Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Ряды» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем , тогда:

т.е. .

Путем подбора определим, при каком значении будет

выполняться неравенство . Пусть , тогда , т.е. . Пусть , тогда , т.е. . Принимаем .

.

Вычисляем каждое слагаемое с точностью до 0,000001, для того чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно получаем .

5.3. Вычислить с точностью до 0,00001.

Решение. Имеем

.

Получен знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям сходимости признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что , поэтому первый из отброшенных членов равен и . Вычисляем сумму и получаем .

5.4. Пользуясь разложением в ряд, вычислить с точностью до 0,0001 .

Решение. .

Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда

5.5. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд, полагая . Имеем

.

Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак

5.6. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Так как является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: . Тогда

Четвертый член меньше , поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,

, т.е. .

5.7. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд:

,

или , откуда

Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

5.8. . 5.9.

5.10. . 5.11. .

5.12. , . 5.13.

5.14. 5.15.

5.16. , 5.17.

Ответы: 5.8. 3,017. 5.9. 0,340. 5.10. 0,84147. 5.11. 1,3956.

5.12. 1,140. 5.13. 0,302. 5.14. 0,464. 5.15. 1,0986. 5.16. 0,999. 5.17. 0,3679.

Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

5.18. Вычислить с точностью

Решение. Воспользуемся разложением

.

Заменив в нем на , получим ряд

.

Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

, поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше

5.19. Найти интеграл в виде степенного ряда и указать область его сходимости.

Решение. Воспользуемся разложением

,

получим ряд для подынтегральной функции

.

Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:

.

Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.

Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до .

5.20. . 5.21. .

5.22. . 5.23. .

5.24. . 5.25. .

5.26. . 5.27. .

5.28. . 5.29.

Ответы: 5.20. 0,070. 5.21. 0,223. 5.22. 0,162 5.23. 0,480.

5.24. 0,054. 5.25. 0,484. 5.26. 0,487. 5.27. 0,156. 5.28. 0,059.

5.29. 0,103.

Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.

При решении задачи Коши

,

используется ряд Тейлора , где , а остальные производные находятся путем последовательного дифференцирования уравнения и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд

с неопределенными коэффициентами .