Материал: Материалы и элементы электронной техники

Обычно в полупроводниках присутствует примесь как донорная, так и акцепторная, но в разных концентрациях. Разность N_a - N_д (или обратную) называют эффективной концентрацией соответствующей примеси и обозначают для кратности N_д^* или N_а^*.

Если в полупроводник введено равное количество донорной и акцепторной примеси, то такой полупроводник называют компенсированным (рис. 5, б).

Для количественной оценки энергии DE (ширины запрещенной зоны - энергии активации) учтем, что в термодинамике для оценки энергии элементарных прпоцессов, используется величина kТ, где Т - абсолютная температура, k - постоянная Больцмана равная 1,3805×10^-23 Дж/⁰С. Величина kТ близка к средней кинетической энергии свободных электронов (3/2 kТ), обусловленной их хаотическим движением в твердом теле.

В полупроводниковой электронной технике энергию электронов оценивают величиной qj, где j - разность потенциалов, которую прошел электрон, q - элементарный заряд, равный 1,6×10^-19Кл. Эту энергию принято измерять в электрон-вольтах (эта энергия, которую приобретает электрон пройдя разность потенциалов 1В, 1 эВ = 1,60210×10^-19Дж.)

Энергия, выраженная в электрон-вольтах, численно совпадает с соответствующей разностью потенциалов.

Выражая энергию kТ в эВ, приравняв их (kТ = qj), получим одну из фундаментальных величин полупроводниковой физики и техники - температурный потенциал

j_T = kT/q » T/11600.                       (5)

Несложно показать, что при комнатной температуре (Т = 293 К) температурный потенциал равен

j_Т = 0,025 В или 25 мВ.

Аналогично приведению kТ можно любую энергию Е, фигурирующую на зонных диаграммах, характеризовать энергетическим потенциалом j, поделив Е_i на q. Тогда энергетические уровни дна зоны проводимости и потока валентной зоны будем обозначать j_C и j_V, а их разность - ширину запрещенной зоны j_З т.е.

j_З = j_С - j_V                                     (6)

j_З - определяет энергию, необходимую для образования электронно - дырочных пар.

В случае полупроводников j_З = (0,2 - 1,5) В, для диэлектриков j_З > (2 - 3) В, а для полуметаллов (вырожденных полупроводников) j_З < (0,1 - 0,05) В.

Следует отметить, что ширина запрещенной зоны существенно зависит от температуры

j_З = j_ЗО - e_ЗТ,                                 (7)

где j_ЗО - ширина запрещенной зоны при нулевой температуре, e_З (В/⁰С) - температурная чувствительность (для кремния j_ЗО = 1,21 и e_З = 3×10^-4 В/⁰С, что дает при комнатной температуре j_З = 1,12 В).

Энергию, соответствующую середине запрещенной зоны, характеризуют электростатическим потенциалом полупроводника

j_Е = 0,5 (j_С + j_V)

который часто принимают за начало отсчета других энергетических потенциалов.

3. Распределение носителей в зонах

Разрешенные зоны содержат огромное количество уровней (10²² - 10²³ в см³), на каждом из которых могут находиться электроны. Фактическое количество электронов зависит от концентрации доноров и от температуры. Чтобы оценить концентрацию носителей, необходимо знать распределение энергетических уровней и вероятность заполнения этих уровней.

Для невырожденных полупроводников вероятность заполнения уровня j в зоне проводимости определяется распределением Максвелла-Больцмана:

,

где j_F - потенциал, характеризующий так называемый уровень Ферми. Этот уровень есть электрохимический потенциал системы частиц. С формальной точки зрения его можно определить как энергетический уровень вероятность заполнения, которого равна 0,5.

Вероятность наличия дырки в валентной зоне на уровне j определяется аналогичной функцией

.

