Дипломная работа: Методическое сопровождение темы Определенный интеграл в классах естественнонаучного профиля

При решении задачи используется метод интегральных сумм, который является, практически, определением интеграла.

Введем обозначения:

- скорость роста популяции.

- прирост численности за промежуток время [ ].

Решение задачи проводим в несколько этапов:

a) Разобьем промежуток времени [ ] на n равных частей.

b) Рассмотрим одну из таких частей - промежуток времени

[ ]. Можно считать, что в этот промежуток времени скорость роста популяции была постоянной (т.к. промежуток очень мал), такой, как в момент времени Таким образом, получаем, что .

c) Прирост численности популяции за время [ ] равен произведению на т.е.

d) Тогда величина прироста популяции равна:

, )

) + ) .

Такую сумму называют интегральной суммой функции на отрезке

[ ]. При этом функция должна быть непрерывной на данном отрезке и может принимать любые значения.

Если и , то значение суммы Его называют определенным интегралом от функции по отрезку [и обозначают так:

Таким образом, можно определить прирост численности популяции за определенный промежуток времени как интеграл от функции скорости роста популяции. В данной задаче определенный интеграл приобретает новый смысл - биологический.

Приведем еще одну прикладную задачу, где интеграл определяется как приращение первообразной. Данная задача также понятна и наглядна для школьников.

2. На дне бака с водой образовалась дыра, из которой вытекает вода. В момент времени t скорость потока воды можно вычислить по

?

Изучение нового материала можно начинать с постановки данных задач как проблемных, что позволит активизировать мыслительную деятельность обучающихся и будет способствовать лучшему усвоению новых знаний. Либо учитель проводит рассуждения вместе со школьниками в целях экономии времени, а оставшуюся часть времени отводит на решение практических задач.

После изучения нового материала необходимо провести первичное закрепление, например, решать задачи аналогичные данным, постепенно увеличивая трудность. Для этого можно использовать следующие задачи.

3. Задача на вычисление биомассы популяции. В течение жизни биомасса особи заметно меняется, следовательно, изменяется общая биомасса популяции. Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а P( ) - средняя масса особи возраста Определить формулу для вычисления биомассы всех особей в возрасте от 0 до [28].

- возраст особей популяции.

N( ) - число особей популяции, возраст которых равен .

P( ) - средняя масса особи возраста .

M( ) - биомасса всех особей в возрасте от 0 до .

a) Разобьем промежуток времени [ ] на равных частей.

b) Рассмотрим один из таких промежутков [ ]. Будем считать, что в этом промежутке общая биомасса популяции не менялась - была такой как в момент.

c) Значение общей биомассы на промежутке [ ] равно.

d) Найдем приближенное значение общей биомассы популяции в возрасте [ ].

e) Точное значение вычислим как интеграл от выражения представленного в виде интегральных сумм

?

В данной задаче интеграл приобретает еще одно применение - расчет массы всех особей определенного возраста.

Для самостоятельного решения обучающимся можно предложить следующие задачи.

4. На основе полученного результата задачи 1, определите формулу для вычисления численности культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин. Если известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста популяции экспоненциальна, т.е.. Такие условия создают, пересаживая время от времени, развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой [6].

Примерное решение задачи:

- скорость роста популяции.

- число особей на момент времени .

a) N(t) =

b) Подставив значение , получим

?

c) Так как, , то можно записать:

? ?

d)

Как стало известно из эксперимента - скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Определите, во сколько раз увеличится количество бактерий (по сравнению с начальным) за промежуток времени ] [9]?

Пусть - количество бактерий в момент времени .Тогда, скорость размножения бактерий (изменение количества бактерий со временем) можно описать уравнением:

Найдем решение этого уравнения

? ?

Эти задачи учитель может использовать при введении понятия интеграла наряду с задачами, раскрывающими геометрический и физический смысл определенного интеграла. Данные прикладные задачи помогут раскрыть смысл этого понятия с неожиданной стороны, а также позволят интегрировать на одном занятии знания по математике, биологии, географии, химии.

