Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Ряды» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

4.2. Разложить в ряд по степеням .

Решение. Воспользуемся равенством . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Отсюда получаем

, т.е.

.

Так как , то

4.3. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:

Поскольку

то

Так как ряд сходится при , а ряд сходится при , то ряд

сходится к данной функции при .

4.4. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. Найдем значения функции и ее производных при

Так как , то при фиксированном имеет место неравенство при любом . Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора:

.

В данном случае

Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении заменить на .

4.5. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. В разложении

заменяем на , получаем

.

4.6. Разложить в ряд по степеням .

Решение. В разложении

заменяем на , получаем

.

4.7. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. Заметим, что .Рассмотрим ряд

.

Данный ряд сходится при , значит, его можно

почленно интегрировать на любом отрезке . Следовательно,

, т.е. получили ряд, сходящийся к данной функции при

4.8. Разложить по степеням многочлен

4.9. Разложить по степеням функцию и найти область сходимости полученного ряда.

4.10. Разложить по степеням функцию и найти область сходимости этого ряда.

4.11. Разложить по степеням функцию . Найти область сходимости этого ряда.

Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

4.12. . 4.13.

4.14. . 4.15. .

4.16. 4.17. .

4.18. 4.19. .

Ответы:

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12. 4.13. .

4.14. . 4.15.

4.16. . 4.17. .

4.18. 4.19. .

§ 5. Степенные ряды в приближенных вычислениях

Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции . Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно установить путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена формул Тейлора или Маклорена. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда используется оценка , где - первый из отброшенных членов ряда.

5.1.Оценить погрешность приближенного равенства

Решение. Погрешность этого приближенного равенства

определяется суммой членов, следующих после в разложении :

,

или

Заменив каждый из сомножителей ,… меньшей величиной , получим неравенство

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:

, т.е.

5. 2.Вычислить с точностью до 0,00001.

Решение. Используя разложение в ряд, получаем

.

Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства