Документ: методичка по лабам Рцис, страницы 51-55

Для удобства работы с формулой упростим ее, ограничившись рассмотрением частотной характеристики контура вблизи резонансной частоты

ω0 = 1LC , т. е. ограничимся частотами ω, для кото-

рых относительное отклонение от ω0 много меньше

. R		C L .
Uвх			Uвых


	Рис. 5.1

единицы. Также учтем,				что добротность параллельного контура Q = R ρ =
= R		, где ρ =		– характеристическое сопротивление контура. Не-
	C L		L C

сложные преобразования формулы (5.1) приводят к следующему выражению:

Kɺ(ε)	1	,
	1 + j2Qε

где ε = (ω − ω0)/ω0. Запишем выражения для АЧХ и ФЧХ колебательного контура:

	Kɺ(ε)	=	1			, ϕ(ε) = arg (Kɺ(ε)) = − arctg(2Qε) −2Qε
			1

			1 + 4Q2ε2
			1 + 4Q2ε2
и построим соответствующие графики (рис. 5.2, 5.3) для Q = 100.
	\|K(ε)\|					ϕ(ε)
1						π/2
					0
0						ε		ε
	−0,03		0			0,03 −0,03	0	0,03
				Рис. 5.2			Рис. 5.3

Из полученных выражений и построенных графиков видно, что при

ε ≤ 1/(2Q) АЧХ примерно равна единице, а ФЧХ является линейно убываю-

щей функцией от частоты. При ε ≥ 1/(2Q) значительно уменьшается коэффи-

циент передачи цепи.

Рассмотрим схему системы контуров с емкостной связью (рис. 5.4). Система представляет собой 2 идентичных параллельных колебательных контура, соединенных между собой конденсатором с емкостью Cсв (в практически важных случаях значение емкости связи примерно в добротность раз меньше значения емкости контура). Обозначим через Zɺк сопротивление параллель-

ного колебательного контура (рис. 5.5).

51

.

R .

R

C

.

R

C

L

Cсв

Uвх

Uвых Zк

L

Рис. 5.4

Рис. 5.5

С учетом ранее принятых обозначений и сделанных упрощений выра-

жение для Zɺк можно записать как Zɺк = R (1 + j2Qε) .

Комплексный

коэффициент

связи

для

системы

связанных

контуров

(ССК), очевидно, будет

KɺССК(ε) =

Zɺ2

Kɺ2

(ε)

, где k =

C

к

св

. (5.1)

1

1 − k

С +

ɺ

С

R

2Zɺк +

2K (ε) − j

св

jCсвω0 (1

Qk

+ ε)

Последнее равенство написано с учетом того же приближения: ε << 1.

Параметр k называется коэффициентом связи связанных контуров и меняется в пределах от нуля до единицы.

Характер АЧХ и ФЧХ системы связанных контуров сильно зависит от коэффициента связи и добротности контуров. Для практически важных слу-

чаев добротность контуров много больше единицы и составляет десятки,

сотни и даже тысячи единиц. При сильной связи, т. е. когда k → 1 и, соответ-

ственно, Qk >> 1, формула упрощается и переходит в выражение для одиноч-

ного колебательного контура с коэффициентом 1/2: KɺCCK (ε) = Kɺ(ε)2 . Это происходит из-за большой емкости связи, так что можно рассматривать коле-

бательные контуры как параллельно соединенные. Тем самым они образуют новый контур со значением индуктивности, в 2 раза меньшим, и со значением емкости, в 2 раза большим, при этом резонансная частота не меняется.

При слабой связи, т. е. когда k → 0 и, соответственно, Q k << 1, формула преобразуется: KɺCCK (ε) = j Q k Kɺ2 (ε) . Таким образом, комплексный коэф-

фициент передачи ССК выражается через квадрат комплексного коэффици-

ента передачи одиночного контура с амплитудным множителем jQk. Полоса пропускания ССК сужается по отношению к колебательному контуру, и зна-

чительно увеличивается степень подавления колебаний при отстройке часто-

ты от резонансной. Максимальный коэффициент передачи, наблюдаемый на резонансной частоте, много меньше единицы.

52

На практике наибольший интерес представляет случай так называемой критической связи между контурами, т. е. когда Qk = 1, или близкий к нему случай. Комплексный коэффициент передачи ССК при критической связи

Kɺ	ССК(ε) =	Kɺ	(ε)		=	1	.
		2 − j	1			2(1 + j2εQ) − j(1 + j2εQ)2

				Kɺ(ε)

В этом случае максимум АЧХ несколько смещается вниз по частоте, в полосе пропускания АЧХ становится максимально плоской, а вне полосы пропускания происходит существенное подавление колебаний. Максимальное значение сохраняется равным 0,5. При уменьшении коэффициента связи полоса пропускания становится ý же и максимальное значение уменьшается пропорционально значению коэффициента. С ростом коэффициента связи полоса пропускания увеличивается, меняется характер АЧХ: появляются 2 максимума и минимум. Максимальные значения АЧХ сохраняются равными 0,5, а минимальное зависит от значения коэффициента связи, причем оно тем меньше, чем больше коэффициент. С увеличением значения емкости связи средняя частота фильтра на основе ССК уменьшается. На рис. 5.6 и 5.7 приведены графики АЧХ и ФЧХ системы связанных контуров при различных значениях коэффициента связи (кривая 1 – 0,03, 2 – 0,01, 3 – 0,003).

