Махсуслаштириш –берилган тўпламдан бунда ётувчи тўпламга қарашга ўтишдан иборат. Масалан, мусбат каср сонлар тўпламини қарашдан натурал
сонлар тўпламини қарашга ўтиш махсуслаштиришдан иборат.Бунда ўзгарувчи миқдорни ўзгармас билан алмаштириш ёки ўрганиш объектига чеклашни киритишни (учбурчак–тенг ёнли учбурчак) махсуслаштириш деб ҳисобланади.
Абстракция анализ ва умумлаштириш каби икки хил шаклда бўулиши мумкин. Биринчи шакли, предметни ҳиссий билиш бўлиб, бунда предметнинг
бир хоссасига қарамасдан бошқа унинг хоссаларини ажратишдир. Геометрик жисм сифатида қараб предметнинг шакли, ўлчовлари, текисликда ёки фазо-
даги вазиятига қаралади. Иккинчи шакли абстракция ҳиссий билишдан умуман олганда келиб чиқади. Масалан, учбурчакнинг турли бурчаклар буйича
синфлашда абстрактлаштириб учбурчакнинг турлича томонга эгалиги хоссасига эътибор бермай, абстракт учбурчак тушунчаси билан иш кўрилади.
Салбий томони шундаки, ўрганилаётган объект баъзи хоссаларига эътибор бермайди. Лекин бу хоссалардан ташқари бизга муҳим бўлган хоссалари
ажратиб қаралади. Демак, абстракциялаш –ўрганилаётган объект баъзи муҳим бўлмаган хоссаларига фикран эътибор бермасдан хоссани тадқиқ этиш учун
муҳим хосса ажратиб қаралади.
Конкретлаштириш ўқитишнинг дастлабки босқичларидаги қўллани-
лади. У ўрганилаётган объектнинг бир тарафи бир ёқлама ўрганилади ва бу
ўрганиш унинг бошқа томонларига боғлиқ бўлмаган ҳолда амалга оширилади. У кўргазмали кўринишда ёки абстракт қоидага мисол сифатида қўлланилиши
мумкин. Масалан, рационал сонларни қўшишнинг ўрин алмаштириш ёки гуруҳлаш қонунлари конкрет мисолларни қараш асосида келтириб чиқарилиши
мумкин. Ёки бирорта формулани ўрганишда бу формулани қўллаб ҳисоблашларнинг конкрет ҳоллари қаралиши конкретлаштиришдан иборат.
6. Индукция. Тасдиқ чиқаришнинг икки хил тури мавжуд:индукция ва дедукция. Булардан индукция қадимги грек олими Сократ (эрамизгача 469-399
йиллар) номи билан боғлиқ. Индукция – йўналтириш, уйғотиш маъносида бўлиб, уч асосий кўринишга эга: 1) икки ёки бир нечта бирлик ёки хусусий
ҳукмлардан янги умумий ҳукм хулоса чиқарилади; 2) тадқиқот усули бўлиб, объектлар тўплами барчасига тегишли хоссалар баъзи алоҳида олинган объектларда ўрганилади; 3) материални баён қилиш усули бўлиб ўқитишда
унчалик умумий бўлмаган қоидалардан умумий қоидалар( хулоса ва натижалар)га келинади. Мисоллар: бирлик ҳукмлар: айлана, эллипс ва бошқа
чизиқлар тўғри чизиқ билан иккитадан кўп бўлмаган нуқтада кесишади. Хусусий хукмлар: эллипс, гипербола ва ҳоказо коник кесимлар турлари бўлиб,
иккинчи тартибли эгри чизиқлар тўғри чизиқ билан иккитадан ортиқ бўлмаган нуқтада кесишади.
Икки хил индукция мавжуд: тўлиқ бўлмаган ва тўлиқ. Тўлиқ бўлмаган индукцияда берилган вазиятга таалуқли барча хусусий ҳоллар қараб
чиқилмайди. Масалан, 5+2=2+5 тенгликдан а+в=в+а ёки арифметик прогрессия
26
п-чи ҳади формуласини келтириб чиқариш, бунда фараз келтириб чиқарилади,
исбот эса дедуктив йўл билан амалга оширилади.
