Материал: Методичка

6

1.2. Распределение специализированных бригад скорой помощи по категориям больных

Рассмотрим работу станции скорой помощи. Известно, что имеется n ,

классов больных (травматические, кардиологические, ожоговые и т.д.) B1 , B2 ,K, Bn .

Число вызовов (в день) по классу больных B j равно bj . На станции имеется m

групп передвижных бригад скорой помощи (общего типа, кардиологические и т.д.)

обслуживания этого больного, равную cij . Предполагается, что каждая бригада

Спрашивается, сколько вызовов от каждого типа больных должна обслужить каждая группа этих бригад (xij ), чтобы суммарная эффективность обслуживания L ,

подсчитываемая по формуле

была максимальна.

Это транспортная задача ЛП. Математически она формулируется как максимизация L (или минимизация L' = −L ) при ограничениях

С целью достижения лучшего соответствия реальным условиям данная задача может быть усложнена, если равенства (1.2) и (1.3) заменить соответствующими неравенствами.

К транспортной задаче сводятся разнообразные распределительные задачи: распределение врачей разной специальности по разным группам больных в условиях массового заболевания, распределение ограниченного количества нескольких

7

лекарственных препаратов по различным группам больных, распределение операторов по рабочим местам, распределение работ при трудотерапии психических больных по результатам их психофизиологического тестирования и др. Некоторые

Рис. 1.1

Для решения задачи запишем уравнения-ограничения типа (1.2) и (1.3)

8

Эти уравнения не независимы, так как сумма правых и левых частей (1.4) и (1.5) равна сумме соответствующих частей остальных уравнений, поэтому сложением (1.4) и (1.5) получается то же уравнение, что и сложением (1.6)-(1.9). Таким образом, при 7 переменных мы имеем 5 независимых уравнений (пусть ими будут уравнения (1.4), (1.6)-(1.9)), поэтому задача решается геометрическим способом [7]. Выберем в качестве свободных переменных x11 и x12 , тогда базисные

Данные условия (вместе с условиями неотрицательности свободных переменных x11 ≥ 0, x12 ≥ 0 ) образуют область допустимых решений (ОДР), изображенную на рис.1.2. На этом же рисунке изображена основная прямая L' = 0 . Из рисунка видно,

9

что L' достигает максимума в точке x12 = 0; x11 =10 . При этом остальные элементы решения равны

x13 =10 − x11 − x12 = 0 ,

x14 = 40 ,

x21 =100 − x11 = 90 , x22 =100 − x12 =100 ,

x23 = 50 + x11 + x12 = 60 ,

L = 0,7x11 −0,3x12 +205 = 212

Таким образом, полученное значение суммарной эффективности обслуживания равно 212.

x11

100

Рис.1.2

1.3. Некоторые другие задачи на распределение

Большое число задач рационального распределения сводится к транспортной задаче ЛП. В данном разделе приведены примеры таких задач, возникающих в здравоохранении.

А. Распределение численности людей при массовом обследовании.

При периодических профосмотрах, массовом обследовании населения, массовых профилактических лечебных мероприятиях возникает следующая задача.

расположенных на некотором расстоянии от предприятий. Затраты на

медпунктов. Если для каждого из них пропускная способность равна Q1 , Q2 ,K, Qn ,

то должно выполняться

Требуется так распределить число людей xij , направляемых от предприятия

Пj в медпункт M i , чтобы суммарные транспортные затраты

n m

L = ∑∑cij xij i=1 j=1

были минимальны.

Ясно, что данная задача так же, как и предыдущая, сводится к составлению ограничений (1.2) и (1.3), т.е. приводит к основной задаче ЛП.

Ниже сформулирована одна и та же (с математической точки зрения) задача ЛП в трех различных содержательных постановках.

Б. Распределение врачей разной специальности по разным группам больных в условиях массового заболевания.

В условиях массового заболевания имеется 2 категории врачей A1 , A2 ,

которые обслуживают 3 группы больных B1 , B2 , B3 (различающихся по стадиям заболевания). Дневное число вызовов по группе больных B j составляет b j . Число врачей категории Ai равно ki . Так как каждый врач в день может обслужить N

больных, то все врачи категории Ai в день могут обслужить ai больных, где