где |
р = |
У |
(а + 3Ъ)!аЬ\ |
а, Ь, с, |
х$ |
протабулированы для |
||
Р = |
1ч-4 |
в |
работе [57]. |
|
|
|
|
|
|
Для |
узкополосного |
процесса |
нагружения |
все методы |
|||
схематизации дают одинаковый результат — функция р (я)
является распределением Рэлея.
Важной характеристикой режима нагружения являет ся пик-фактор у, равный отношению максимальных нагру зок оШах за определенный период эксплуатации (или испы таний) к среднеквадратическому отклонению оск:
°т а х
Для модели гауссовского процесса, выражаемой распре делением Райса, у —у оо, хотя практически реальные нагруз
ки ограниченны. В ряде случаев у определяется нагрузками, соответствующими пределу текучести материала детали, в других случаях ограничение у обусловлено малой вероят ностью появления больших выбросов при ограниченном вре мени эксплуатации или времени испытаний. Желательно, чтобы пик-фактор у в испытательном режиме соответствовал условиям эксплуатации, поскольку влияние у на долговеч ность при сох радении иных параметров нагрузки неизмен ными является существенным (вместе с тем влияние у при
достаточно больших значениях на ас,{ невелико). Во многих случаях выбор у достаточно условен, например для нормаль ного узкополосного стационарного процесса рекомендуют ся значения у = 3,5-т-4,5. Перегрузки такой величины со
ответствуют малым вероятностям Р их появления. Для га уссовского стационарного процесса вероятность появления
перегрузок, |
больших или |
равных у, |
можно определить |
|
с помощью |
распределения |
Райса |
[см. формулу (2.59)]: |
|
|
|
|
00 |
|
|
Р — Р (сГщах |
уаСк} = |
^ p Ri (#) dx = |
|
|
|
|
V |
|
= 1- ф(т^т) +Т ф(7^ |
) Г^ (2-63) |
|||
При достаточно больших у (у >* 3, что соответствует
действительно реализующимся значениям у) можно приме нить простую аппроксимацию:
P = -j1-e- |
—2 |
(2.64) |
Разница в значениях Р, рассчитанных по формулам (2.63) |
||
и (2.64), увеличивается с ростом |
р, |
однако для у > 3 ка |
чество аппроксимации остается |
удовлетворительным. |
|
Для узкополосного процесса у = |
4 (наиболее часто при |
|
меняемое значепие) соответствует |
вероятности Р — 0,335 X |
|
X 10_3 появления такой перегрузки. Значение у для (5 >- 1 логично выбрать исходя из той же вероятности появления перегрузок. Следовательно, как следует из выражения (2.64), для у можно предложить следующее соотношение:
|
|
у = |
К — 2(1пР + 1пР). |
|
(2.65) |
|||
Значения у для разных Р, соответствующие вероятности |
||||||||
появления |
Р = |
0,335 |
|
10-3, |
приведены |
ниже: |
|
|
6 |
1 ,0 |
1 ,2 5 |
1 ,5 |
2 ,0 |
2 ,5 |
3 ,0 |
3 ,5 |
4 ,5 |
у |
4 ,0 |
3 ,9 |
3 ,9 |
3 ,8 |
3 ,8 |
3 ,7 |
3 ,7 |
3 ,6 |
Видна слабая зависимость у от р.
