Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Ряды» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П

Решение. Разлагаем общий член ряда на простейшие дроби:

Выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичной суммы ряда:

.

Составляем ю частичную сумму ряда:

Вычисляем сумму ряда по формуле , получаем . Ряд сходится и его сумма равна 1/2.

1.4. Найти сумму ряда .

Решение. Разложим общий член ряда на простейшие дроби с помощью метода неопределенных коэффициентов:

.

Умножая на знаменатель левой части, придем к тождеству

Полагая последовательно находим:

при : 1=2A; A=1/2;

при :

при

Таким образом, , т.е.

.

Выписываем несколько членов ряда, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичной суммы ряда:

.

Составляем ю частичную сумму ряда и сокращаем все слагаемые, какие возможно:

Вычисляем сумму ряда по формуле ,

получаем .

Ряд сходится и его сумма равна 1/4.

1.5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем сумму ряда. Здесь (знаменатель прогрессии). Сле-

довательно,

1.6. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно, он расходится.

1.7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Находим общий член ряда . Так как

, т.е. ,

то ряд расходится (не выполняется необходимое условие).

1.8. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда , т.е. ряда . Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный ряд.

1.9. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как , то необходимое условие сходимости ряда выполнено. Применим первый признак

сравнения. Поскольку , имеем

и, следовательно, . Так как ряд

расходится как обобщенный гармонический ряд с , то по первому признаку сравнения расходится и исходный ряд.

1.10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Здесь . Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого : . Следовательно, данный ряд расходится по второму признаку сравнения.

1.11. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как , то необходимое условие сходимости ряда выполнено. Проверяем, что члены данного ряда положительны. Действительно, >0 при всех , так как . Имеем при Ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с . Следовательно, в силу второго признака сравнения исходный ряд также сходится.

1.12.Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Имеем

,

значит, Так как , то ряд расходится.

1.13.Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Даламбера. Имеем , поэтому

Следовательно, ряд сходится.

1.14. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Коши. Здесь .

Вычисляем Так как , то ряд сходится.

1.15. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Коши. Здесь . Поскольку, , то вычисляем

Так как , то ряд расходится.

1.16. Исследовать сходимость ряда

Решение. Поскольку при , упрощаем выражение для : т. е. будем исследовать сходимость ряда и затем воспользуемся вторым признаком сравнения. Поскольку , вычисляем , учитывая, что

: .

Так как , то ряд сходится. Следовательно, по второму признаку сравнения сходится и исходный ряд.

1.17. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим интегральный признак: ,

следовательно, , . Интеграл сходится

(является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.

1.18. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим интегральный признак: , следовательно, , . Интеграл расходится, поэтому расходится и исходный ряд

1.19. Исследовать сходимость ряда

Решение. Упростим выражение для :

и будем исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши. Ряд расходится так как

расходится интеграл

.

Из расходимости ряда по второму признаку сравнения следует расходимость ряда

1.20. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

.

Решение. Составим ряд из абсолютных величин: . Применим второй признак сравнения: . Гармонический ряд расходится, поэтому по второму признаку сравнения расходится ряд , следовательно, ряд не является абсолютно сходящимся. Применим признак Лейбница. Так как , то выполнено первое условие признака Лейбница. Поскольку , имеем , т.е. выполнено второе условие. Ряд сходится условно.