Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Ряды» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

5. Исследовать сходимость степенного ряда

Решение. Применим признак Даламбера, учитывая, что

получим .

Отсюда, при выполнении неравенства по признаку Даламбера ряд сходится. Преобразуем последнее неравенство

Отсюда, при выполнении неравенства по признаку Даламбера ряд сходится. Преобразуем последнее неравенство

.

Итак, при ряд сходится абсолютно, а при - расходится. Следовательно, - интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, т.е. в точках и .

При получим ряд

Применяя второй признак сравнения, сравниваем этот ряд с гармоническим рядом :

Поскольку ряд расходится, а полученный предел не ра-

вен нулю, то ряд расходится.

При получим ряд

Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится.

Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя признак Лейбница.

1) Очевидно, неравенство выполнено для всех .

2)

Для знакочередующегося ряда выполнены оба условия признака Лейбница, значит, данный ряд сходится. Так как он не является абсолютно сходящимся, то ряд сходится условно. Окончательно получим, область сходимости исходного ряда – промежуток

3.6. Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение. Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии , получаем Остается продифференцировать полученное равенство:

Найти области сходимости степенных рядов:

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

Применив почленное интегрирование и дифференцирова-

ние, найти суммы указанных радов:

3.17. 3.18. 3.19.

Ответы. 3.7. 3.8. 3.9.

3.10. 3.11. 3.12.

3.13. 3.14. 3.15. .

3.16. . 3.17.

3.18. 3.19. .

§ 4.Разложение функций в степенные ряды

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный степенной ряд Тейлора

,

если в этом интервале выполняется условие

,

где - остаточный член формулы Тейлора, .

При получаем так называемый ряд Маклорена:

.

Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом выполняется неравенство , где - положительная постоянная, то и функция разложима в ряд Тейлора.

Приведем разложения в ряд Тейлора следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) биномиальный ряд:

.

Это последнее разложение применимо в следующих случаях:

при если

при если

при если .

В общем случае разложение функций в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. На практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (1-8) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.

4.1. Разложить по степеням разности функцию .

Решение. Для того чтобы воспользоваться формулой Тейлора при , найдем:

и т.д.

Следовательно,