Применение модели гауссовского эксплуатационного на гружения обоснованно в том случае, если реакция конструк ции па внешние возмущения может быть описана линейными уравнениями. В реальнглх конструкциях материал обладает несовершенной упругостью, что приводит, в частности, к зависимости демпфирующей способности от амплитуды де формации. В обзорной работе С. Р. Свенсона [265] указано, что нелинейные эффекты могут иметь существенное значение,
а в работе Дж. Схайве 1257] отклонения от |
теоретиче |
ских распределений частоты появления больших |
выбросов |
объясняются нелинейным затуханием при больших ампли тудах. В работе [271] для описания этого явления исследо вали влияние на прогнозируемую долговечность выбора пик-фактора у, Предполагалось, что нелинейность прояв
ляется |
в уменьшении этой величины. Показано, |
что |
при |
у < 3,5 |
долговечность существенно зависит от у. |
Для |
уче |
та нелинейных эффектов, влияющих на распределение амп литуд колебаний при случайной нагрузке для образцов из сплава 24ST, использовалась коррекция теоретического распределения Рэлея [276]
р(х) = -1" ехР (— 0,5я2),
где I — 1,9.
Очевидно, что для выяснения границ применимости мо дели гауссовской нагрузки необходимо исследование влия ния нелинейного рассеяния энергии на режим случайных колебаний методами теории нелинейных колебаний с уче том реальных зависимостей рассеяния энергии от ампли туды колебаний в упругих конструкциях. Вопрос о влия нии нелинейного рассеяния энергии на усталостную дол говечность при случайных одночастотных колебаниях будет рассмотрен ниже (см. четвертую главу).
Во многих случаях нагрузка на элементы конструкций, обусловленная случайными колебаниями и анализируемая в течение длительного периода времени, плохо соответству ет модели стационарного нормального процесса. Так, на грузки на крыло летательных аппаратов, обусловленные атмосферной турбулентностью (порывами ветра), могут быть описаны кусочно-стационарным нормальным процессом, от резки стационарности которого характеризуются различны ми уровнями среднеквадратического отклонения и одина ковым средним уровнем [252]. Если нагрузка представляет собой последовательность п нормальных процессов, отли чающихся уровнем стск, число превышений уровня о0 можно
определить по формуле
(2.66)
где iVoi — число пересечений среднего уровня i-м процессом. Общее число пересечений среднего уровня
N 0 = £ N 0i. |
(2.67) |
Для непрерывного распределения оск формула (2.66) мо жет быть представлена в виде
N (°о I Т ) = N oJ ехР |
о2 |
(2.68) |
Р (*^ск) ^ ^ск* |
||
о |
2<& |
|
Например, для описания распределения р (CFck), обуслов
ленного вариациями атмосферной турбулентности, применя ют положительную ветвь нормального распределения:
Р {(Уск) = — | / -jf ехР^ |
2p~j • |
(2-69) |
Подставляя выражение (2.69) в (2.68), применяем таблицы интегралов [50]:
ЛГ(а0|Г) = ЛГ0м р ( - - $ - ) , |
(2.70) |
что соответствует часто используемой экспоненциальной за висимости (2.45). В некоторых случах требуется усложнение формулы (2.70) в связи с тем, что значение b различно для
полетов в спокойной и неспокойной атмосфере. В этом случае функцию N (о01Т) можно аппроксимировать суперпозицией
экспонент типа (2.70) [252]:
N (а0\Т) = N 0(Р1в °° + Р2е 2 ), |
(2.71) |
где Рг и Рг — соответствующие доли полетного времени в различных условиях, Рг Р2 = 1.
Выражение для числа превышений уровня а0 согласно
формулам (2.55) и (2.70) может быть обобщено в следующем виде [200]:
N (о. | Т) = N„ exp ( - 4 - ^ - ) • |
(2-72) |
Изложенные выше методы описания эксплуатационных нагрузок с помощью моделей теории случайных процессов в основном применимы тогда, когда режим нагружения может рассматриваться как непрерывный случайный процесс, обычно обусловленный случайными колебаниями частей конструкции, вызванными различными воздействиями окружающей среды, например атмосферной турбулентностью; неровностью доро ги и взлетно-посадочных полос; волнением моря; вибрациями энергетических установок; пульсациями давления интенсив ных акустических полей; потоками жидкости или газа.
С другой стороны, вариации нагрузки на конструкции могут быть вызваны изменением режима функционирования конструкций, например изменением величины груза, транс-