Материал: методичка по лабам Рцис
Воздействие гармонического колебания на безынерционный нелиней-
ный элемент. Рассмотрим воздействие на нелинейный элемент гармонического колебания в сумме со «смещением», задающим рабочую точку:
u(t) = U0 + Umcos(ω1t + φ1). (10.3)
Обратимся к рис. 10.2, иллюстрирующему типичное взаимное расположение ВАХ и сигнала (10.3), начальную фазу которого примем равной нулю (φ1 = 0). Ток в цепи появляется только при u > Uн и является периодической последовательностью импульсов:
|
|
U |
н |
− U |
0 |
|
|
S (U0 |
+ Um cos ω1t − Uн) = SUm cos ω1t − |
|
|
, |
| ω1t − 2kπ | ≤ θ, |
||
|
Um |
|
|||||
i(t) = |
|
|
|
|
(10.4) |
||
0, |
|
|
|
|
|
|
| ω t − 2kπ | > θ. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Введенный в выражение (10.4) параметр q называется углом отсечки. Физический смысл угла отсечки иллюстрирует рис. 10.2 – очевидно, что по координате ω1t (линейная текущая фаза) косинусоидальный импульс тока имеет длительность 2q. При ω1t = 2kp ± q ток в цепи равен нулю; из уравнения
|
U |
н |
- U |
0 |
|
|
|
|
SUm cos q - |
|
|
|
= 0 |
|
|||
|
Um |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
следуют часто используемые соотношения: |
|
|
|
|
||||
cos q = |
Uн − U0 |
, |
|
|
(10.5) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
Um |
|
|
|
|
||
i(t) = SUm(cos ω1t – cos |
|
q), cos ω1t ³ cos q. |
(10.6) |
|||||
Максимального значения Im импульс тока достигает при ω1t = 2kπ, по-
этому
Im = SUm(1 – cos q), SUm = |
|
Im |
. |
(10.7) |
|
- cos q |
|||
1 |
|
|
||
Используя полученные соотношения, найдем коэффициенты разложения периодической (с периодом T = 2π/ω1) функции (10.6) в ряд Фурье в синусно-
косинусном представлении
|
∞ |
i(t) = a0 + ∑ (ak cos kω1t + bk sin kω1t) . |
|
2 |
k =1 |
|
|
Так как функция четная, коэффициенты bk º 0. Коэффициенты ak вычисля-
ются по формуле
116
2 |
T /2 |
|
2 |
θ |
|
ak = |
|
∫ |
i(t)cos kω1t dt = |
|
∫ i(t) cos kω1t d (ω1t) . |
T |
ω T |
||||
|
|
−T /2 |
|
1 |
−θ |
Используя четность подынтегрального выражения, формулы (10.6), (10.7) и соотношение ω1T = 2π, перепишем последний интеграл:
|
|
2Im |
θ |
|
|
ak = |
|
∫ |
(cos ω1t − cos θ) cos kω1t d (ω1t) . |
||
π(1 |
− cos θ) |
||||
|
|
||||
|
|
|
−θ |
|
Коэффициенты ak для k > 0 являются амплитудами гармонических со-
ставляющих тока i(t); постоянная составляющая I0 = a0/2. Интегрирование дает формулу для амплитуды k-й гармоники:
Ik = Im |
2(sin kθcos θ − k cos kθsin θ) |
. |
|
||
|
kπ(k 2 −1)(1 − cos θ) |
|
Приведем явные выражения для амплитуд некоторых гармоник:
I |
0 |
= I |
|
sin θ − θcos θ |
= SU |
|
sin θ − θcos θ |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
m |
π(1 − cos θ) |
|
m |
|
|
|
|
|
|||||
I |
= I |
|
θ − sin θcos θ = SU |
θ − sin θcos θ |
, |
||||||||||||
|
1 |
|
|
m |
π(1 − cos θ) |
|
m |
|
|
π |
|
|
|
||||
|
|
I |
2 |
|
= I |
|
2sin3 θ |
= SU |
|
2 |
sin |
3 |
θ. |
|
|||
|
|
|
m 3π(1 − cos θ) |
m |
3π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Часто используются нормированные к Im значения Ik, или коэффициен-
ты Берга
αk (θ) = Ik (θ) , Ik = αk (θ)Im,
Im
атакже функции Берга
γk (θ) = Ik (θ)
(SUm ), Ik (θ) = γk (θ) SUm.
Графики α k (θ) и γk (θ) для k = 0, 1, 2, 3 приведены на рис. 10.3 и 10.4. Вид графиков указывает на возможность оптимизации процедуры нелинейного преобразования, так как при заданной ВАХ (фиксированном Uн) угол отсеч-
ки θ в соответствии с формулой (10.5) регулируется выбором амплитуды Um и смещения U0.
117
αN(θ) |
|
|
|
|
α1(θ) |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α0(θ) |
0,4 |
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
α2(θ) |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
α3(θ) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
–0,1 |
|
|
|
|
100 120 140 160 θ, ...° |
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
|
Рис. 10.3
Рис. 10.4 |
Коэффициенты и функции Берга связаны друг с другом соотношением
γk(θ) = (1 – cos θ)αk(θ).
Таким образом, ток в цепи нелинейного двухполюсника при гармоническом воздействии представляется суммой постоянной I0 и гармонических с ампли-
тудами I1, I2, I3, … и частотами ω1, 2ω1, 3ω1, …, кратными частоте прило-
женного напряжения, составляющих, т. е. рядом Фурье.
