5.30. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения , если .

Решение. Из данного уравнения находим, что . Дифференцируем исходное уравнение:

и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд

Тейлора, получаем

.

5.31. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям .

Решение. Подставим в уравнение начальные условия, получим:

Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем

.

5.32.Используя ряд

,

записать четыре первых ненулевых члена разложения в

степенной ряд решения задачи Коши

Решение. В ряде

полагаем , с учетом начального условия находим, что . Продифференцируем ряд

и подставим полученную производную , а также в виде

ряда в данное дифференциальное уравнение. Тогда

+

Теперь в правой и левой частях последнего равенства приравняем коэффициенты при одинаковых степенях разности (т.е. при . Получаем уравнения:

из которых, учитывая, что , находим:

Следовательно, искомое разложение решения имеет вид

.

Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения

5.33. 5.34. 5.35. 5.36. 5.37.

Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

5.38.

5.39.

5.40.

5.41.

5.42.

Ответы: 5.33. . 5.34. .

5.35. . 5.36. .

5.37. . 5.38. .

5.39. .

5.40. .

5.41.

5.42.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления / Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 2001.Т.2.- 576 с.

2. Воробьев Н.Н. Теория рядов/ Н.Н. Воробьев. - М.: Наука, 1986. - 408 с.

3. Власова Е.А. Ряды / Е.А. Власова.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.-612 с.

4. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / П.И. Романовский. - М.: Наука, 1980.-336 с.

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: «Оникс 21 век» «Мир и образование», 2003. Ч. 2.

6. Индивидуальные задания по высшей математике: Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: учеб. пособие/ А. П. Рябушко и др.; под общ. ред. А. П. Рябушко.- 3-е изд.- Минск.: Выш. шк., 2005.-367 с.

7. Зимина О.В. Высшая математика./ О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова.- М.: Физико-математическая литература, 2001.-368 с.

8. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов/ А.В. Ефимов, Б. П. Демидович; под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука,1986. –Ч.2.-368 с.

Методические указания

для организации самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Ряды» курса «Математический анализ» по направлению подготовки бакалавров 230100 «Информатика и вычислительная техника», 090301.65 «Компьютерная безопасность»

очной формы обучения

Составители

Глушко Елена Георгиевна

Дубровская Алевтина Петровна

Провоторова Елена Николаевна

В авторской редакции

Компьютерный набор Е.Г. Глушко

Подписано к изданию «_»________20__г..

Уч.-изд. л. 2,6

ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный

технический университет"

394026 Воронеж, Московский просп., 14

54