неквадратичного отклонения результатов измерения этих аргу ментов.
Для уменьшения операционных погрешностей при вычислениях на микроЭВМ следует вместо х1 использовать величины ис = х 1 — с.
Тогда, подставив в формулу (3.01) |
значения 5 - |
и 5— , получим |
% |
хи |
Х1 |
(3.02)
Здесь |
и„. = х„{- |
сй; и1{ = х1{ - |
с{. |
|
|
|
|
Затем |
вычисляется показатель |
корреляции |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(3.03) |
|
Критерием отсутствия |
корреляции является |
неравенство |
|
||||
|
|
|
К ц < V |
|
(3.04) |
||
где /т — коэффициент |
доверия |
(прил. |
7) при доверительной |
ве |
|||
роятности у и числе степеней |
свободы |
к = п — 1. |
|
||||
Если неравенство (3.04) удовлетворяется, то это означает, что |
|||||||
корреляционная |
связь |
между |
данной |
парой |
аргументов Хь и |
X/ |
|
отсутствует. При наличии корреляционной зависимости между аргументами обработка экспериментальных данных при косвенных измерениях производится по более сложной методике (см. специаль ную литературу).
Определение результата косвенного измерения. При отсут ствии корреляционной связи между результатами наблюдений аргументов среднее значение результата косвенного измерения можно найти, подставляя в уравнение связи (1.03) средние значе
ния |
результатов |
прямых |
измерений |
этих аргументов: |
|
||||
|
|
|
У = |
I (* ц |
Х2> |
*Л/). |
|
(3.05) |
|
|
Зависимость |
погрешности |
результата |
косвенного |
измерения |
||||
от погрешностей аргументов. Погрешность |
результата |
косвенного |
|||||||
измерения |
в общем случае |
определяется соотношением |
|||||||
|
Дг/ = / (-^1 + А*,; |
^2 |
+ |
• • • ’» Х ц + |
— |
||||
|
|
|
— /О^г, |
Х2, |
,. Х„), |
(3.06) |
|||
где |
Ху — истинные значения |
аргументов; Д ^.— погрешности измере |
|||||||
ния |
этих аргументов. |
выражение |
неудобно для практического |
||||||
|
Однако |
полученное |
|||||||
использования. Разложив его в ряд Тэйлора, получим прибли женную формулу
N
(3-07)
где дЦдх^ — частная производная от у из уравнения связи (1.03) по /-му измеряемому аргументу; &ху , — абсолютная погрешность пря
мого измерения /-го аргумента.
В реальных условиях при сложении погрешностей возможна их частичная взаимная компенсация, поэтому формула (3.07) дает несколько завышенные результаты; вероятность наихудшего соче тания погрешностей, при котором в.се они арифметически склады
ваются, с ростом N стремится к нулю. |
Поэтому лучшие результаты |
||||||
получаются среднеквадратичным |
суммированием погрешностей: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.08) |
Величину |
= |
(д[/дх^) &х . называют |
частной погрешностью ре- |
||||
зультата |
косвенного измерения. |
результата |
косвенного |
изл ерения |
|||
Определение |
погрешности |
||||||
для |
наиболее |
распространенных |
зра нений |
связи. Из |
формулы |
||
(3.08) |
можно вывести значения |
погрешности |
результата |
косвенного |
|||
измерения для некоторых часто встречающихся уравнений связи,
например, для функции одной переменной, |
для суммы или произве |
||
дения аргументов и т. п. |
|
||
Для функции одной |
переменной |
|
|
|
|
У-Г(Х) |
(3.09) |
абсолютная погрешность |
результата составляет |
||
|
|
Л./ « I <*//<** | Д*; |
(3.10) |
ов частном |
случае1 ычг) , если •У—= ■»«■Х а,, XVто иДуля* аила ^ - 1ДХ. |
||
Это выражение удобнее представить в |
виде относительной по |
||
грешности |
результата: |
|
|
|
|
Ау/у « а Ах/х. |
(3.11) |
Из формулы (3.11) следует, что возведение в степень значи тельно увеличивает погрешность результата, поэтому измерение величин, которые при дальнейших вычислениях возвышаются в степень, должно производиться с особой точностью.
