Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Ряды» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Заметим, что так как ряд сходится в граничной точке , то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, при всех Заменяя на , получаем при .

Найти область сходимости ряда:

2.6. . 2.7. . 2.8. . 2.9. .

Построив мажорирующий ряд, доказать равномерную сходимость данного ряда в указанном промежутке.

2.10. .2.11. .

2.12. . 2.13. .

Найти суммы функциональных рядов и указать области их сходимости к этим суммам.

2.14. 2.15. 2.16.

2.17. 2.18. 2.19.

Ответы: 2.6. .2.7.

2.8. .2.9. 0,1 .

2.14.

2.15.

2.16.

2.17. 2.18.

2.19.

§ 3. Степенные ряды

Функциональный ряд вида

,

где - действительные числа, называется степенным.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении , удовлетворяющем неравенству (теорема Абеля).

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости , или с центром в точке , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках ) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие- либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи расходятся на обоих концах.

Число - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю или бесконечности. Если , то степенной ряд сходится лишь при ; если же , то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного

ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда нет

равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности , то , при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2. Если исходный ряд имеет вид

,

(где - некоторое определенное целое положительное число:

2,3,…), то .

3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности любая (т.е. не образует арифметическую прогрессию как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле в которой используются только значения , отличные от нуля.

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Таким образом, если , то

,

где .

Операции почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.

3.1. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда: Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При , получаем гармонический ряд , который, как известно, расходится. При получаем ряд . Этот ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница. Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .

3.2. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится, если , т.е.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При , получаем ряд , который сходится, так как ряд сходится при . При получаем ряд . Этот ряд сходится (и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов. Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .

3.3. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при любом значении .

3. 4. Исследовать сходимость степенного ряда

.

Решение. Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем . Он сходится, если , и расходится, если .Следовательно, промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством