Материал: Механика (статика). учебное пособие. Рябцев В.А

рым также верны. Это значит, что условие необходимое должно быть и достаточным.

Иногда для объединения прямой и обратной теорем в одно утверждение вместо слов «необходимое и достаточное условие» пользуются словами «в том и только в том случае...» или словами «тогда и только тогда...».

Теорема 8.2. о равновесии произвольной системы сил.

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и

достаточно, чтобы ее главный вектор V и главный момент

M0 относительно любой точки О были равны нулю.

Доказательство необходимости. Пусть данная произ-

вольная система сил находится в равновесии. Нужно доказать,

что главный вектор V и главный

момент данной системы M0 равны

сил соответственно равны главному вектору и главному мо-

но второй аксиоме, на одном отрезке прямой АО, то

141

ловие доказано.

Доказательство достаточности. Пусть главный вектор произвольной системы сил и главный момент этой системы относительно точки О равны нулю:

Требуется доказать, что система сил находится в равновесии. Пользуясь теоремой о приведении системы сил к двум

ем теперь условие равенства главного момента системы нулю:

нулю или когда один из сомножителей равен нулю, или когда

RA = 0 и имеется равновесие, так как отсутствуют действующие силы. Если r = 0, то это означает (рис. 8.4, б), что точка А

совпадает с точкой О. Тогда обе силы, согласно второй аксио-

чина, может выполняться только тогда, когда силы R0 и RA

расположены на одной прямой. Отсюда вытекает существование равновесия. Теорема доказана.

142

Итак, получено необходимое и достаточное условие равновесия произвольной системы сил в виде двух векторных равенств:

Для получения уравнений равновесия, аналогичных (8.3), в скалярной (координатной) форме, нужно спроецировать левые и правые части этих равенств на оси прямоугольной декартовой системы координат и затем использовать формулы

(7.10) и (7.25)

Vx= Pkx = 0, Vy= Pky = 0, Vz= Pkz = 0,

Итак, для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей произвольно выбранной системы координат равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей также равнялась нулю. Рассмотрим частные случаи.

8.2.1. Система сходящихся сил.

Выберем начало координат в точке пересечения линий действия (схождения) сил. Тогда линии действия всех сил пересекают оси координат и, согласно формуле (7.23) (см. пояснения к этой формуле) моменты сил относительно этих осей

143

равны нулю. Три последние равенства (8.4) принимают вид тождеств. Поэтому

Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

Если все сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то, взяв оси Ox и Oy в плоскости сил, получим, что Zk = 0, т. е. проекция любой силы на ось Oz равна нулю. Поэтому третье уравнение (8.5) тождественно удовлетворяется и его использовать нельзя.

Итак, для плоской сходящейся системы сил условия равновесия сводятся к двум соотношениям

8.2.2. Теорема о трех силах Если твердое тело находится в равновесии под действием

трех непараллельных сил, расположенных в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство. Перенося две пересекающиеся силы P1

и P2 по их линиям действия в точку О их схождения, как в точку приложения, и векторно складывая, получаем равнодей-

щихся в равновесии, пересекаются в одной точке.

Использование теоремы о трех силах приведено в задаче

8.2.

144

8.2.3.Система параллельных сил, не лежащих

водной плоскости.

Проводим оси координат так, чтобы ось Oz была параллельна силам, а оси Ox и Oy были перпендикулярны силам. Тогда все силы проецируются на ось Oz в полную величину со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы с направлением оси, или противоположно этому направлению. Проекции всех сил на оси Ox и Oy равны нулю. Также будут равны нулю и моменты всех этих сил относительно параллельной им оси Oz (см. (7.23)). Поэтому вместо

Итак, для равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма величин проекций этих сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной этим силам, также равнялась нулю.

8.2.4. Произвольная плоская система сил Выберем систему осей координат так, чтобы плоскость

(х, у) совпадала с плоскостью сил. Тогда проекции всех сил на ось Oz будут равны нулю: Zk = 0, и моменты всех сил относительно осей Ox и Oy также равны нулю, так как эти оси и силы лежат в одной плоскости. Согласно определению момента силы относительно точки (7.15) и момента силы относительно оси (7.23), в нашем случае момент силы относительно оси Oz совпадает с моментом этой силы относительно точки О - начала координат. Поэтому из уравнений (8.4) остаются три урав-