Материал: 3165

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y 4 , получаем

4 c 2 1 1 3 ,

После потенцирования получаем общее решение исходного ДУ y c 2x 1 3 .

Заметим, что здесь постоянная c может принимать любое действительное значение, в частности значение c 0, так как при c 0 получаем функцию y 0 , которая также является решением исходного уравнения.

Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее условию y(1) 4, определим значение постоянной c так, чтобы это условие оказалось выполненным.

Подставив в общее решение x 1 и

отсюда c 4 . Следовательно,

y 4 2x 1 3 – искомое решение задачи Коши.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y y2 xy . x2

Решение. Запишем уравнение в виде

	y 2	y
y			.
		x
	x

Данное уравнение является однородным ДУ первого порядка, то есть

уравнением вида y		y
	f		(здесь

		x

	y	y 2	y
f				). Для его решения

	x	x	x

сделаем подстановку

выражения для y и

или

y	u . Отсюда	y ux и

x			y	u x u . Подставляя

в последнее ДУ, получаем

u x u u2 u , u x u2 .

Это

уравнение

является

дифференциальным

уравнением

разделяющимися переменными. Решим его.

du	u2	,	du	dx	,
dx	x		u2	x

c ,

c ln

Найденное решение

подставим в формулу

y ux

и получим, что

общее решение исходного ДУ есть

c ln

Пример 3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

1 x 1 .

Решение.

Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка, то

p( x )y g( x )

p( x ) x 1 ,

есть уравнением

вида

(здесь

g( x ) x 1 2 ). Его

решение

будем искать в

виде произведения

двух

функций

y u .

Запишем

производную

произведения

u u

Подставляя данные выражения в ДУ, получаем

x 1

или

u u

x 1

( )

Приравняем к нулю выражение в скобках в левой части уравнения ( ):

x 1

0. Решив

это

ДУ

разделяющимися

переменными,

найдем

функцию .

3dx

x 1

3dx

3ln

x 1

, x 1 3 .

(Так как ищется любое ненулевое частное решение , то значение произвольной постоянной при интегрировании можно выбрать нулевым).

Подставив найденную функцию в равенство ( ), получаем

	x 1	3	x 1	2				1
						u	x 1 .
u					, или	u	x 1 .

Полученное ДУ с разделяющимися переменными запишем в виде

или

x 1

Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем

u ln

x 1

c .

x 1 3 ,

Перемножив найденные

функции

u ln

x 1

c и

получим общее решение исходного дифференциального уравнения y ln x 1 c x 1 3 .

Пример 4. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка


y		16 y 0,	y( 0 ) 2,
y	8y	16 y 0,	y( 0 ) 2,		y ( 0 ) 5
Решение. Напишем характеристическое уравнение
		k2 8k 16 0
и найдем его корни:		k 4 2		0,
		k1 k2		4 .

Согласно формуле (12) общее решение однородного ДУ будет иметь вид

	y	ek1x c c x ,
	oo	1	2
то есть	y	e4 x c	c x .
	oo	1	2

Найдем частное решение. Предварительно найдем

y 4e4 x c1 c2 x e4 x c2 e4 x 4c1 c2 4c2 x .

Постоянные c1 и c2 определяются из начальных условий:

		0 x	C1 C2	0 2		C1	2
e
	e0 x				, ,		3	.
			4C C 4C 0 5			C2
			1	2	2

Таким образом, искомое частное решение однородного ЛДУ есть yчo e4 x 2 3x .

Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

y 2 y 8y 3e 2 x .

Решение. Общее решение линейного дифференциального уравнения

второго порядка имеет	вид	yон yоо yчн , где yоо –	общее решение
однородного уравнения, а	yчн	– частное решение неоднородного уравнения.
Сначала решим однородное уравнение
		y 2 y 8y 0.
Составим для этого ДУ характеристическое уравнение
		k 2 2k 8 0.
Решая это квадратное уравнение, находим его корни			k1 2, k2 4 .

Так как k1 k2 , то общее решение однородного ДУ (согласно (11)) имеет вид

y c ek1x c ek2 x			c e 2 x	c e4 x .
oo	1	2	1	2
Правая часть данного неоднородного ДУ				имеет вид 3e 2 x (т.е. вид
P ( x )e 2 x ), причем коэффициент		2 в показателе степени является корнем
0

характеристического уравнения. Следовательно, частное решение ищем в виде yчн Q0( x ) x1 e 2 x , или

yчн Ax e 2 x .

Тогда

2 x

Ax e

2 x

2Axe

2 x

A 2Ax e

2 x

yчн Ax

2 x

2Ax e

2 x

2 4Ax 4A e

2 x

yчн 2Ae

Подставляя yчн ,

в дифференциальное уравнение, получаем

yчн

и yчн

4Ax 4A e 2 x 2

A 2Ax e 2 x

8Axe 2 x

3e 2 x ,

или

4Ax 4A 2A 4Ax 8Ax e 2 x

3e 2 x .

Разделив обе части уравнения на

e 2 x ,

получаем

6A 3,

откуда

Таким образом, частное решение имеет вид yчн 12 x e 2 x .

Общее решение yон yоо yчн будет

yон c1e 2 x c2e4 x 12 xe 2 x .

3. Индивидуальные задания

Задача № 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

ye2 x

Вариант 1.

e2 x

8 ,

y( 0 ) 1.

3 y2

Вариант 2.

y( 2 ) 1.

2 x2

2 yex

Вариант 3.

3 ,

y( 0 ) 4 .

Вариант 4.

xy2 x

y( 0 ) 0 .

4 x2

Вариант 5.

y y ln y

y( 2 ) e .

x xy2

Вариант 6.

2 y yx2 ,

y( 0 ) 3 .

y cos x

Вариант 7.

2 sin x ,

y( 6 ) 4 .

Вариант 8.

y 2xy 2 y,

y( 1) 3.

y 1

Вариант 9.

2 x ,

y(1) 3.

2 y2

2 y

Вариант 10.

y( 2 ) 3 .

Смотрите также:

Материалы расценочно-конфликтных комиссий промышленных предприятий г. Тюмени в 1921-1929 гг. как исторический источник
Роль педагога в игровом общении и в создании образа куклы-персонажа
Рынок земли его специфика факторы определяющие цену на сельскохозяйственную землю и продукцию