Материал: Метрологія ЛНАУ

21

похибки.

До спеціальних способів вилучення систематичних похибок належать: спосіб заміщення, спосіб компенсації похибки за знаком, спосіб протиставлення, спосіб симетричних спостережень.

Спосіб заміщення полягає в тому, що спочатку на вхід вимірювального приладу подають вимірювану величину, а потім замінюють її величиною з таким відомим значенням хД, при якому показ приладу залишається попереднім. Отже, невідоме значення вимірюваної величини X знаходять за відомим значенням хД , відтвореним мірою при заміщенні.

Спосіб компенсації похибки за знаком полягає в тому, що дану величину вимірюють двічі, але умови вимірювання змінюють так, щоб стала систематична похибка, яка підлягає вилученню (відома за походженням, але невідома за значенням), входила в результати вимірювань з протилежними знаками. Тоді середнє арифметичне результатів стає вільним від цієї похибки.

Спосіб компенсації похибки можна використати для вилучення похибок, джерела яких мають направлену дію. Однак, якщо похибка така, що прогресує, то цей спосіб забезпечує тільки часткове її вилучення.

Спосіб протиставлення полягає в тому, що вимірювана величина двічі порівнюється з величиною, яка відтворюється мірою, причому перед другим порівнянням вони взаємно міняються місцями у вимірювальному колі. Результат вимірювання у вигляді середнього пропорційного між значеннями міри при першому і другому порівняннях зовсім не залежить від коефіцієнта передачі вимірювальної схеми. Тому стала систематична похибка цього коефіцієнта, яка існує при одноразовому вимірюванні, повністю вилучається.

Випадкові похибки. Випадкові похибки виникають внаслідок випадкових та непередбачених змін властивостей засобів і умов вимірювання та властивостей органів чуття спостерігача. Вони можуть бути зумовлені недосконалістю методу вимірювання, тобто недостатньою обґрунтованістю його теорії або допущеними спрощеннями, внаслідок чого не тільки значення, але й знаки похибок залишаються невідомими, випадковими є невизначені за своєю величиною або недостатньо вивчені похибки, в появі різних значень яких нам не вдається встановити закономірності. Вони визначаються складною сукупністю причин, які трудно проаналізувати, їх значення не можуть бути передбачені, а для всього їх загалу можна встановити закономірність лише для частоти появи їх різних значень. Присутність випадкових похибок (на відміну від систематичних) легко виявляється при повторних вимірюваннях, як деякий розкид результатів. Переважно поява випадкових похибок є стаціонарним випадковим процесом.

Якщо значення, які може набувати випадкова величина, утворюють дискретний (скінченний або нескінченний) ряд чисел, то така випадкова величина називається дискретною. Якщо ж значення випадкової величини заповнюють цілий проміжок (скінченний або нескінченний), то випадкову величину називають неперервною.

Кожному значенню випадкової величини хn дискретного типу відповідає певна ймовірність рп її появи. Кожному проміжку (а, b) із області значень випадкової величини неперервного типу також відповідає певна ймовірність р(а < х < b) того, що значення випадкової величини буде в певному проміжку.

22

Співвідношення, які встановлюють зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і їх ймовірностями, називають законом розподілу випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини задається рядом розподілу. Тому різноманітність величин випадкових похибок характеризують вказуванням закону розподілу їх ймовірностей або вказуванням параметрів цього закону, розвинутих в теорії ймовірностей і в теорії інформації.

Випадкові похибки описуються функціями розподілу: інтегральною і диференційною.

Інтегральною функцією розподілу результатів спостережень називають залежність ймовірності того, що результат спостережень хі в і-му досліді виявиться меншим, ніж деяке біжуче значення х від самої величини X:

(3.4)

де Р – символ імовірності події, вказаної у фігурних дужках.

Значення інтегральної функції в точці X числове дорівнює імовірності того, що випадкова величина хі внаслідок і-го спостереження виявиться лівіше від точки X. При переміщенні точки X вздовж осі ОХ ця ймовірність буде, напевно, змінюватись, але зменшитися при переміщенні вправо вона не може. Тому інтегральна функція розподілу є неспадною функцією аргументу. Загалом її значення при переміщенні точки X із "–" в "+" змінюється від 0 до 1. Теоретична інтегральна функція неперервна, тобто результат спостереження може мати яке завгодно наперед вибране значення з нульовою ймовірністю. Практично роздільча властивість вимірювальних засобів ділить всю область значень вимірюваної величини на відрізки, в котрих спостерігач не відрізняє зміни вимірюваної величини. Тому в межах кожного відрізка інтегральна функція розподілу зберігає постійне значення і стрибкоподібно змінюється при переході границі до якогось кінцевого значення. В цифрових вимірювальних системах ці сходинки конкретно відповідають одиницям останнього розряду, а в аналогових – якійсь часточці ціни поділки.

Але переважно згадані вище обставини не забороняють вважати інтегральну функцію розподілу результатів спостережень безперервною функцією і це спрощує аналіз випадкових похибок.

Похибку можна розглядати також як випадкову величину, що набуває в різних дослідах різного значення і. Початок координат для похибок відповідає значенню Х = х. Інтегральна функція розподілу похибок відповідає інтегральній функції розподілу результатів спостережень хі

(3.5)

У метрології при розгляданні випадкових похибок вимірювання частіше застосовують диференціальну функцію розподілу, котра є функцією, похідною від інтегральної за своїм аргументом

Диференціальну функцію розподілу рх(х) часто називають щільністю ймовірностей, а її графічну форму – кривою розподілу. Найчастіше ця крива має форму дзвона (рис. 2).