Тўлиқ индукция берилган вазиятга таалуқли барча бирлик ва хусусий хукмларни қарашга асосланган хулоса чиқаришга таянади. Масалан, биринчи 10 та сон орасидаги туб сонлар сонини аниқлаш учун барча сонларни қараб
чиқиш мумкин. Баъзида тўлиқ индукция исботлаш учун қўл келади, масалан, ички чизилган бурчакни ўлчашда учта хусусий ҳол қаралиши мумкин:
бурчакнинг бир томони диаметр, бурчак ичида диаметр, диаметр бурчакдан ташқарида.
Дедукция лотинча дедуктио – келтириб чиқариш маъносини англатиб, тасдиқнинг бир шакли бўлиб, битта умумий ҳукмдан ва битта хусусий ҳукмдан
янги унчалик умумий бўлмаган ёки хусусий ҳукм келтириб чиқарилади. Умумий ҳукм ЭКУБ (6,7) =1. Янги хусусий ҳукм: 6 ва 7 ўзаро туб сонлар.
Дедуктив хулосалар уч хилда бўлади: а) умумийроқ қоидадан умумийроқ бўлмаган (ёки бирлик) ҳукмга ўтиш, масалан, юқоридаги мисол бундан далолат
беради; б) умумий қоидадан умумий қоидага ўтиш (масалан, барча жуфт сонлар 2 га бўлинади, барча тоқ сонлар 2 га
бўлинмайди, ҳеч қандай жуфт сон бир вақтда тоқ сон ҳам бўлолмайди); в) бирликдан хусусийга ўтиш ( 2 сони-туб сон, 2 –натурал сон, баъзи
натурал сонлар туб сонлардир).
Математикада яна математик индукция принципи мавжудки, у орқали кўпгина мулоҳхазаларни исботлаш мумкин бўлади.Унинг босқичлари
қуйидагилардан иборат: 1) кузатиш ва тажриба; 2)фараз; 3) фаразни асослаш( исботлаш). У уч қадамда амалга оширилиши мумкин: 1) п=1 учун мулоҳаза
тўғрилиги текширилади: 2)п=к учун мулоҳаза тўғри деб, мулоҳазанинг п=к+1 учун тўғрилиги исботланади.3) исботнинг олдинги икки қадами ва математик
индукция принципига асосан теорема ёки мулоҳаза ҳар қандай п учун тўғри деган хулосага келинади. Бундан ўқитишда кенг қўлланиб, турли хил сонли
тенгликлар ва тенгсизликларни исботлашда фойдаланиш мумкин.
Асосий адабиётлар
1.Алиханов С. Математика ўқитиш методикаси. – Т:Ўқитувчи, 1993 й.
2.Методика преподавания математики. Общая методика.
М:Просвещение, 1985 г.
3.Методика преподавания математики. Общая методика. Ю.М.Колягин и др. – М: 1975 г.
4.Методика преподавания геометрии. Планиметрия.. –М, 1967 г.
5.Методика преподавания математики. Частная методика. Под ред. В.И.Мишина.- М:Просвещение, 1987 г.
6.Методика преподавания математики. Частная методика. Ю.М.Колягин
идр. – М.1977 г.
Қўшимча адабиётлар
1..Столяр А.А. Педагогика математики. – М., Просвещение, 1982 г.
27
2.Метельский А. Дидактика математики. – Минск, 1991 г.
3.Мирзаев Ч.Э. “Таълим жараёнларини комплекс лойихалаш”. Тошкент,
2010
Мавзу -3: Математика ўқитишда тафаккур услублари ва шакллари.
Асосий саволлар:
1.Тафаккурнинг қисқача тавсифи.
2.Математик тушунчалар ва уларни шакллантириш.
3.Ҳукмлар ва уларнинг турлари.
4.Математик тасдиқлар ва исботлаш усулларига ўргатиш.
5.Математика ўқитишда индукция ва дедукция.
Мавзуга оид таянч тушунча ва иборалар: тафаккур, математик
тушунча, ҳукм ва тасдиқлар, тушунча ҳажми ва мазмуни, шакллантириш босқичлари, аксиома, теорема, постулат,индукция ва математик индукция
принципи, дедукция.
1-асосийсавол: Математика ўқитишда тафаккур услублари ва шакллари
1-асосий саволнинг баёни:
1. Математиканинг ривожи инсон тафаккури таъсирида амалга ошади.
Шу сабабдан ҳам математикани ўрганиш ўрганувчидан тафаккурни ривожлантиришни талаб этади. Бунда математик тафаккурнинг ўзига хос усул
ва шаклларидан фойдаланишга тўғри келади. Бу ҳақда айниқса француз математиги Анри Пуанкаре ҳамда Герман Вейлнинг математик тафаккур
ҳақидаги фикрлари, уни ёшликдан тарбиялаб бориш зарурлигини тасдиқлайди
(2, 3).