Таким образом, учитель может использовать данные задачи на уроках:

- при введении понятия «Определенного интеграла» наряду с задачами, представленными в учебниках «Алгебра и начала анализа»;

- при отработке метода вычисления интеграла с помощью интегральных сумм;

- для самостоятельной или домашней работы.

- Решение задач прикладного характера способствует лучшему пониманию и усвоению теоретического материала, развитию умения применять теорию на практике. Также обучающиеся учатся моделировать представленную ситуацию, переводить на математический язык содержание задачи.

2.3 Прикладные задачи для проведения самостоятельных и контрольных работ

При организации контроля освоения учебного материала по теме «Определенный интеграл» учитель может предложить обучающимся задачи математического содержания т.к. на изучение данной темы отводится небольшое количество часов. Но учитель может использовать и нетрадиционные формы контроля: участие в деловых играх и семинарах, самостоятельная разработка прикладных задач с последующим их анализом. Вс? это способствует развитию у школьников навыка видеть проявление математических закономерностей в повседневной жизни, активно применять математические методы для решения задач в различных областях.

При изучении данной темы необходимо постоянно контролировать, уровень усвоения материала. В начале урока следует проводить фронтальный опрос, актуализацию знаний. В конце урока можно проводить самостоятельные работы.

При планировании формы контроля учителю следует исходить из возможностей данного класса, уровня обученности и степени понимания школьниками теории.

Рассмотрим задачи, которые учитель может предложить обучающимся для самостоятельного решения или включить их в контрольную работу.

1. Заяц пересекает открытое поле со скоростью (время измеряется в секундах, а скорость в метрах за секунду). Какова длина пройденного пути по полю, если заяц пересек его за 3 секунды со скоростью, считая от начала движения.

Необходимо определить путь, пройденный зайцем за промежуток времени [0;3].

Ответ: длина пройденного пути 54 метра.

Примечание: средняя скорость движения зайца составляет 18 м/с.

2. Ор?л, высматривая свою добычу, парит высоко над земл?й.

Определите, на какой высоте находится орел, если от земли он поднимается за 5 секунд со скоростью, определяемой по формуле . Высоту, можно рассматривать как путь, который преодолел орел за 5 секунд.

Ответ: ор?л находится на высоте 750 метров.

Примечание: скорость полета орла во время парения может достигать

Ответ: за данный промежуток времени популяция увеличилась на 18930 особей.

4. Из одного килограмма древесины выходит примерно 300 грамм

Получаем, что масса бревна ели 216 кг. Теперь узнаем выход бумаги из этого бревна.

Ответ: из бревна ели длиной 12 метров получится 64,8 кг бумаги.

Кл?н считается умеренно растущим деревом. За год прирост дерева составляет 0,4 - 0,5 метров. Скорость роста зависит от природных составляла 0,5 метра. Следовательно, длина деревьев составляет 4,5 метров.

Ответ: высота деревьев равна 4,5 метров.

6. Рассмотрим в атмосфере вертикальный столб воздуха с постоянным сечением S . Плотность воздуха зависит от высоты

h над поверхностью земли. Записать формулу, для вычисления массы воздуха в столбе от высоты до [28].

Атмосферное давление меняется с высотой, следовательно, плотность воздуха является функцией высоты - . Для вычисления массы воздуха необходимо составить следующую формулу:

? ?

Используя приведенные задачи, учитель может организовать урок обобщения и систематизации знаний или контрольный урок в форме деловой игры. Приведем план такой игры.

Игра «Кастинг на работу».

Цель: отработка техники интегрирования при решении прикладных задач.

Аудитория: игра может проводиться для параллели 11 классов, либо в одном классе.

Престижная фирма объявила набор молодых сотрудников на вакантные должности. К сотрудникам предъявляют следующие требования:

- иметь прочные теоретические знания;

- уметь моделировать различные процессы при решении практических задач;

- работать в команде, проявляя коммуникативные качества, и стараться достичь высоких результатов.

В ходе конкурса будет определена команда, участники которой быстрее и качественнее других способны решать предлагаемые задачи. За каждое правильно выполненное задание команда получает баллы.