23

Рис. 2. Функції розподілу: а – інтегральна; б – диференціальна

Інтегруванням диференційної функції розподілу легко отримати інтегральну функцію

Для щільності ймовірностей мають виконуватись такі умови:

1. p x 0

2. p x dx 1

Другу умову називають умовою нормування щільності ймовірностей. Це значить, що площа під кривою розподілу в межах -∞ ... +∞ дорівнює одиниці, або інакше кажучи – ймовірність появи результату спостереження у вказаному інтервалі є вірогідною подією. Розмірність щільності ймовірності випадкової величини х виражається як х-1. Добуток р(х)dх називається елементом ймовірності і він дорівнює ймовірності того, що випадкова величина х буде мати значення в інтервалі dх. Якщо крива розподілу р(х) відома, то можна визначити ймовірність попадання результату спостереження в будь-який заданий інтервал х1, х2

Знаючи інтегральну функцію розподілу, ймовірність попадання результату спостереження х у вказаний інтервал визначають за різницею значень функції розподілу на межах цього інтервалу

Ймовірність попадання результатів спостережень в заданий інтервал х2 – х1 можна визначати графічним способом за інтегральною функцією розподілу (рис. 3, а) і за кривою розподілу щільності ймовірності (рис. 3, б).

У першому випадку шукана ймовірність визначається різницею значень ординат, що відповідають аргументам х1 і х2, а в другому випадку – площею під кривою розподілу, що обмежена вздовж осі х значеннями х1 та х2. Отже, за кривою розподілу можна довідатись, які інтервали значень випадкових похибок більш ймовірні, а які менш ймовірні. За кривою розподілу випадкових розмірів х (рис. 3, б) можна твердити, що ймовірності зростають при наближенні до деякої частини кривої, котра виглядає як середня, а потім зменшуються, прямуючи до нуля. При повторних вимірюваннях одної і тої ж фізичної величини X максимальна ймовірність припадає на значення, близькі до істинного X. Для значень х, що дуже відрізняються від X, ймовірність зменшується при збільшенні цієї різниці х-Х, тобто більшим похибкам відповідає менша ймовірність їх

24

появи. Якщо припустити, що причини, які спричиняють похибки вимірювання, проявляють себе випадково, то нема підстав твердити що якісь похибки (додатні або від'ємні) мають більшу імовірність. Тому можливим є прийняти за оцінку істинного значення вимірюваної величини таке значення, що відповідає центру ваги площі фігури, обмеженої кривою розподілу та віссю абсцис. Координата, що відповідає центру ваги, називається математичним сподіванням.

Рис. 3. Ймовірність попадання результатів спостережень в заданий інтервал

Математичне сподівання визначається як початковий момент першого порядку кривої розподілу

Отже, математичне сподівання випадкової величини х є деяким постійним числом, що є параметром розподілу. Числове значення вимірюваної величини, що відповідає математичному сподіванню, приймають за оцінку істинного значення X, тобто

Але при визначенні емпіричної кривої розподілу математичне сподівання переважно не збігається з істинним значенням вимірюваної величини.

Розподіл випадкової величини для загального випадку показаний на рис. 4.

Рис. 4. Характеристики випадкової похибки

25

З рис. 4 видно, що оцінка істинного значення М[х] відрізняється від істинного значення X на деяку т, котра є математичним сподіванням похибки вимірювання. Знайдемо математичне сподівання похибки вимірювання

Математичне сподівання похибки вимірювання становить деяку середню постійну похибку, котра повторюється в кожному і-му спостереженні. Цю похибку позначимо т, і назвемо систематичною похибкою. Дослідження процесів вимірювання показує, що систематична похибка інколи не залишається постійною, а змінюється плавно за якимось законом. Виникнення систематичної похибки є наслідком дії одної або декількох причин, що мають постійний або дещо змінний характер. Наприклад, неправильне настроювання нуля вимірювального приладу призводить до систематичної похибки, яка буде присутня в результаті кожного окремого спостереження.

Строгіше систематична похибка визначається як відхилення математичного сподівання результатів спостережень від істинного значення вимірюваної величини

(3.13)

а випадкова похибка – як різниця між результатом одноразового спостереження і математичним сподіванням результатів

результатів вимірювання, а випадкова змінюється і за значенням і за знаком для кожного одноразового спостереження, то істинне значення визначається так:

(3.17)

Значення хі – т називається виправленим результатом, якщо т вдається визначити, аналізуючи експеримент. Випадкова похибка рі залишається невідомою і вимагає чіткішого обмеження, (з врахуванням ймовірно-статистичних законів розподілу). Взагалі, при одноразовому спостереженні невідомими є обидві складові похибки вимірювання, і тому результат можна подати тільки в такому вигляді:

(3.18)

– межа похибки вимірювання (максимальне значення суми т і р за

Закони розподілу випадкових похибок.

Рівномірний розподіл. Якщо похибка вимірювання може мати з однаковою ймовірністю які завгодно значення, що не виходять за деякі межі ± n, то така похибка описується рівномірним законом розподілу. При цьому щільність ймовірності похибки р(Δ) є постійною всередині цього інтервалу і дорівнює нулю поза ним.