Тафаккуринсон онгида аск этган объектлар томонлар ва хоссаларини ажратиш ва уларни янги билим олиш учун бошқа объектлар билан тегишли
муносабатларда қўйиш жараёнига айтилади. Умуман олганда, тафаккур объектив борлиқнинг инсон онгида фаол акс эттириш жараёнидир.
Тафаккур ҳам мазмун ва шаклга эга. Алоҳида фикрлар тузилмаси ва
уларни махсус бирлашмаларига тафаккурнинг шакллари дейилади. Тафаккурнинг шакллари қуйидагилар: тушунча, ҳукм ва тасдиқлар. Унинг
ҳақиқатлилиги –уларни тўғри ўрганиш, мустаҳкам ва ишончли системани таъминлайди.
2. Тушунчалар объектларнинг турли хил сифатлари, белгилари ва
хусусиятларини акс эттиради, бунда бирлик ва умумийлик хоссалари мавжуд.
Бирлик хоссалари фақат шу объектга тегишли бўлиб, уни бошқаларидан фарқловчи белгиларини ўз ичига олади, умумий хоссалари – объектларга
тегишли муҳим хоссаларни ифодалаш учун тушунчани бошқа тушунчалардан фарқли белгилари ва умумийлигини таъминлаш учун қўлланилади.
28
Тушунчанинг хусусиятлари: моддий дунёни акс эттирувчи категория ҳисобланади; билишда умумлашган нарса сифатида пайдо бўлади; тушунча
ўзига хос инсон фаолиятини билдиради; инсон онгида тушунча шаклланиб, у нутқда, ёзувда ва белгиларда ифодаланиши билан характерланади.
Тушунчанингнг шаклланиш жараёни боскичлари: қабул қилиш, хиссий
билиш, тасаввур , тушунчанинг шаклланиши.
Умумлаштиришда бир неча объектларга тегишли умумийликлар
ажратилиб, фарқлари қаралмайди, абстракт тушунчалар шундай пайдо бўлади. Бунда объектларнинг каттароқ тўплами қаралиб, уларга хос умумий ва турғун
хоссалари ажратилади.
Тушунча мазмун ва ҳажмга эга: мазмун – бу тушунчанинг барча муҳим
белгилари тўпламидан иборат, ҳажми эса – бу тушунчани қўллаш мумкин бўлган объектлар тўплами, демак, мазмун – белги, хоссалар, ҳажм- объектларни
ифодалайди.
Параллелограмм тушунчаси мазмунига қуйидаги белгилар киради:
қарама-қарши томонлар тенг, қарама-қарши бурчаклар тенг, кесишиш
нуқтасида диагоналлари тенг иккига бўлинади. Ҳажмига эса
параллелограммлар, ромблар, тўғри тўртбурчаклар, квадратлар киради. Тушунчанинг мазмуни ва ҳажми ўзаро алоқада. Мазмун ҳажмни
белгилайди, ҳажм эса мазмунни тўла аниқлайди. Улар ўзаро тескари
боғланишда, яъни мазмун ўзгариши билан ҳажм ўзгаради, лекин бирининг кенгайиши иккинчисининнг торайишига сабаб бўлади.
Масалан, параллелограмм тушунчаси мазмунини кенгайтирсак, яъни унинг диагоналлари ўзаро перпендикуляр белгисини қўшимча қилсак,унинг
ҳажми тораяди ва унга фақат ромб ва квадратлар киради. Агар мазмуннни кичрайтирсак, яъни жуфт-жуфт қарама-қарши томонлари параллеллигини олиб
ташласак, у ҳолда унинг ҳажми кенгайиб, унга яна трапециялар ҳам киради. Агар икккита тушунча п1 ва п2 берилган бўлса ва уларнингг ҳажмлари
тегишлилик муносабатида бўлса, яъни п2 тушунча каттароқ ҳажмга эга бўлса, у ҳолда п2 тушунча п1 га нисбатан жинсдош, п1 эса п2 га нисбатан турдош деб
аталади. Масалан, ромб параллелограммга турдош тушунча, аксинча, параллелограмм ромбга жинсдош тушунча ҳисобланади.
