Материал: 3165

Замечание. Уравнение

y f1( x ) f2( y ) также сводится к уравнению

dy

с разделенными переменными. Для

этого достаточно

положить y

dx

и

разделить переменные.

1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения

Функция

f ( x; y )называется

однородной

функцией

n -го

порядка

(измерения), если выполняется равенство

f ( x; y ) n f ( x; y ).

Например,

функция

f ( x; y ) x2

2xy

есть

однородная

функция

второго порядка, поскольку

f ( x; y ) ( x )2 2( x )( y ) 2( x2 2xy ) 2 f ( x; y ) .

Дифференциальное уравнение

y f ( x; y ) называется

однородным,

если функция f ( x; y ) есть однородная функция нулевого порядка.

Однородное ДУ можно представить в виде

y

y

f

.

(4)

x

переменными при помощи подстановки

y

u

или, что то же самое,

y ux .

x

Действительно, подставив y ux и

y

в уравнение (4),

u x u

du

x dx f ( u ) u ,

получаем u x u f ( u )

или

т.е. уравнение с

интеграл), следует заменить в нем u на

y

. Получим общее решение

x

(интеграл) исходного уравнения.

записать в виде

y p( x )y g( x ),

(5)

где p( x )

и g( x ) – заданные функции или постоянные.

Особенность линейного ДУ:

искомая функция y

и ее производная y

входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Решение

уравнения

(5) ищется в

виде

произведения двух функций

y u ,

где

u u( x )

и

( x ) – неизвестные функции от x , причем

одна из них произвольна. Тогда y

. Подставляя выражения y и y

u u

в уравнение (5),

получаем

p( x )u g( x )

или

u u

p( x ) g( x ) .

(6)

u u

Подберем функцию ( x ) так, чтобы выражение в скобках было

равно нулю, т.е. решим ДУ с разделяющимися переменными

d

d

p( x ) 0 dx p( x )

p( x )dx .

Интегрируя, получаем

ln

p( x )dx c .

Ввиду свободы выбора функции ( x ) , можно принять c 0. Тогда

e p( x )dx .

Подставляя найденную функцию

в уравнение (6), получаем ДУ с

разделяющимися переменными

p( x )dx

du

p( x )dx

e

g( x ) dx e

g( x )

u

du g( x ) e p( x )dxdx

g( x )e

p( x )dx

e

p( x )dx

y u

dx c

.

постоянными коэффициентами имеет вид

y py qy f ( x ),

(7)

где p и q – действительные числа, f ( x ) – некоторая функция.

Если

f ( x ) 0 , то уравнение

y py qy 0

(8)

называется

однородным; в противном случае при f ( x ) 0 уравнение

(7)

следующей теоремой:

Теорема

1.

Общее

решение

неоднородного уравнения

(7)

представляется как сумма какого-нибудь частного

решения

yчн

этого

уравнения и общего решения

yоо

соответствующего однородного уравнения

(.8):

yон yоо yчн .

(9)

Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения (8) с

постоянными коэффициентами.

Составим

для линейного

однородного

ДУ

характеристическое

уравнение (для этого достаточно в уравнении (8) заменить

и

y

y , y

соответственно на

k 2 , k и 1):

k 2 pk q 0 .

(10)

При решении характеристического уравнения возможны следующие три

случая.

Случай 1.

Корни характеристического уравнения действительные и

p

различные: D p2

4q 0 ,

k k

2

,

k

D

. Тогда общее решение

1

1,2

2

уравнения (8) имеет вид

y

c ek1x

c ek2 x .

(11)

oo

1

2

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и

равные: D p2

4q 0 ,

k

k

p

. Тогда общее решение уравнения (8)

2

1

2

имеет вид

y

c ek1x

c xek1x

ek1x c c x .

(12)

oo

1

2

1

2

Случай 3.

Корни

характеристического

уравнения

комплексные:

D p2 4q 0 ,

k

i

p

i

q

p2

. Тогда

общее решение

1,2

2

4

уравнения (8) имеет вид

y

e x c cos x c

sin x .

(13)

oo

1

2

Случай 1.

Правая часть уравнения имеет вид f ( x ) P ( x ) e x ,

где

n

,

Pn ( x ) – многочлен степени n . Уравнение (7) запишется в виде

y py qy Pn ( x ) e x .

В этом случае частное решение ЛНДУ yчн ищем в виде

y

Q ( x ) xr e x ,

(14)

чн

n

где

Q ( x ) A xn A xn 1

A

– многочлен степени n ,

записанный с

n

0

1

n

неопределенными коэффициентами Ai , а r – число совпадений

с корнями

k1,2

характеристического уравнения (10).

Случай 2.

Правая часть уравнения имеет вид

f ( x ) e x P ( x )cos x Q ( x ) sin x ,

n

m

где

Pn ( x ) и Qm ( x ) – многочлены степени n и m соответственно, и –

действительные числа. Уравнение (7) запишется в виде

y py qy e x Pn ( x )cos x Qm( x ) sin x .

(15)