МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИКА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания к практическим занятиям для студентов
по направлениям подготовки 23.03.01 – Технология транспортных процессов
Воронеж 2016
УДК 517.9
Веневитина, С.С. Математика. Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 23.03.01 – Технология транспортных процессов / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов, В.В. Зенина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 32 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (прот)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский
Оглавление
1.Теоретическая часть………………………………………………………. 4
1.1.Основные понятия………………………………………………………. 4
1.2.Дифференциальные уравнения первого порядка………………........... 4
1.2.1.Уравнения с разделяющимися переменными………………………. 5
1.2.2.Однородные дифференциальные уравнения…………………........... 6
1.2.3.Линейные уравнения…………………………………………………. 6
1.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………… 7
2.Практическая часть……………………………………………………….. 10
3.Индивидуальные задания………………………………………………… 15
4.Вопросы для самоконтроля и проверки………………………………… 17 Библиографический список…………………………………………………. 18
Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решение практических примеров, которые помогут студентам подготовиться практическим занятиям, выполнить самостоятельную работу, индивидуальные задания по такому разделу математики как дифференциальные уравнения.
При подготовке методического указания авторы стремились к доступному изложению материала (за счет определенного снижения строгости), чтобы его с малыми затратами труда и времени могли освоить бакалавры, обучающиеся как в очной так и в заочной форме.
Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта по соответствующему направлению подготовки.
1. Теоретическая часть
1.1. Основные понятия
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются дифференциальными уравнениями (ДУ) (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения y f ( x ) является функция y F( x ) – первообразная для функции f ( x ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В
данном учебном пособии будут рассматриваться только обыкновенные ДУ. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком
этого уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, уравнение |
y 3y 2 y 0 – |
обыкновенное ДУ третьего |
|||||||
порядка, а уравнение x |
2 |
y |
|
5xy y |
2 |
|
|
|
– ДУ в |
|
|
|
– первого порядка; yzx |
xzy |
|||||
частных производных первого порядка.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а
график решения ДУ – интегральной кривой.
1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно
записать в виде |
|
F( x; y; y ) 0. |
(1) |
Если уравнение (1) можно разрешить относительно y , то его записывают |
|
в виде |
|
y f ( x; y ) |
(2) |
и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.
ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
P( x; y )dx Q( x; y )dy 0 ,
где P( x; y ) и Q( x; y ) – известные функции.
Общим решением ДУ первого порядка называется функция y ( x;c ), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1)Функция ( x;c ) является решением ДУ при каждом фиксированном значении c .
2)каково бы ни было начальное условие y y0 при x x0
|
y( x0 ) y0 |
|
|
y0 ), можно найти такое |
(записывается в виде |
или y |
|
||
|
|
|
x |
x0 |
|
|
|
||
значение постоянной |
c c0 , что |
функция |
|
y ( x;c0 ) удовлетворяет |
данному начальному условию. |
|
|
|
|
Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция |
||||
y ( x;c0 ) , полученная из общего решения |
y ( x;c ) при конкретном |
|||
значении постоянной c c0 .
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения Ф( x; y;c ) 0, то такое решение называется общим интегралом ДУ.
Уравнение Ф( x; y;c0 ) 0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.
Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего
заданному начальному условию, называется задачей Коши. |
|
|||
1.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными |
|
|||
ДУ с разделяющимися переменными имеют вид |
|
|||
P( x ) Q ( y ) dx P ( x ) Q ( y ) dy 0 . |
(3) |
|||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
Особенность уравнения (3) в том, |
что коэффициенты при |
dx и dy |
||
представляют собой произведения функций, одна из которых зависит только от
|
x , другая – только от y . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Почленно разделив это уравнение на Q1( y ) P2( x ) , получаем уравнение |
||||||||||
с разделенными переменными |
|
|
|
||||||||||
|
P( x ) |
dx |
|
Q ( y ) |
dy 0 , |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
проинтегрировав |
которое, |
находим |
||||||
|
P2 ( x ) |
|
Q1( y ) |
||||||||||
|
|
|
P( x ) |
dx |
|
Q ( y ) |
dy c – общий интеграл. |
|
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
P ( x ) |
Q ( y ) |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|