	KССК (ε)			arg (KССК (ε))
	KССК (ε)			arg (KССК (ε))
0,5				−100	3
				1	3
1				−300	2
1				−300
2		3	ε			ε
0			ε			ε
−0,05		0	0,03	−0,05	0	0,03
	Рис. 5.6				Рис. 5.7

ФЧХ в полосе пропускания сохраняется близкой к линейной в случаях,

когда Qk ≤ 1. При невыполнении этого условия фильтр на основе ССК будет вносить существенные фазовые искажения.

Амплитудно-модулированное колебание с тональной модуляцией показано на рис. 5.8 и имеет следующую математическую форму записи:

s(t) = A(1 + m cos(Ωt))cos(ω t) = Acos(ω t) +				Am	cos((ω + Ω)t ) +
s(t) = A(1 + m cos(Ωt))cos(ω t) = Acos(ω t) +					cos((ω + Ω)t ) +
		0	0	2	0
				2
+	Am	cos((ω − Ω)t ),			(5.3)
+		cos((ω − Ω)t ),			(5.3)
2		0
2
		53

где A – амплитуда несущего колебания; m – коэффициент амплитудной мо-

дуляции; Ω – частота модулирующего колебания; ω0 – частота несущего ко-

лебания. В выражении (5.3) для краткости записи начальные фазы модулирующего и несущего колебаний приняты равными нулю.

s(t)

	Ak	A
	Umax	A
0	Umin	mA	mA
0	t	mA	mA
	t	2	2
		2	2
	0	ω0 – Ω ω0 ω0 + Ω		ω
	Рис. 5.8	Рис. 5.9

В соответствии с формулой (5.3) спектр АМК дискретный и состоит из трех гармонических колебаний на частотах ω0, ω0 + Ω и ω0 − Ω с соответ-

ствующими амплитудами A, Am/2 и Am/2 и нулевыми начальными фазами. На рис. 5.9 изображен амплитудный спектр АМК.

На выходе линейной цепи при поступлении на ее вход гармонического колебания будет наблюдаться гармоническое колебание, отличающееся от входного колебания амплитудой и фазой. В силу свойств линейных цепей можно рассматривать прохождение любых гармонических колебаний независимо друг от друга. Таким образом, при поступлении на вход фильтра АМК выходной сигнал будет представлять собой сумму трех гармоник, при этом из-за преобразований амплитуд и фаз гармоник не всегда выходное колебание будет описываться формулой (5.3). Последнее означает, что на выходе цепи будет наблюдаться искаженное АМК, строго говоря, это уже будет не АМК. Для минимизации степени искажений необходимо, чтобы спектр сигнала был сосредоточен внутри полосы пропускания фильтра.

Выражение для выходного сигнала фильтра, представляющего собой колебательный контур, при поступлении на его вход АМК имеет вид

sвых(t) = A

Kɺ(ω0 )

cos(ω0t + arg (Kɺ(ω0 ))) +

+

Am

Kɺ(ω0 + Ω)

cos ((ω0 + Ω)t + arg (Kɺ(ω0 + Ω))) +

2

cos ((ω0 − Ω)t + arg (Kɺ(ω0 − Ω))).

+

Am

Kɺ(ω0 − Ω)

(5.4)

2

54

При использовании в качестве фильтра ССК в выражении (5.4) достаточно заменить Kɺ(ω) на KɺCCK (ω) .

В качестве примера рассмотрим случай прохождения АМК через одиночный колебательный контур, когда несущая частота колебания совпадает с резонансной частотой контура. В этом случае коэффициенты Kɺ(ω0 + Ω) и Kɺ(ω0 − Ω) равны, а фазы arg (Kɺ(ω0 + Ω)) и arg (Kɺ(ω0 − Ω)) равны по моду-

лю и противоположны по знаку. Фаза несущего колебания arg (Kɺ(ω0 )) = 0 .

В этом случае выходное колебание будет описываться формулой (5.3) и представлять собой АМК с другим коэффициентом амплитудной модуляции mвых = m Kɺ(ω0 + Ω) / Kɺ(ω0 ) , как это следует из формулы (5.4).

Таким образом, коэффициент амплитудной модуляции выходного АМК изменяется пропорционально величине Kɺ(ω0 + Ω) .

5.2. Описание лабораторной установки

Лабораторный макет (рис. 5.10) содержит 2 идентичных колебательных контура и переключатель, с помощью которого 2 контура соединяются между собой через переменный конденсатор. Сигнал от внешнего источника поступает на вход первого контура. Выходной сигнал регистрируется либо на выходе первого контура, либо на выходе второго контура в зависимости от положения переключателя.

I

II

.ɺ R

L

C

L

С

C

R

.

ɺ

Uвхх

Cсв

св

Uвыхых

Рис. 5.10

Структурная схема лабораторной установки (рис. 5.11) содержит генератор сигналов низкочастотный ГСН, генератор сигналов высокочастотный ГСВ, генератор импульсов ГИ, макет, двухлучевой осциллограф и спектроанализатор СА.

ГСН ГСВ

Осцил-

Макет СA лограф

ГИ

Рис. 5.11

55

Материал: методичка по лабам Рцис

Смотрите также: