ей. Важным свойством нормальных процессов является то, что воздействие такого процесса на линейную систему также дает на выходе нормальный процесс.
Спектральная плотность мощности (или просто спектраль ная плотность) случайного процесса о (<) определяется как
преобразование Фурье его ковариационной функции:
+ 00
£ ( / ) = $ Я„„ (т) e -tfw d i. |
(2.13) |
Спектральная плотность согласно формуле (2.13) опре делена как для / >• О, так и для / < 0 и поэтому называется двусторонней. Поскольку S (/) так же, как и ковариацион
ная функция, является четной, в прикладном анализе рас сматриваются односторонние спектры W (/):
2S (f)t |
} > 0\ |
W(f) = |
(2.14) |
О, |
/ < 0. |
В связи с четностью Raa (т) связь W if) и R aa (т) можно за
писать через косинус-преобразование:
|
|
оо |
|
|
W (/) = 4 J R aa (т) cos 2я/тйт; |
(2.15) |
|||
|
+ов |
|
00 |
|
R aa (т) = |
J |
S (/) ei2xlxd f = |
J W( f ) cos 2nfxdf. |
(2.16) |
|
— оо |
|
О |
|
При т = О {как |
следует из |
выражений (2.9) — (2.11)] |
||
Ясс (0) = |
{ W (/) df = E [о2] = [В (О)!2 + o L |
(2.17) |
||
|
О |
|
|
|
Корреляционная функция случайного процесса опреде ляется как ковариационная функция центрированного про
цесса |
|
|
Сао (т) = Е {(о (*) — Е [о]) (о (t + т) - |
Е [а])] = |
|
= Я оо(т)-{Я [а]}2. |
(2.18) |
|
Нормированная корреляционная |
функция определяется |
|
следующим образом: |
|
|
г (X) = |
. |
(2.19) |
° С Н |
|
|
В большинстве практических вадач нормированные кор реляционные функции имеют вид либо монотонно убываю щих функций г (т) = р (т), либо затухающих осциллирую-
щих функций типа г (т) = р (т) cos 2я/0. При этом степень
коррелированности случайного процесса можно характери зовать интервалом корреляции
00 |
|
х„ = $ |p (x )|d x , |
(2.20) |
О |
|
который приближенно оценивает, на каком интервале вре мени в среднем имеет место коррелированиость между зна
чениями |
случайного процесса. |
|
Сформулируем некоторые свойства спектральных плот |
||
ностей, |
вытекающие из приведенных выше определений: |
|
1. «S' (/) — неотрицательная функция, S (/) ^ |
0; |
|
|
4 - 0 0 |
|
2. |
S (/) = J Ст (х) e - W ' d x + 8 (/) [Е [о])2, |
(2.21) |
|
—оо |
|
где б (/) — дельта-функция.
3. W (/) представляет собой мощность (средний квадрат) гармоник процесса в полосе частот /, / + df (отсюда и тер
мин — спектральная |
плотность). |
|
|
|
Для производной |
о (t) = |
стационарного |
процесса |
|
a (t) справедливы следующие соотношения: |
|
|||
Е [с] = |
0; |
Д ■„ (х) = - |
; |
(2.22) |
S b (/) |
= |
[S„ (/) —- S (/) (Я [о])*]. |
(2.23) |
|
В качестве иллюстрации рассмотрим четыре примера ре ализаций случайных процессов, соответствующих корреля ционных функций и спектральных плотностей 17].
1. Гармонический процесс (рис. 18, а), записанный в виде
xh (t) = X sin (2лf0t + 0ft), |
(2.24) |
где фаза 0д распределена равномерно на [0,2л], является стационарным и эргодическим. Ковариационная функция процесса определяется так (рис. 19, а):
R«x (т) = - у - cos 2л/0т. |
(2.25) |
Огибающая ковариационной функции не убывает с увели чением т, и поэтому по ограниченному участку реализации можно точно определить значения процесса в будущем. Спектральная плотность имеет вид
ИЧ/) = - £ - 8 ( / - / „ ) , |
(2.26) |
й6а,Шаг
IW ^ v W W |
ш |
/W v 1 |
- ^ \ / w |
||
|
|
*\ 1 \ р тш.. |
Рис. 18. Примеры реализаций случайных процессов: |
||
а — гармонический процесс; б — гармонический |
процесс |
плюс случайный шум: |
в — узкополосный случайный шум: а — широкополосный случайный шум. |
||
Рис. 19. Ковариационные функции процессов, изображенных на рис. 18 (условные обозначения те же, что на рис. 18).
