Дипломная работа: Методическое сопровождение темы Определенный интеграл в классах естественнонаучного профиля

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1 Общая схема применения определенного интеграла

1.2 Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

1.3 Особенности обучения математике в профильной школе

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

2.1 Особенности работы с прикладными задачами

2.2 Введение понятия «Определенный интеграл» в классах естественнонаучного профиля

2.3 Прикладные задачи для проведения самостоятельных и контрольных работ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Деятельность учителя математики в современной школе требует широких знаний, поскольку с 2010 - 2011 учебного года в соответствии с Концепцией профильного обучения старшая общеобразовательная школа полностью перешла на профильное обучение школьников. Определены основные направления профилирования (естественно - математический, филологический, общественно - гуманитарный, художественно - эстетический, спортивный, технологический, универсальный). Математика является обязательной учебной дисциплиной для изучения школьниками в классах всех профилей.

В Концепции профильного обучения отмечается, что профильные предметы обеспечивают прикладную направленность обучения за счет интеграции знаний и методов познания и применения их в разных сферах деятельности, в том числе и профессиональной, которая определяется спецификой профиля обучения.

Обеспечить прикладную направленность обучения, как это определено нормативными документами, можно за счет разнообразия системы задач - включением прикладных задач, содержание которых отвечает профилю обучения. Современные школьные учебники содержат определенное количество прикладных задач, которые касаются применения математических методов в разных науках и сферах деятельности человека, но для каждого конкретного профиля их недостаточно. Поэтому учителю необходимо уметь подбирать прикладные задачи разного содержания в соответствии с определенным профилем обучения школьников.

Объектом данной работы является изучение определенного интеграла в профильной школе.

Предмет - процесс изучения определенного интеграла в классах естественнонаучного профиля.

Цель выпускной квалификационной работы - разработать методическое сопровождение темы «Определенный интеграл» в классах естественнонаучного профиля.

В связи с этим необходимо решить следующие задачи:

- подобрать и проанализировать литературу по теме исследования;

- проанализировать школьные учебники по математическому анализу, с точки зрения введения понятия «интеграл» и наличия прикладных задач из естественнонаучной области;

- рассмотреть особенности обучения математике в классах естественнонаучного профиля;

- выделить особенности работы с прикладными задачами;

- разработать и подобрать материалы для проведения занятий и контроля по данной теме.

Работа насчитывает 46 страницы, состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, насчитывающего 30 наименований, и двух приложений.

Во введении сформулированы актуальность темы, объект, предмет, цель и задачи исследования, приведена структура работы и краткая характеристика каждой из ее частей.

В первой главе рассматриваются общие схемы применения определенного интеграла при решении задач. Также приводится анализ школьных учебников алгебры и начал математического анализа с точки зрения введения понятия «интеграл» и наличия прикладных задач. Рассмотрены особенности преподавания математики в профильной школе.

Во второй главе представлены особенности работы с прикладными задачами. Рассмотрены задачи из естественнонаучной области, при решении которых применяется интегрирование.

В заключении оценены полученные результаты и сформулированы основные выводы исследования.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1 Общая схема применения определенного интеграла

Понятие интеграла является одним из основных в математике. Истоки интегрального исчисления берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции. Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, а также их применение к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века.

Итогом многовекового развития интегрально исчисления стала теория интеграла, фактами которой пользуются в наше время. Сформировалось четкое понятие определения интеграла и его свойств. Рассмотрим определение, свойства и схемы применения определенного интеграла.

Пусть функция определена на отрезке и .

Выполним следующие действия.

Таким образом,

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок

- областью (отрезком) интегрирования [24].

Рассмотрим условия существования определенного интеграла.

Необходимое условие - интегрируемая функция должна быть ограничена на промежутке разбиения.

Необходимое и достаточное условия существования определенного интеграла. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было ? ?

- точные нижняя и верхняя границы [21].

Достаточное условие - теорема существования определенного интеграла (теорема Коши).

Если функция непрерывна на отрезке, то определенный интеграл существует.

