Материал: Механика (статика). учебное пособие. Рябцев В.А

Две системы сил называют эквивалентными, если они, будучи приложенными поочередно, порознь, к одному и тому же абсолютно твердому телу вызовут одинаковое действие на тело. Эквивалентность систем сил обозначается символом . Замена исходной системы сил другой эквивалентной системой позволяет иногда существенно упростить исследование равновесия или движения тела. Более подробные сведения о преобразованиях эквивалентных систем сил приведены в гл. 9.

Теорема 8.1 о приведении произвольной системы сил к двум силам. Система сил, произвольно расположенных в пространстве, эквивалентна двум силам, одна из которых приложена в произвольной точке. Главный вектор и главный момент этой системы сил относительно этой точки соответственно равны главному вектору и главному моменту эквивалентной системы двух сил относительно той же точки.

Доказательство. Разделим доказательство теоремы на два этапа. Вначале заменим данную систему сил тремя эквивалентными силами, а затем покажем, что три силы всегда можно заменить двумя силами.

Возьмем три произвольные точки О, O1, O2..

Согласно теореме Вариньона (§ 7.6)

136

щие сил, образующих каждый пучок сил, соответственно будут равны

Итак, главный вектор заданной системы сил равен главному вектору эквивалентной системы из трех сил, приложенных в точках О, O1 и O2, а главный момент заданной системы

137

сил относительно точки О равен главному моменту относительно той же точки эквивалентной системы из трех сил.

Покажем, что систему трех сил можно заменить двумя сила-

приложенные соответственно в точках О, O1 и O2. Проведем через точку О две плоскости так, чтобы

одна плоскость проходила через

линию действия силы R01 , а дру-

гая - через R02 . Такое построение

точку приложения А. Затем складывая силы, приложенные в точках О и А, получаем

Итак, исходная система сил приведена сначала к эквивалентной системе из трех сил, а затем к эквивалентной системе

рое всегда вытекает, следует из события А. Запишем условно А В. Например, пусть событием А является дождь. Тогда не-

обходимым условием В для события А (дождя) является облачное небо, так как, если идет дождь, то небо облачное. Но для обратной теоремы это утверждение неверно, так как если на небе облака, то это недостаточное условие для дождя: дождя может и не быть. В нашем примере из А следует В, но из В может и не следовать А.

Таким образом, из необходимого условия В еще не следует существование условия А. Достаточным условием для события А является такое событие В, из которого всегда следует событие А. Условная запись: А В.

Например, пусть событием А является то, что на улице светло. Тогда солнечный день является достаточным условием

Вдля события А. Но это условие не является необходимым, так как оно может не выполняться, например - солнце не светит, а на улице все же светло из-за электрического освещения.

Внашем примере из события В следует событие А, но если событие В не выполняется, то событие А может все же выполняться.

Приведем другой пример: для четности числа достаточно, чтобы оно делилось без остатка на четыре. Здесь событием А является четность числа. Достаточным условием для А является событие В, т. е. делимость числа на четыре. Действительно, если число делится на четыре, то это достаточно, чтобы оно было четным. Но делимости на четыре может и не быть, т. е. достаточное условие может не выполняться, например, число шесть не делится на четыре, а все же является четным. В этом примере достаточное условие слишком - «мощное», излишнее.

Большое значение в разнообразных исследованиях в математике, теоретической механике и многих других дисциплинах играют теоремы, которые сами верны и обратные к кото-

140