Материал: методичка по лабам Рцис

9.Привести схему и вывод выражений для частотной и импульсной характеристик параллельного одиночного колебательного контура.

10.Привести схему и вывод выражений для частотной и импульсной характеристик последовательного одиночного колебательного контура.

11.По заданному преподавателем графику АЧХ построить зависимость выходного коэффициента модуляции от частоты модулирующего сигнала. Считать, что на вход цепи подается однотональный АМ-сигнал с несущей частотой, равной резонансной частоте цепи, и коэффициентом модуляции 0,5.

12.Может ли в линейной цепи коэффициент модуляции на выходе быть больше, чем на входе?

13.В каких случаях возможна перемодуляция АМ-колебания на выходе избирательной цепи, если на входе ее нет?

14.К какому значению стремится mвых(Ω) при Ω → 0?

15.В чем проявляются искажения АМ-колебаний при их прохождении через избирательные цепи?

61

6.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ВЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Цель работы – изучение частотных и временных характеристик слу-

чайных процессов, их взаимосвязи и преобразования при прохождении через

линейную цепь.

6.1. Теоретические сведения

Вероятностные характеристики случайных процессов. Случайными называют сигналы, мгновенные значения которых заранее неизвестны и мо-

гут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы.

Их характеристики могут быть только статистическими, т. е. иметь вероят-

ностный вид. В радиоэлектронике все сигналы, несущие информацию, а так-

же большинство помех и шум являются случайными.

По отношению к случайной величине, изменяющейся во времени,

например мгновенному значению напряжения случайного сигнала u(t), при-

меняют термин случайный процесс. Этот термин объединяет случайные сиг-

налы, помехи и шумы. Конкретный вид части случайного процесса на огра-

ниченном интервале времени (например, в виде записи в запоминающем ос-

циллографе) называют его реализацией.

Большинство случайных процессов, встречающихся на практике, с до-

статочной точностью можно считать стационарными и эргодическими.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если

его двухмерная плотность вероятности удовлетворяет условию p2 (x1, x2,t1,t2 ) = p2 (x1, x2, τ) , где τ = t2 − t1. При этом одномерная плотность вероятности от времени не зависит: p1(x1,t1) = p1(x1).

Случайный процесс называется эргодическим, если любая его характе-

ристика, полученная статистическим усреднением по множеству реализаций,

совпадает с такой же характеристикой, полученной усреднением по времени

62

При исследовании стационарных эргодических процессов основной ин-

терес представляют свойства их флуктуаций ξ(t), для описания которых вво-

дят корреляционную функцию (КФ) флуктуаций и спектральную плотность мощности.

Корреляционно-спектральный анализ случайных процессов. Корреля-

ционная функция R(τ) является мерой статистической связи между мгновенными значениями случайного процесса, разделенными интервалом време-

ни τ. Иными словами, она позволяет оценить, насколько существенно в сред-

нем успеет измениться значение флуктуаций за время τ по сравнению с наблюдаемым мгновенным значением в исходный момент времени t. Для стационарного эргодического процесса КФ определяется соотношением

Знак τ может быть любым. Чтобы лучше уяснить физический смысл этого выражения, рассмотрим следующую операцию предельного перехода.

Возьмем реализацию случайного процесса (рис. 6.2) длиной 2Т и выберем на ней отсчетные моменты времени t1, t2, t3 , …, следующие с равным шагом. Зададимся интервалом времени τ и определим мгновенные значения: ξ(t1 ) , ξ(t1 + τ); ξ(t2 ), ξ(t2 + τ) ; ξ(t3 ), ξ(t3 + τ) и т. д. Затем вычислим сумму

и разделим ее на длину реализации 2Т (в этом и заключается операция усреднения). Чтобы перейти к определению (6.2), надо брать моменты t1, t2, t3 с

бесконечно малым шагом dt, а длину реализации 2Т устремить к бесконечно-

сти. В результате получим одно значение КФ для выбранного значения τ. Ес-

ли процесс во времени изменяется медленно, то за интервал τ его мгновенные значения существенно не изменятся (как, например, на рис. 6.2).

63

где r(τ) – коэффициент корреляции, или нормированная КФ. Его основные свойства:

вид R(τ) и r(τ) однозначно определяется свойствами рассматриваемого слу-

чайного процесса, но с увеличением |τ| обе функции стремятся к нулю, хотя и не всегда монотонно (например, в виде затухающих колебаний).

Спектральная плотность мощности (СПМ) флуктуаций случайного процесса есть функция W(ω), описывающая распределение средней мощно-

сти флуктуаций по частоте. Физический смысл СПМ состоит в следующем:

W(ω) представляет собой среднюю мощность флуктуаций, приходящуюся на полосу частот 1 Гц при заданной частоте ω = 2πf.

64

Формально W(w) определяют, усредняя квадраты модулей спектральных плотностей напряжения большого числа реализаций случайного процесса:

где XɺiT (w) – спектральная функция i-й реализации с длительностью Т:

T /2

XɺiT (w) = ∫ xi (t )e− jωt dt.

−T /2

Эта операция возможна благодаря тому, что любая «состоявшаяся» реа-

лизация есть детерминированный сигнал. В (6.6) черта сверху означает усреднение по множеству реализаций. Заметим, что непосредственное усреднение спектральных функций XɺiT (w) приводит к нулевому результату из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в раз-

личных реализациях. Функция W(w), как и XɺiT (w) , является четной,

W(w) = W(– w).

В соответствии с теоремой Винера– Хинчина корреляционная функция и СПМ связаны преобразованиями Фурье:

существующая только при w ³ 0.

Примерный вид СПМ и нормированных КФ для широкополосного и узкополосного случайных процессов приведен на рис. 6.3 и 6.4 соответственно,