Если У = у^Х , то
(3.12)
Следовательно, величины, из которых при дальнейшей обра ботке извлекаются корни, могут измеряться с меньшей точносхыо, поскольку погрешность таких величин при обработке уменьшается.
Для алгебраической суммы
У = аХ \ + ЬХг + |
(3.13) |
абсолютная погрешность результата
Ау ~ У ( а Ь х,)* + (ЬАхУ + - - . |
(3.14) |
Для произведения
У = кХ а{Х ь2 . . . ; |
(3.15) |
|
|
+ |
|
(3.16) |
В формулах (3.13)—(3.16) величины а, Ьу |
. . . — любые |
целые |
||
или дробные, положительные или отрицательные числа. |
|
|||
Определение доверительных границ погрешности результата |
||||
косвенного |
измерения. Если |
при -проведении |
прямых измерений |
|
аргументов |
систематическая |
составляющая их |
погрешности |
была |
невелика (0/5- < 0,8), то ее влиянием на результат косвенного
измерения можно пренебречь. В этом случае следует вычислить среднеквадратичную погрешность 5 - результата косвенного изме рения:
(3.17)
где 5 ----- среднеквадратичные погрешности результатов прямых из*
х\
мерений аргументов *у.- Затем вычисляется так называемое «эффективное число степе
ней свободы» для данного косвенного измерения:
/= 1 |
/=1 |
где Лу — число прямых измерений аргумента Ху. Если все пу одинаковы и равны п, то
кэф |
|
(3.19) |
|
• |
|
/«=1 |
/=1 |
В прил. 7, задавшись значением у, находим для к = кэф (если значение к^ получилось дробным, его следует округлить) величину *7, после чего вычисляем доверительные границы случайной состав ляющей погрешности результата косвенного измерения:-
е=* Ч 87 |
(3.20) |
В этом случае доверительная граница общей погрешности |
резуль- |
тата косвенного измерения |
|
ДА у « е. |
(3.21) |
Если при проведении прямых измерений аргументов их систе |
|
матической составляющей погрешности пренебречь нельзя, |
то дове |
рительную границу общей погрешности результата косвенного измерения можно приближенно определить, подставляя в формулу (3.08) значения доверительных границ Д о б щ и х погрешностей ре-
Критерий ничтожных частных погрешностей. |
При |
определении |
|||
погрешности |
косвенного |
измерения |
приходится |
суммировать по |
|
грешности', |
разные по |
значению. |
Вычисление |
можно |
упростить, |
если пренебречь теми из них, которые по сравнению с другими ничтожно малы.
Допустим, следует |
просуммировать две |
частные погрешности |
Ег и Е 2, причем Ег > |
Я2. В общем случае суммарная погрешность |
|
|
ДЕ « У е '[+ Е\. |
(3.23) |
Согласно ГОСТ 8.011—72 погрешность округляется до однойдвух значащих цифр; следовательно, изменение правой части выра жения (3.23) менее чем на 5 % не повлияет на округленное значе ние Д2. Отсюда можно сформулировать следующий критерий: если
среди суммируемых частных погрешностей обнаружены наиболь шая и наименьшая, отличающиеся по значении* друг от друга более чем в три раза, т. е.
