Материал: Методичка

21

5. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь множеством состояний Sm−1 , из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого Sm−1 условный оптимум целевой функции по формуле

и находя условное оптимальное управление xm (Sm−1 ), для которого этот минимум достигается.

6. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (2.2), полагая в ней i = (m −1)(, m − 2),K, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление xi (Si−1 ),при котором достигается минимум.

Так как начальное состояние системы S0 одно и оно известно, то на первом шаге варьировать состояние системы не нужно, оптимальное значение целевой функции для S0 находится непосредственно. Это и есть оптимум функции цели за весь процесс перевода,

W =W1 (S0 ).

7. Произвести безусловную оптимизацию управления, учитывая выработанные ранее рекомендации на каждом шаге. На первом шаге оптимальное шаговое управление x1* = x1 (S0 ). Пользуясь (2.1), находим изменившееся состояние системы S1 , для него определяем оптимальное управление на втором шаге x2 и т.д.

до конца.

2.2. Управление переходом организма из начального в конечное состояние при наличии промежуточных состояний

Управляемый процесс перевода системы G из начального S0 в конечное Sm

состояние можно интерпретировать как процесс лечения, который переводит организм человека из состояния "болен" в состояние "здоров", или процесс нормализации состояния человека-оператора, переводящий организм из состояния "не норма" в состояние "норма". Если при этом реализуется возможность выделения конечного множества состояний организма, являющихся промежуточными между

22

S0 и Sm , и можно описать шаговые управления, переводящие организм из состояния в состояние, то для оптимизации процесса лечения или нормализации состояния может быть применен метод динамического программирования. С помощью этого метода может быть заранее рассчитана оптимальная траектория перевода организма из S0 в Sm .

В качестве критериев оптимизации, т.е. целевых функций W могут выступать следующие, время лечения (нормализации состояния, выздоровления, вывода из опасного состояния и т.п.), токсичность применяемых медикаментов - "вредность" лечения, его стоимость, вероятность благоприятного исхода, риск осложнений и др. Для реальных задач предпочтительнее использовать одновременно несколько критериев, но это приводит к более сложным процедурам многокритериальной оптимизации. Далее в примерах мы будем использовать лишь один аддитивный критерий - время лечения или нормализации состояния.

Одна из известных задач, рассмотренная в [6,7] под названием выбора наивыгоднейшего пути между двумя пунктами (или наиболее экономного набора скорости и высоты летательным аппаратом), в применении к процессу лечения может быть сформулирована следующим образом. Имеется два заболевания B1 и

B2 , каждое из которых состоит из n последовательных стадий болезни: 1-й, 2-й,..., n -й. Стадия n - это "норма", а стадия 1 - наибольшая выраженность заболевания. За один шаг лечения посредством направленных лечебных воздействий можно изменить (увеличить) стадию только одного заболевания на 1. Условия задачи иллюстрирует рис.2.3, где при n = 5 все возможные состояния пациента задаются узлами построенной прямоугольной сетки. Для задания значений целевой функции на отрезках прямых, соединяющих узлы сетки, должны быть проставлены числа, равные времени перевода организма из состояния в состояние. Траектория перевода организма из S0 в Sm будет иметь вид ступенчатой линии. Требуется найти такую траекторию, при которой общее время лечения будет минимальным. Решение этой задачи рассмотрим в виде следующего конкретного примера.

Пример 2.1. У оператора два показателя жизнедеятельности B1 и B2 вышли за пределы нормы. С помощью управляющих воздействий эти показатели можно привести в норму. Каждый из показателей измеряется в порядковой шкале и

В1

Рис.2.4

Из рисунка видно, что число шагов при переводе организма из состояния S0 в

S8 всегда равно 8. Требуется выбрать такой путь из S0 в S8 , для которого сумма чисел, стоящих на отрезках, составляющих этот путь, минимальна. В соответствии с пп.4,5 и 6 вышеописанной процедуры решения задач динамического программирования и следуя ходу решения таких задач, изложенному в [6], произведем условную оптимизацию, начиная с последнего, 8-го шага. Рассмотрим правый угол нашей сетки (рис.2.5). После 7-го шага организм может находиться