Если плотность уровней в зоне проводимости вблизи уровня j обозначим через Р(j), тогда Р(j) dj будет количество уровней в диапазоне dj. Умножая это количество уровней на вероятность заполнения уровней F_n(j) или F_p(j), получим концентрацию свободных носителей с энергиями от j до j + dj. Полную концентрацию свободных электронов n в интервале от j_с до j_сmax получим путем интегрирования по всей ширине зоны проводимости

.

Если принять зависимость P(j) ~ (j)^0,5, то полная концентрация свободных электронов:

,                         (10)

где N_c - эффективная плотность уровней (состояний) в зоне проводимости

                         (11)

где m_n - эффективная масса электрона, m масса свободного электрона, равная 9×10^-31кг.

Для концентрации дырок в валентной зоне получаем аналогично:

,                         (12)

где  - эффективная плотность уровней в валентной зоне

                     (13)

где m_р - эффективная масса дырки. (Для кремния =2,8)

Учитывая закон действующих масс , путем перемножения (10) и (12) получаем

                (14)

т.о. при неизменной температуре произведение концентраций есть величина постоянная, т.е. увеличение одной из концентраций ведет к снижению другой.

Для собственного полупроводника, с учетом  получаем, что

.                           (15)

Таким образом:

- собственная концентрация сильно зависит от ширины запрещенной зоны. (Например, для j_З1 - j_З2 = 0,2 В различие в собственных концентрациях составит е⁴ = 55 раз, именно по этой причине значение  для кремния на три порядка меньше, чем для германия);

- собственная концентрация сильно зависит и от температуры (например, если j_З/2j_Т = 20 и абсолютная температура возрастает на 5% около 15 ⁰С от уровня 293 ⁰С то собственная концентрация увеличивается в е раз, причем влияние температуры тем ощутимее, чем шире запрещенная зона).

Представляя отношение концентраций (в собственном полупроводнике) электронов и дырок в виде

,                            (16)

подставляя  после логарифмирования, получим выражение для уровня Ферми через концентрацию свободных электронов

                           (17)

либо через концентрацию свободных дырок при

.                           (18)

Вторые члены этих выражений называются химическим потенциалом, поэтому уровень Ферми являясь суммой электрического и химического потенциалов часто называют электрохимическим потенциалом.

Из двух последних уравнений следует, что:

- в собственном полупроводнике уровень Ферми расположен в середине запрещенной зоны, (т.к. );

- в электронном () в верхней половине запрещенной зоны;

- в дырочных () в нижней половине;

- с ростом температуры, когда примесный полупроводник постепенно превращается в собственный, уровень Ферми смещается к середине запрещенной зоны.

Для примера на рисунке приведен график температурной зависимости положения уровня Ферми (рис. 5, где 1 - область температур слабой ионизации донорной примеси, 2 - полной ионизация доноров, 3 - область собственной проводимости).

Одно из фундаментальных положений в физике полупроводников формулируется следующим образом: Уровень Ферми одинаков во всех частях равновесной системы, какой бы разнородной она ни была (т.е. ).

Рис. 5

4. Электропроводность полупроводников

Мы отмечали выше, что в результате дрейфа носителей в полупроводнике образуется ток, плотность которого определяется через удельную проводимость s и величину приложенного электрического поля Е

.                           (19)

Учитывая наличие двух типов подвижных носителей, запишем

,               (20)

где - подвижность соответствующих носителей.

Главной составляющей является та, которая связана с основными носителями.

              (21)

где - эффективная концентрация положительных донорных ионов.

Выражая концентрацию дырок, через концентрацию электронов , из решения квадратного уравнения относительно n, определим концентрацию электронов и аналогично дырок

 (22)

Пренебрегая (в реальном температурном интервале) собственной концентрацией (она существенно ниже концентрации примеси) получим выражение для концентрации основных носителей в виде:

.                                 (23)

Тогда концентрация неосновных будет

.                                     (24)

Откуда следует, что при низких температурах величины - очень малы (так для кремния с Ng = 2×10¹⁷ см^-3 при комнатной температуре концентрация дырок составит 2×10³ см^-3, т.е. р на 14 порядков меньше, чем концентрация электронов).