т. е. вся мощность процесса сосредоточена на частоте / = /0 (рис. 20, а). Такая спектральная плотность служит хоро
шим приближением для описания вибрационных процессов во вращающихся элементах или акустического шума венти
ляторов |
или сирен. |
|
|
|
2. |
Спектральная плотность случайного широкополосного |
|||
шума (см. рис. 18) задается копстантой в полосе частот В |
||||
(рис. 20): |
|
|
|
|
|
W(f) = |
W, |
О < / < |
£ ; |
|
0, |
f > B . |
(2.27) |
|
|
|
|
||
При этом ковариационная |
функция |
|
||
|
R (т) = |
WB sin 2яДт |
(2.28) |
|
|
|
|
2я.#т |
|
Ковариационная функция процесса убывает очень быстро, что свидетельствует о слабой корреляции значений процес-
са, отстоящих на время |
т > |
^ |
(см. рис. 19). |
||
Случайный процесс, спектральная плотность которого |
|||||
равномерно распределена в полосе |
частот от 0 до В у назы |
||||
вается ограниченным по частоте белым шумом. |
|||||
3. |
Для узкополосного процесса спектральную плотность |
||||
можно идеализированно представить в виде |
|||||
|
W , |
/ 0- Д |
/ 2 < |
/ < / 0 + £/2; |
|
|
, 0 |
для |
других |
(2.29) |
|
|
/. |
||||
Ковариационная функция для этого случая
R (т) = W B si" j f T cos 2я/„т.
(2.30)
Как видно из рис. 19, огибаю щая этой ковариационной функ ции убывает медленно, что обу словливает большую коррелированность значений процесса по сравнению с широкополос ным шумом.
4.
го процесса и широкополосного шума (см. рис. 18) ковариацион ная функция равна сумме кова риационных функций гармони ческого процесса и широкопо
лосного шума. То же справедливо и в отношении спектров:
Д (X) = 4 1 cos 2я/0х + WB |
(2.31) |
Х г |
|
JV(/) = |
(2.32) |
0, |
f > B . |
Многие конструкции можно приближенно описать ли нейными динамическими моделями с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен тами
Q(p)o(t) = N (p)F(t), |
|
(2.33) |
||
где дифференциальные операторы имеют вид |
|
|||
Q (р) = ОпРп + Яп-iP71-1+ |
+ д0; |
(2.34) |
||
N (р) = Ьтрт + |
Ьт _ ip™-1 + |
-f b0. |
||
|
||||
Здесь си, bj — постоянные |
параметры |
системы; п~> т; |
||
р — оператор дифференцирования, р =
По известным параметрам системы и известной спектраль ной плотности возмущающей силы W р (/) можно определить спектральную плотность W0 (/) напряжений в опасном се
чении конструкции. Например, по спектральным плотностям неровностей взлетно-посадочных полос и по спектральным плотностям турбулентности атмосферы можно рассчитать
спектральные плотности па грузок на силовые элементы са молета при наземных маневрах и в полетпых условиях (по динамическим моделям самолета). Рассмотрим основные соотношения, позволяющие определить Wa (f) по Wp (/). Ре
акция системы (2.33) на единичное воздействие |
e^at |
(со = |
|||
= 2л/) представляет |
собой |
гармонический процесс |
с |
комп |
|
лексной амплитудой |
Ф (/со): |
|
|
|
|
|
<т(*) = |
ф (/©)<>'; |
|
(2.35) |
|
|
ф |
= W |
- |
|
(2-36> |
Ф(/со) называется частотной характеристикой системы. Мож
но показать [7,14], что W a (/) и W р (}) связаны |
следующим |
соотношением: |
|
W a (f) = \0(j2nJ)\*WF(f). |
(2.37) |
На практике во многих случаях при обработке реальных пагрузок производят оценку спектральных плотностей. Од ним из основных методов оценки W (/) является метод анало
говой фильтрации, реализующийся аппаратурно в виде спе циальных приборов-спектроанализаторов. В этом методе реализация процесса а (I) проходит через узкополосный
фильтр с полосой пропускания Д/ и центральной изменяе мой частотой /. Выходной сигнал фильтра а (/, А/, t) возво
дится в квадрат, осредняется по времени и делится на Д/, при этом получается оценка
. |
г |
|
W (/) = - щ - j а2(/, Д/, f) dt. |
(2.38) |
|
|
О |
|
При переходе к пределу |
при Д/ ->■ О, Д/Г |
0 получа |
ется ранее определенная односторонняя спектральная плот ность W (/).
С развитием в последнее время цифровых методов обра ботки процессов, появлением алгоритмов быстрого преоб разования Фурье и реализующих этот алгоритм специа лизированных вычислительных устройств наибольшее распространение получили методы, основанные на непосредст венном преобразовании Фурье реализаций случайного про цесса. Пусть ah (t) — реализация процесса длины Т. С по
мощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье вычи сляется функция
X h(/, |
Т) = | о* (t) |
(2.39) |
|
О |
|
Пусть имеется набор |
из nd (к — 1, 2, |
п$) реализаций |