Материал: Методичка

16

Последнюю систему неравенств преобразуем в систему равенств, введя новые неотрицательные переменные y1 , y2 , y3 .

Таким образом, (1.17) и (1.18) образуют систему из 6 уравнений с 8

неизвестными: x11 , x31 , x22 , x32 , x13 , y1 , y2 , y3 . Применим геометрический способ решения. Выберем 2 свободных переменных x31 и x32 . Остальные 6 будут базисными. Выразим базисные переменные через свободные

L достигается в точке F . Таким образом, решение задачи:

Следовательно, при выбранной оптимальной схеме лечения относительное число выздоровевших больных максимально и составляет 97%.

x32 x32=-4x31+4,33

x32=-8x31+0,5

Рис.1.4

2. УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ОРГАНИЗМА В БИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1. Метод динамического программирования

Рассмотрим управляемый процесс, который переводит некоторую систему G

из начального состояния S0 в конечное состояние Sm . При наличии промежуточных состояний такой перевод представляется в виде траектории, состоящей из

18

конкретной последовательности промежуточных состояний (рис.2.1). Если промежуточные состояния могут быть различными, то траектория перевода G из S0

в Sm неоднозначна и зависит от вырабатываемых управляющих воздействий x .

Введя какую-либо целевую функцию W =W (x), зависящую от выбранного управления x , можно сравнивать (по величине W ) траектории друг с другом и ставить задачу об отыскании оптимальной траектории, при которой достигается экстремум W . В зависимости от содержания целевой функции в процессе

W* = min{W (x)}.

x

Представим себе теперь процесс управления состоящим из конечного числа последовательных шагов. В этом случае траектория перехода G из S0 в Sm будет иметь вид последовательности промежуточных состояний S0 , S1 , S2 ,K, Sm , которая является результатом пошагового управления x , также имеющего вид последовательности x = x1 , x2 ,K, xm . Будет считать, что Si обозначает состояние системы G , а xi - управление на i-м шаге для произвольной траектории. Для конкретной же траектории конкретное управление xi' переводит G в конкретное состояние Si' . Нужно иметь в виду, что управления x1 , x2 ,K, xm в общем случае не числа, а вектора, функции, какие-либо предписания и т.п. Пусть на каждом отдельном i-м шаге, заключающемся в переходе из Si−1 в Si , известно значение целевой функции W которое обозначается wi . Считая выбранный критерий W

аддитивным, т.е. полагая, что

19

m

W= ∑wi ,

i=1

задача оптимизации формулируется следующим образом. Требуется найти такое оптимальное управление x* = x1 , x2 ,K, xm (где xi - оптимальное шаговое управление на i-м шаге), при котором целевая функция W принимает минимальное значение, т.е.

Для примера, приведенного на рис.2.2, существует два варианта управлений и две возможных траектории, для каждой из которых можно подсчитать значение целевой функции.

Пусть W '>W '' ; тогда второй вариант является оптимальным, т.е. x* = x'', W* =W '' .

S1''

Рис. 2.2

20

программирования основан на использовании общего принципа, известного как принцип оптимальности. Он формулируется так [7]:

Каково бы ни было состояние S системы G в результате какого-то числа шагов, мы должны выбирать управление на ближайшем шаге так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к минимальному значению целевой функции на всех оставшихся шагах, включая данный.

При решении задач динамического программирования полезно пользоваться схемой решения, данной в [6,7]. После выбора способа описания состояний управляемой системы и разбиения всего процесса управления на шаги применяется следующая процедура [7].

1. Перечислить набор шаговых управлений xi для каждого шага и налагаемые на них ограничения.

2. Для каждого i-го шага определить значение wi в функции от состояния Si−1

на (i −1)-м шаге и от шагового управления xi

4. Пусть Wi (Si−1 ) - условный оптимум целевой функции, получаемый на всех последующих шагах, начиная с i-го и до конца. Надо записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее Wi (Si−1 )

Этому условному оптимуму целевой функции соответствует условное оптимальное управление на i-м шаге xi (Si−1 ), которое совместно с оптимальным управлением на всех последующих шагах обращает целевую функцию на всех оставшихся шагах, начиная с данного, в минимум.