Как известно, движущиеся в полупроводнике электроны непрерывно испытывают столкновения с узлами кристаллической решетки, примесями и дефектами, т.е. испытывают рассеяние. После каждого такого «столкновения» электрон, грубо говоря, должен заново набить «скорость». В результате и средняя дрейфовая скорость оказывается величиной пропорциональной напряженности поля

,                                             (25)

где m - коэффициент подвижности носителей (коэффициент пропорциональности измеренный в единицах см²/(В×с)). Откуда при напряженности поля 1 В/см подвижность численно равна скорости см/с.

Как правило, подвижность электронов больше подвижности дырок (у кремния почти в 3 раза) и зависит от температуры, концентрации примесей, напряженности поля и определяется механизмом рассеяния носителей.

Если преобладает рассеяние на узлах, (нейтральных атомов) то (L-lattice-решетка)

       (26)

если на ионах примеси (I - ion - ион)

,                       (27)

где значения m _0I относятся к исходной (например, комнатной температуре Т₀, а значения m - к температуре Т). Показатель «с» зависит от материала и типа проводимости (например, для кремния n и p-типов с = 5/2).

Результирующая подвижность при этом близка к меньшей из двух составляющих m_L или m_I и уменьшается с ростом температуры. (В рабочем интервале температур она может изменяться в 4 - 5 раз).

Для собственного полупроводника можно записать

                               (28)

(подставляя для кремния при Т = 293 К, n_i = 2×10¹⁰см^-3, m_n = 1400 см²/В×с, m_p = 500 см²/(В×с) получим s_i = 6×10^-6Ом^-1см^-1 или r _i = 200 КОм×см).

Температурная зависимость собственной проводимости определяется температурной зависимостью собственной концентрации n_i, которая описывается экспоненциальной функцией. График зависимости s_i(1/Т) для кремния в полулогарифмическом масштабе имеет вид рис. 6. (т.е. в интервале температур -60⁰ …. +125⁰С собственная проводимость меняется на 5 порядков), s₀ - проводимость при +20⁰С.

Рис. 6

Для примесных полупроводников зависимость проводимости имеет вид

            (29)

Рис. 7

В рабочем интервале температур концентраций N_a, N_д практически постоянны, и следовательно зависимость проводимости здесь определяется температурной зависимостью подвижности. На рис. 7 приведены две кривые (s/s₀) (1/Т) для различной концентрации примеси (N₂ > N₁).

Для сравнения штриховой линеей 1 проведена часть функции s_i(1/Т). заимствованная с предыдущего рисунка. Точка «а» соответствует критической температуре, при которой примесный полупроводник превращается в собственный. С увеличением концентрации эта зависимость слабеет, что подтверждает близость таких полупроводников к металлам оправдывает их название - полуметаллы.

5. Рекомбинация носителей

Мы уже говорили о процессах генерации и рекомбинации носителей. Рекомбинация, противодействуя накоплению носителей, обуславливает их равновесные концентрации, ограничивает время жизни, а этот параметр во многом определяет длительность переходных процессов.

Различают несколько механизмов рекомбинации: непосредственную и рекомбинацию на примесных центрах.

Непосредственной - называют переход электрона из зоны проводимости в валентную зону (где он занимает вакантный уровень, т.е. «уничтожает» дырку). При этом выделяется энергия qj₃ либо в виде фотона (излучательная рекомбинация), либо в виде фонона (безизлучательная рекомбинация). (Напомним, что фонон - единичное квантовое возбуждение определенного нормального колебания, которое создает два вида упругих волн в 3-х мерном кристалле: - продольные (сжатие и растяжение); поперечные (деформации и сдвига)). В большинстве полупроводников вероятность излучательной рекомбинации на несколько порядков меньше, чем безизлучательной (т.к. электрону необходимо передать не только энергию qj₃, но и импульс, а фотон его воспринять не способен, поэтому нужна еще одна частица - фонон, ну а такая комбинация встречается крайне редко).