Дипломная работа: Методическое сопровождение темы Определенный интеграл в классах естественнонаучного профиля

- разбивают отрезок на n равных частей;

- составляют сумму

- вычисляют предел

Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции по отрезку . В данном учебнике набор задач сводится к прямому вычислению определенного интеграла.

Прикладные задачи из естественнонаучной области появляются в современных изданиях учебников, но это одна две задачи, которые авторы рассматривают в качестве примеров. Для самостоятельного решения такие задачи не предлагаются.

В учебнике Башмакова М.И. «Алгебра и начала анализа» тема

«Интеграл и его применение» выделена в отдельную главу. Автор дает следующее определение интеграла: «Пусть дана положительная функция определенная на конечном отрезке . Интегралом от функции на отрезке называется площадь е? подграфика». Далее объясняется способ вычисления этой площади с помощью интегральных сумм и делается вывод, что интеграл равен пределу интегральных сумм. Иллюстрируется этот метод в задачах о нахождении объема лимона и работы по перемещению точки.

Вданном учебнике рассмотрено большое число задач на применение интеграла в физике - это задачи о работе силы, перемещении точки, о вычислении массы стержня, электрического заряда и нахождение давления воды на плотину приводятся в учебнике вместе с их теоретическим выводом.

Без вывода представлены формулы нахождения работы по известной мощности и количества теплоты по известной теплоемкости. Однако, для самостоятельного решения учащимся предлагается мало задач в том числе и прикладных.

В учебнике Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа» рассмотрение задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Также рассматривается применение определенного интеграла и в геометрических задачах - задачи на нахождение площади круга и объема тела вращения. Эти задачи выделены в отдельный параграф «Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах». Однако, автор учебника приводит небольшую систему упражнений, при чем не использует в практических задачах тех формул, которые были ранее выведены.

2. Интеграл как приращение первообразной.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона - Лейбница практически служит определением интеграла.

При этом подходе не требуется специально выводить формулу Ньютона - Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге, все равно приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.

В учебнике Алимова Ш. А. «Алгебра и начала анализа» перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной функции f(x). Разность называют интегралом от функции на отрезке . Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны их очень мало. В современных изданиях учебник дополняется примером применения интегрального исчисления при решении задач по биологии. Это только одна задач, рассмотренная в качестве примера.

Основные моменты анализа учебников можно представить в таблице.

Таблица 1. «Сравнительный анализ школьных учебников алгебры и начала анализа»

Из анализа учебников видно, что первый способ введения понятия определенного интеграла (как предела интегральных сумм) является основой для первого метода вычисления интеграла. Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления в разных областях показывает учащимся значение и силу высшей математики. Чтобы объяснить материал учащимся в доступной форме, учителю необходимо определить какой подход к введению понятия «Определенный интеграл» реализован в данном учебнике, и соответственно этому строить изучение темы.

Можно сделать вывод о том, что прикладным задачам уделяется очень мало внимания. Чаще всего это задачи, которые раскрывают физический и геометрический смысл интеграла. В современных изданиях учебников решения таких задач нет.

В пояснительной записке к новым стандартам по математике сказано, что в современной российской школе математика изучается на трех уровнях, которые условно обозначаются как углубленный, общий (курс Б) и гуманитарный (курс А). Эта линия прослеживается в проекте нового стандарта по математике. Наряду с профильным и базовым уровнем, фиксируются и требования к уровню подготовки выпускников для «общекультурного» уровня [6]. Современные учебники имеют гриф

«Допущено Министерством образования РФ» и входят в Федеральный перечень. Учебники составлены в соответствии с программой курса математики для средней школы общеобразовательного уровня, на изучение которого отводится три урока в неделю, и преподавание ведется в рамках единого курса. Концептуальную основу учебников составили широко апробированные в российских школах учебные пособия. В современные издания учебников Алимова Ш.А. и Мордковича А.Г. вводятся прикладные задачи в области химии, биологии, экономики (рассматриваются в качестве примеров). Таким образом, учителю необходимо самому подбирать прикладные задачи разного содержания в соответствии с определенным профилем обучения школьников.

1.3 Особенности обучения математике в профильной школе

В основном нормативном документе «Концепция профильного обучения» сказано, что профильное обучение, организованное в старших классах общеобразовательных школ, предполагает учет интересов, способностей обучающихся и способствует их профессиональному самоопределению. Согласно Концепции, профильное обучение является «средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющим за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования»[8].

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником собственной, индивидуальной образовательной траектории. Переход к профильному обучению, преследует, следующие основные цели:

- обеспечить углубленное изучение отдельных дисциплин программы полного общего образования;

- создать условия для значительной дифференциации содержания обучения старшеклассников, с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

- способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями;

- расширить возможности социализации обучающихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

Способы организации профильного обучения, можно разделить по двум основаниям: степень вариативности и субъект выбора. Концепция профильного обучения предлагает следующие способы организации профильного обучения:

- однопрофильная школа,

- однопрофильный класс,

- многопрофильный класс,

- непрофильный (универсальный) класс.

Однопрофильный класс или однопрофильная школа подразумевают «специализированную подготовку» для всех учащихся класса или школы в одном направлении, представленном учебным планом данного образовательного учреждения. Это означает, что право выбора сочетания курсов, изучаемых на базовом и профильном уровне, полностью находится у администрации образовательного учреждения. Учащийся же выбирает не отдельные курсы, а весь комплекс содержания образования в целом.