^2(мин) ^ з ^1(макс)* |
(3*24) |
то меньшей погрешностью можно пренебречь, что практически не отразится на значении ДЕ. На основании критерия ничтожных
погрешностей можно пренебречь целой группой погрешностей, если -их среднеквадратичное значение меньше 1/3 от наибольшей
частной |
погрешности: |
|
|
|
|
У е 1 + |
Е * + - . . < |
I Е,(макс). |
(3.25) |
Из критерия ничтожных частных погрешностей следует: при |
||||
поверке |
измерительных |
приборов |
образцовый прибор |
должен |
иметь погрешность хотя бь^в три раза меньшую, чем поверяемый. Округление констант в формулах связи. В вычислениях ре
зультатов косвенных измерений приходится пользоваться прибли женными значениями некоторых постоянных. Округление числовых значений , этих констант должно производиться в соответствии
с критерием ничтожных частных погрешностей: |
погрешность округ |
|||||||
ления |
константы С должна удовлетворять |
|
неравенству |
|
||||
|
|
|
ААу |
|
|
|
|
(3.26) |
|
|
|А С 1 < 3 (ду/дС) * |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь Дс — погрешность, |
возникающая |
при |
округлении |
чис |
||||
лового |
значения константы; |
ДАу — заданная |
доверительная |
гра |
||||
ница |
погрешности |
результата косвенного |
измерения; ду/дС» |
|||||
частная производная |
от у = / |
(ж,, х2, |
хп, |
С) |
по величине С. |
|||
бое). |
Программа № 15 (вычисление |
показателя корреляции, я |
— лю |
Исходными данными являются |
две выборки, в каждой |
из ко- |
|
рых |
имеется по п результатов наблюдений (хн^ — в первой, х с — во |
||
второй). Для уменьшения операционных погрешностей вычисления производятся с величинами щ -= Х 1 — с\ пересчет х* в щ выполняется автоматически (для этого следует ввести значения с/, и С[). В ре
зультате вычисления определяется величина показателя корреляции К# и число степеней свободы к = л — 1.
Программа № 15 приведена в табл. 49.
Инструкиця для работы с программой:
1.Ввести и проверить программу.
2.Возвратить программу к началу (В/О).
3. Набрать на клавиатуре принятые значения с/, и с/:
|
|
|
|
|
|
|
сн ! СII |
|
|
|
|
|
|
|
СУП — на |
индикаторе |
«О» |
(произведена |
|
очистка |
регистров, |
||||||||
которые будут |
использоваться |
как сумматоры). |
|
индикаторе |
||||||||||
4. |
Набрать |
на |
клавиатуре |
значение |
л, |
С/П — на |
||||||||
1 = 1. |
Набрать |
на |
клавиатуре |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
% |
* */,5 |
|
|
|
|
|
|
|
С/П — на индикаторе |
г = |
2. |
Ввести |
значения |
хНг и х |
и т. д |
||||||||
6. После ввода последней пары снова нажать С/П — на |
инди |
|||||||||||||
каторе |
К%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы к = |
||
7. |
Нажать С/П — на индикаторе число |
степеней |
||||||||||||
— п — 1. |
По прил. 7, задавшись значением у* |
найти |
коэффициент |
|||||||||||
доверия 1у и сравнить его с К |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
К # < 1у9 |
то корреляционная |
связь |
между |
выборками |
|||||||||
«Л» и «/» отсутствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
результатов |
|||||
8. Для обработки следующей пары совокупностей |
||||||||||||||
наблюдений необходимо повторить операции |
по |
пп. |
2—7. |
|||||||||||
9. |
Использование |
регистров |
адресуемой |
памяти |
представлено |
|||||||||
в табл. |
50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 19 (вычисления по |
программе |
|
15). |
Исходные дан |
||||||||||
ные приведены в табл. 51. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Принимаем сь = |
75 и с/ = |
25, вводим их в машину: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
75 |
| |
25 С/П. |
|
|
|
|
|
||
Набираем |
также |
п = |
5; |
С/П — на |
индикаторе 1 = 1. |
Вводим |
||||||||
|
|
|
|
|
75Л0 |
| |
25,41 С/П; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
75,32 |
| |
25,70 С/П |
|
|
|
|
|
||
и т. д. (время каждого вычисления около 12 с). |
|
|
|
|||||||||||
После |
ввода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
75,49 |
| |
25,30 |
С/П |
|
|
|
|
|
|
— на индикаторе |
|
= 0,821 568 6 (время вычисления |
около 25 с). |
|||||||||||
Снова |
нажимаем |
С/П — на индикаторе |
к = 4. Задавшись у=» |
|||||||||||
с= С^ЭБ, в прил, 7 для к = |
4 находим / |
= 2,776. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
^ |
|
|
|
|
|