Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Ряды» курса «Математический анализ». Глушко Е.Г., Дубровская А.П
1.21. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда
.
Решение. Общий член ряда
,
поэтому
.
Следовательно, не выполнено
необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится.
1.22. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Составим ряд из абсолютных
величин:
Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.
1.23. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Составим ряд из абсолютных величин:
.
Так как при
,
то по вто-
рому признаку сравнения ряд из модулей расходится, следова-
тельно, ряд не является абсолютно сходящимся. Проверим выполнение условий признака Лейбница:
1) неравенство
выполняется для любого
2)
.
Следовательно, по признаку Лейбница
исходный ряд сходится условно.
1.24. Вычислить сумму ряда
с
точностью
Решение. Данный ряд знакочередующийся
и сходящийся (абсолютно). Члены ряда
убывают по абсолютной величине:
,
при любом
.
Следовательно, справедливо неравенство
.
Если
,
то и
,
поэтому решая неравенство
,
находим количество членов ряда, которое
необходимо взять для вычисления суммы
с заданной точностью
.
Получаем
,
т.е. достаточно взять первые три члена
ряда. Вычисляем
Составить формулы общих членов рядов:
1.25.
.
1.26
.
1.27.
.
1.28.
.
Ответы: 1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
.
Найти суммы рядов:
1.29.
1.30.
1.31.
1.32.
1.33.
1.34.
Ответы: 1.29.
1.30.
1.31.
1.32.
1.33.
1.34.
Исследовать сходимость рядов с помощью первого признака сравнения:
1.35.
1.36.
1.37.
1.38.
1.39.
1.40.
1.41.
1.42.
Ответы: 1.35.Ряд сходится. 1.36. Ряд сходится. 1.37. Ряд расходится. 1.38. Ряд сходится. 1.39. Ряд сходится. 1.40. Ряд расходится. 1.41.Ряд сходится. 1.42. Ряд расходится.
Исследовать сходимость рядов с помощью второго признака сравнения:
1.43.
1.44.
1.45.
1.46.
1.47.
1.48.
1.49.
1.50.
1.51.
Ответы: 1.43. Ряд сходится. 1.44. Ряд сходится. 1.45.Ряд сходится. 1.46.Ряд расходится. 1.47.Ряд сходится. 1.48. Ряд сходится. 1.49. Ряд сходится. 1.50.Ряд расходится. 1.51. Ряд сходится.
Исследовать сходимость рядов с помощью признака
Даламбера:
1.52.
1.53.
1.54.
1.55.
1.56.
1.57.
1.58.
Ответы. 1.52. Ряд сходится. 1.53. Ряд сходится. 1.54. Ряд сходится. 1.55. Ряд расходится. 1.56. Ряд сходится. 1.57. Ряд расходится. 1.58. Ряд расходится.
Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши:
1.59 .
1.60.
1.61.
1.62.
1.63.
1.64.
1.65.
1.66.
1.67.
1.68.
Ответы: 1.59. Ряд расходится (
).
1.60. Ряд сходится
(
.
1.61. Ряд сходится (
.
1.62. Ряд сходится (
.
1.63. Ряд сходится (
.
1.64. Ряд сходится (
.
1.65. Ряд сходится (
.
1.66. Ряд сходится (
.
1.67. Ряд сходится (
.
1.68. Ряд расходится (
.
Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость рядов:
1.69.
1.70.
1.71.
1.72.
1.73.
При каких значениях параметра
сходится
ряд:
1.74.
Ответы:1.69. Ряд сходится. 1.70. Ряд
расходится. 1.71.Ряд сходится. 1.72. Ряд
сходится.1.73. Ряд расходится. 1.74. При
ряд сходится, при
ряд расходится.
Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная):
1. 75 .
1.76.
1.77.
1.78.
1.79.
1.80.
1.81.
1.82.
1.83.
1. 84.
Ответы. 1.75. Ряд сходится условно.1. 76. Ряд сходится абсолютно.1. 77. Ряд сходится условно.1.78. Ряд сходится абсолютно.1.79. Ряд сходится условно. 1.80. Ряд сходится условно. 1.81. Ряд сходится абсолютно. 1.82. Ряд расходится. 1.83. Ряд сходится абсолютно.1.84. Ряд сходится условно.