Приведем ряд свойств определенного интеграла.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

2. Если интегрируема в промежутке то она интегрируема и в промежутке , причем

3. Если интегрируема в наибольшем из промежутков, тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

4. Если интегрируема в промежутке , то и, также интегрируема в этом промежутке, причем выносить за знак интеграла. где можно

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на отрезке функций алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: равен

6. Если интегрируема в промежутке, неотрицательна и b>a, то справедливо неравенство

7. Если интегрируемые на промежутке функции и удовлетворяют неравенству , то

8. Если значения функции и - соответственно наименьшее и наибольшее, непрерывной на отрезке , то

При изучении начал анализа можно рассмотреть различные приложения определенного интеграла. Все они реализуются по определенной схеме, имеющей два варианта: метод интегральных сумм и метод дифференциала. Первый метод базируется на понятии определенного интеграла, второй является модификацией первого.

Пусть требуется найти значение некоторой величины , связанной с отрезком изменения независимой переменной . Предполагается, что эта величина аддитивна т.е. такая, что при разбиении отрезка точкой на части значение величины , соответствующее всему отрезку , равно сумме ее значений, соответствующих [16].

Рассмотрим первый метод для нахождения величины :

1. С помощью точек (х0 <x1 < ...<хn) разобьем отрезок на n частей. В соответствии с этим величина A разобьется на n «элементарных слагаемых» .

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

При нахождении приближенного значения , допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т.д.

Получим приближенное значение величины A в виде интегральной суммы:

Искомая величина A равна пределу интегральной суммы, т.е.

Указанный «метод сумм» основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых [13].

Второй метод представляет собой несколько видоизмененную схему первого и называется «метод дифференциалов» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1. На отрезке выбираем произвольное значение x и рассматриваем переменный отрезок . На этом отрезке величина A становится функцией x: т.е. считаем, что часть искомой величины A есть неизвестная функция где - один из параметров величины A;

2. Находим главную часть приращения малую величину т.е. находим дифференциал где f(x), определяемая при изменении x на функции

Из условия задачи, функция переменной x.

3. Считая, что путем интегрирования

При в пределах от a до b: находим искомую величину

Таким образом, получаем два метода для применения определенного интеграла [16].

Данные методы используются при решении задач и в школьном курсе математики, поэтому учителю необходимо знать их особенности. Применяя один из методов, можно составить модель, как для математической, так и для прикладной задачи. Если на начальных этапах у школьников возникнут затруднения, при выборе метода, то учитель должен направить обучающихся, помочь им обосновать выбор наиболее рационального способа решения задачи.

1.2 Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

Провед?м анализ школьных учебников алгебры 11 класса, с точки зрения введения понятия интеграла и наличия прикладных задач естественнонаучного профиля.

При введении понятия определенного интеграла авторы учебников используют два подхода.

1. Интеграл как предел интегральных сумм.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции, при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения подводящих задач, например, задачи о площади криволинейной трапеции; задачи о работе силы и др. Затем, обобщая полученные результаты, переходят к определению интеграла, как предела интегральных сумм.

Данное определение объемное, но идея метода наглядно отображает геометрическую интерпретацию интеграла - площадь криволинейной трапеции. Вместе с определением интеграла получается и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла чаще применяют формулу Ньютона - Лейбница, которая при данном подходе доказывается.

В учебнике Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа» при введении интеграла сначала рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Рассматриваются два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы площади криволинейной трапеции (площадь криволинейной трапеции равна приращению первообразной на данном отрезке) и с помощью интегральных сумм (криволинейная трапеция разбивается на прямоугольники, сумма площадей которых равна площади данной трапеции). Второй способ сводится к определению интеграла. Методом интегральных сумм выводятся формулы для вычисления объемов тел и формулы для решения физических задач, например, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью метода интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача нахождения кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Таким образом, видно, что в учебнике представлены прикладные задачи физической направленности. Упражнения делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.

В учебнике Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа» при введении понятия «Определенный интеграл», рассматриваются задачи, подводящие к данному понятию: задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении сводятся к одной и той же математической модели. Автор, говорит о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке функции :