Материал: Механика (статика). учебное пособие. Рябцев В.А

Решение. Согласно правилу параллелепипеда и имея в виду, что Rx = P1, Ry = P2 и Rz = P3 из формулы (7.12) находим

R = 19 H.

Согласно (7.13) cos = 15/19 = 0,7894; cos = 10/19 = 0,5263; cos = 6/19 = 0,3158. Тогда = 37° 53'; = 58° 15'; =

71° 35'.

Пример 7.4. Даны пять сил, лежащих в одной плоскости, и направленных, как показано на рис. 7.10. Модули этих сил

§7.5. Моменты силы и пары. Реакция заделки

Втеоретической механике широко используются вспомогательные понятия - момент силы

имомент пары сил, которые необходимы как для изучения теоретического материала, так и для решения задач.

7.5.1. Момент силы относительно точки

Величина момента силы P относительно точки О равна алгебраическому значению произведения модуля силы на ее

Из (7.15) следует, что момент силы относительно точки не меняется при переносе точки приложения силы по линии ее действия. При определении знака момента следует мысленно считать плечо OK = h стержнем, который закреплен шарнирно

в точке О и имеет свободный конец в точке К. Тогда при вра-

щении плеча под действием силы P вокруг точки О против

часовой стрелки момент будет положительным, а при вращении по часовой стрелке - отрицательным. Если P = 0 или h = 0,

то M0 ( P ) 0 . Итак, момент силы относительно точки О ра-

вен нулю, когда сила равна нулю или когда линия ее действия проходит через точку О. Из рис. 7.11 видно, что

т. е. модуль момента силы относительно данной точки численно равна удвоенной площади треугольника, основанием которого является сила, а вершиной - данная точка.

7.5.2.Вектор момент силы относительно точки

Втеоретической механике удобно считать момент силы относительно точки вектором. Определение и основные свойства векторного произведения двух векторов были рассмотрены в [6], § 1.2.

ки О в точку А (рис. 7.12).

Точку О, относительно которой определяется момент си-

122

лы, называют центром момента.

Вектором моментом силы P относительно точки О называют вектор, равный векторному произведению вектора - радиуса точки приложения силы на вектор силы

Итак, модуль вектора момента силы относительно данной точки численно равен удвоенной площади треугольника, основание которого соответствует силе, а вершина данной точке (рис. 7.12)

| M o ( P )| 2пл OAB .

Если вектор силы P переносить по ее линии действия, то площадь OAB меняться не будет, и, следовательно, момент силы относительно данной точки не меняется, если силу переносить по ее линии действия.

В некоторых случаях, когда определение плеча силы относительно точки О затруднено, удобно использовать формулы, выражающие проекции вектора – момента M на оси некоторой системы координат через проекции на эти оси вектора си-

ложения силы r :

лы P и векторарадиуса точки при-

M x ry Pz rz Py , M y rz Px rx Pz , M z rx Py ry Px . (7.18)

7.5.3. Пара сил

Очень важное значение в механике имеет особая система сил, называемая парой сил (или просто парой), Пару сил обра-

линиями действия сил пары называют плечом пары.

123

7.5.4. Момент пары сил

Величиной момента пары сил называют алгебраическое значение произведения модуля одной из сил пары на ее плечо

m( P,P ) Ph .

Если плечо h представить твердым стержнем, то при его вращении под действием сил пары против хода часовой стрелки в формуле (7.19) надо ставить знак плюс, а при вращении по ходу часовой стрелки - знак минус. Из рис. 7.13 следует

т. е. модуль момента пары сил численно равен удвоенной площади треугольника, основание которого соответствует одной из сил пары, а вершина находится в любой точке на линии действия второй силы пары.

его величины и направления, переносить параллельно самому себе из одной

m( P,P ) называют свободный вектор,

направленный перпендикулярно плоскости пары так, чтобы смотря в направлении, противоположном этому вектору, можно было видеть вращение под действием сил пары против хода часовой стрелки. Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (рис. 7.14)

124

Теорема 7.1. Сумма векторов моментов двух сил, составляющих пару, относительно произвольной точки равна вектору моменту пары.

силы одной пары и, используя свойства векторного произведения, получаем

пары сил равен вектору моменту одной из сил пары относительно точки приложений второй силы пары.

Следует обратить внимание, что полученное выражение не зависит от положения точки О. Итак, сумма векторов моментов двух сил, составляющих пару, относительно произвольной точки О, равна вектору моменту одной из сил пары относительно точки приложений второй силы пары. Согласно определению вектора момента силы относительно точки и век-

Теорема доказана.

7.5.5. Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси используется для оценки вращательного действия силы вокруг этой оси.

125