Тушунча мазмунини очишда унинг белгилари ёрдамида таърифлаш
муҳим аҳамиятга эга. Тушунчаниннг таърифида ҳар бир белги зарурий, барчаси эса етарли бўлиши зарур. Масалан, параллелограмм- икки жуфт қарама-қарши
томонлари тенг ва параллел бўлган тўртбурчак, квадрат – томонлари тенг ва тўртта бурчаги тўғри бўлган параллелограммдир каби таърифлар бунга мисол
бўла олади.Умуман олганда, ихтиёрий тушунчани кенгайтириб нуқтали тўпламларгача олиб бориш мумкин Масалан, квадрат тушунчасининг
кенгайишини кузатсак: квадрат – ромб – параллнлограмм – кўпбурчак – геометрик шакл – нуқтали тўплам.
Тушунчаларни таърифлашда қуйидаги усуллар мавжуд:яқин жинсдош ва турдош орқали таърифлаш: масалан, квадрат – тенг томонли тўғри
29
тўртбурчак, ромб – диагоналлари ўзаро перпендикуляр параллелограмм, генетик усул – тушунчаларнинг келиб чиқишини кўрсатиш орқали: масалан,
айлана таърифи, бунга мисол бўла олади. Индуктив равишда таърифлаш – реккурент тенгликлар ёрдами билан таърифлаш, масалан, арифметик прогрессия таърифини п-чи ҳади умумий ҳади формуласи орқали берилиши
бунга мисолдир.Абстракт таърифлашда тушунчага хос белги ва хоссалар асосида таърифланади, масалан, натурал сонни эквивалент чекли тўпламлар
характери сифатида таърифланади.
Тушунча ҳажми уни синфлаш учун имконият яратади, масалан, натурал
сон=туб сон + мураккаб сон + бир, қавариқ кўпбурчак = қавариқ тўртбурчак + тўрбурчак эмас.
Математик тушунчаларни шакллантириш қуйидаги босқичларни ўз ичига олади: қабул қилиш ва сезги; қабул қилишдан тасаввурга ўтиш;
тасаввурдан тушунчага ўтиш; тушунчани шакллантириш; тушунчани ўзлаштириш.
Математик ҳукмлар объектлар ҳақидаги фикрлар тузилмасидан иборат бўлиб, тушунчанинг бирор хосса ёки бошқа тушунчалар билан муносабатини
ўрнатиш учун қўлланиладиган тафаккур шакли ҳисобланади, тушунчадан фарқли томони тўғри ёки ростлиги асосланилиши талаб этилади ёки бундай усул мавжудлиги кўрсатилиши лозим.
Математик ҳукмларнинг қуйидаги турлари мавжуд: аксиомалар, теоремалар,постулатлар.
Аксиомалар ҳақида гапирганда таъкидлаш керакки, исбот талаб қилмайдиган фикр бўлиб, математика фани асосида бундай бошланғич фикрлар
– аксиомаларга таянилган ҳолда иш кўрилади. Натурал сонлар Пеано аксиомалар системасига, геометрия Евклид аксиомалар системаси асосида
қурилиши бунга мисол бўла олади. Аксиомалар бошланғич таърифланмайдиган тушунчалар орасидаги дастлабки муносабатларни ифодалаш учун ишлатилиб,
шу асосда назарий қоида ва теоремалар келтириб чиқарилади. Масалан, бир тўғри чизиқда ётмайдиган учта нуқта орқали фақат битта текислик ўтказиш
мумкин.
Теоремалар эса математик хукмларнинг энг кўп ишлатиладиган тури бўлиб, у аксиомалар ёрдамида ўрнатилаётган назарий натижаларни ифода этиб,
исботланиши талаб этилади. Теорема икки қисмдан иборат: шарт ва хулоса ва
АВ шаклда белгиланиши мумкин .Берилган теоремага асосланиб учта
теоремани тузиш мумкин: тескари теорема В А, қарама-қарши теорема
А ; тескарига қарама –қарши .
Теореманинг турлари орасида қуйидаги боғланиш мавжуд: агар тўғри
теорема рост бўлса, қарама-қарши теорема ҳам рост ва аксинча. Тескари теорема рост бўлса, тескарига қарама-қарши теорема ҳам рост бўлади.
Зарур ва етарли шартларни ҳам ўрганиш талаб этилади. Умуман олганда, р мулоҳаза учун х учун етарли шарт бўлади, агар х р импликация рост натижа берса, р мулоҳаза х учун етарли шарт бўлади, агар р х
30