10.2. Описание лабораторной установки
Лабораторная установка включает в себя лабораторный макет со встроенным вольтметром, высокочастотный генератор, осциллограф и анализатор спектра. Лабораторный макет содержит электронные блоки, выполненные на базе операционных усилителей и реализующие операции суммирования напряжения E0 от встроенного регулируемого источника и электрических колебаний от внешнего источника (генератора) и нелинейного преобразования за счет введения в схему полупроводникового диода c нелинейной ВАХ. Также имеется встроенный в макет полосовой фильтр с резонансной частотой 200 кГц, через который можно пропустить преобразованные нелинейным элементом колебания с помощью переключателя S1.1, и нелинейный элемент с квадратичной амплитудной характеристикой. Выходное напряжение подается одновременно на осциллограф и анализатор спектра, что позволяет проводить измерения во временной и частотной областях. Для измерения амплитудной характеристики нелинейного элемента (зависимости напряжения на выходе от напряжения на входе) в макете имеется встроенный вольтметр, который в зависимости от положения переключателя S1.2 позволяет измерить постоянное напряжение до нелинейного элемента или после него.
118
Для удобства проведения измерений ток, протекающий через нелинейный элемент, преобразуется в напряжение посредством пропускания его через резистивный элемент, затем напряжение усиливается. Таким образом, амплитудная характеристика блока нелинейного преобразования в точности совпадает по форме с ВАХ нелинейного элемента. К макету подключен спектроанализатор с входным сопротивлением 50 Ом, с помощью которого определяются амплитуды гармонических составляющих напряжения. Измерив эти амплитуды, легко найти (согласно закону Ома) амплитуды гармоник тока, протекающего через указанное сопротивление.
10.3.Задание и указания к проведению работы
1.Снять амплитудную характеристику нелинейного элемента. Для этого изменять напряжение смещения, подаваемое от источника регулиру-
емого напряжения E0 , и измерять с помощью встроенного вольтметра по-
парно напряжения на входе и выходе нелинейного элемента. Во время измерений следует проконтролировать, чтобы колебания от внешнего источника не подавались.
2. Измерить амплитуды гармонических составляющих выходного тока через сопротивление нагрузки (50 Ом), возникающих при воздействии на нелинейный элемент гармонического колебания при различных углах отсеч-
ки θ. Для этого:
а) подать на вход сумматора макета (вместе с источником регулируемого смещения E0 ) напряжение гармонического колебания с частотой 100 кГц от высокочастотного генератора;
б) выходное напряжение с нелинейного элемента подать на осциллограф и анализатор спектра;
в) получить устойчивое изображение выходного сигнала на экранах осциллографа и анализатора спектра;
г) поддерживая постоянной амплитуду входного гармонического колебания, изменять напряжение смещения E0 и измерять с помощью осцилло-
графа половину длительности импульса тока в нелинейной цепи τ и пиковое значение напряжения на резисторе Uпик ; одновременно с помощью анализа-
тора спектра измерять амплитуды Ak трех первых гармоник выходного напряжения; все данные (значения τ, Ak , Uпик ) записывать в таблицу для
10…15 значений τ [0,T 
2], где T – период входного гармонического коле-
бания с частотой 100 кГц.
119
3. Наблюдать действие полосового фильтра на форму и спектральный состав выходного напряжения. (В настоящем пункте демонстрируется реализация умножителя частоты на 2.) Для этого:
а) изменением напряжения смещения E0 добиться максимума второй гармоники выходного напряжения и при установленном значении E0 изме-
рить и записать значения τ, Ak , Uпик ;
б) включить переключателем S1.1 полосовой фильтр, настроенный на частоту 200 кГц, и зарисовать форму напряжения, наблюдаемую на экране осциллографа.
4. Используя нелинейный элемент с квадратичной амплитудной характеристикой (квадратор), построить умножитель частоты на 2 без применения полосового фильтра. Для этого отключить полосовой фильтр и подобрать такое напряжение смещения E0 , чтобы на выходе квадратора осталась только вторая гармоника протекающего через нелинейный элемент тока. Записать значение этого напряжения.
5.Построить ВАХ нелинейного элемента по измеренным значениям амплитудной характеристики, при этом значения тока рассчитывать как отношение выходного напряжения к сопротивлению нагрузки 50 Ом (входное сопротивление спектроанализатора). Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию снятой ВАХ нелинейного элемента и определить напряжение отсечки Uн и крутизну S (в миллиамперах на вольт) наклонной ветви.
6.Рассчитать по экспериментальным данным величины углов отсечки θ, используя формулу
θ= πτ .
|
T |
7. |
Рассчитать амплитуды гармоник тока Ik по измеренным значени- |
ям Ak . |
|
8. |
Произвести нормировку амплитуд Ik гармонических составляющих |
тока в цепи к максимальному значению тока Im = Uпик /R (R = 50 Ом). Функ-
ции αk (θ) = Ik (θ) представить в виде графиков в масштабе, удобном для
Im
сравнения с графиками на рис. 10.3. Объяснить их различие.
9. Вычислить угол отсечки по данным п. 3а и сравнить его с углом отсечки, обеспечивающим максимальное значение амплитуды второй гармоники тока в нелинейной цепи по графику на рис. 10.3. Объяснить их различие.
120