Документ: Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи, страницы 26-30

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

либо контуром питания, на котором поддерживается постоянное пластовое давление		pi ,
либо замкнутой границей, через которую невозможен переток жидкости.
Заметим, что если значение скин-фактора S 0 ,	то в качестве радиуса скважины
можно использовать эффективный радиус скважины r	r e S .
w	w

Решая уравнение (2.1) с начальным условием (2.2) и граничными условиями, (2.4)- (2.7), требуется определить давление p и расход Q в скважине в любой момент времени

t 0.

Для упрощения решения введем в

рассмотрение величину понижения давления

(депрессию):

P(r,t) pi

p(r,t) .

(2.8)

При замене величины

p

на P

уравнение пьезопроводности (2.1) сохранит свой вид.

Перейдем к безразмерным переменным:

p

P

p

,

r

,

r

,

t

,

C

2a kh

.

i

e

D

P

p

D

r

eD

r

D

r

2

B

i

0

w

l

Тогда с учетом выражения (2.3) запишем уравнение пьезопроводности, а также

начальное и граничные условия в виде:

2

p

1 p

p

,

D

(2.9)

r

2

r

t

D

p

D

0

при

t

D

0,

(2.10)

p

D

p

C

1

при

r

1,

t

0,

(2.11)

D

r

D

r

1

D

p

D

0

при

r

,

t

D

0.

(2.12)

D

В последующем изложении для определенности,

но без ограничения общности,

будем рассматривать внешнее граничное условие, соответствующее бесконечному пласту.

Граничные условия в безразмерном виде для других случаев задания внешней границы пласта приведены в Таблице 1.

Решение задачи (2.9)-(2.12) будем искать с использованием методов операционного исчисления. Применим к уравнению и граничным условиям преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа [30] связывает оригинал искомой функции с ее изображением

следующим интегральным соотношением:


	~	r, s		e	st	pD r,t dt ,
	pD	r, s		e		pD r,t dt ,
			0
~	r, s – изображение	функции,				pD r,t – оригинал, s – параметр
где pD	r, s – изображение	функции,				pD r,t – оригинал, s – параметр

преобразования. Следуя правилам операционного исчисления [30] и учитывая начальное условие (2.10), правая часть уравнения (2.9) в пространстве Лапласа примет вид:

28

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

~
p	D

t

~		p		(t
sp	D		D		D

0)

~
sp	D
	D

.

Тогда задачу (2.9)-(2.12) в пространстве Лапласа можно записать в следующем виде:

d

2

p

1

dp

D

sp

dr

2

r

dr

D

p

1

pD

C

D

при rD 1,

tD 0,

rD r

1

s

D

pD 0

при rD ,

tD 0.

(2.13)

(2.14)

Для других видов внешних граничных условий формулы приведены в таблице 1.

Тип пласта

Круговой пласт с постоянным давлением на контуре

Круговой пласт с непроницаемой границей

Таблица 1

Граничные условия в обычном

Граничные условия в

пространстве

пространстве Лапласа

p

0

при r

r

,

t

0

~

0

при r

r , t

0

D

p

D

eD

D

eD

p

~

D

0

при

r

,

t

0

p

D

0

при

r

,

t

0

D

r

D

eD

r

D

eD

D

По изображению безразмерного давления, используя выражение (2.3), найдем

изображение дебита скважины:

Q

(r

, s)

r

p

D

(2.15)

D

r

1

D

r

D

1

D

где QD

Q(r,t) r rw Bl

– безразмерный дебит скважины.

2 kh( pi p0 )

В результате применения операционного метода задача об интегрировании

дифференциального уравнения

с частными производными (2.1) сведена к более простой

задаче интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (2.13). Уравнение

(2.13) является модифицированным дифференциальным уравнением Бесселя. Его общее решение можно записать в виде [31]:

D

0

D

0 D

p

(r , s)

AI

r

s

BK

r

s

(2.16)

где

I 0 и

K 0 – модифицированные функции Бесселя нулевого порядка I и II рода,

которые

могут

быть вычислены

с

использованием

любого математического пакета

(включая MS Excel). A и B – постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий (2.14)-(2.15).

Решение задачи (2.9)-(2.12) в пространстве Лапласа выглядит следующим образом:

29

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

~

K

0

(r

s )

(2.17)

(r

, s)

D

,

p

D

s K

( s ) C

sK

(

s )

0

1

~

(r

1, s)

K1

s

.

Q

D

s K

s )

(2.18)

D

(

s ) C

sK

(

0

1

Для других граничных условий общий вид решения в пространстве Лапласа

приведен в таблице 2

Таблица 2

K

(r

s )I

(r

s ) I

0

(r

s )K

(r

s )

~

s C

0

D

0

eD

D

0

eD

s )

Круговой

s K (

s )I

(r

s ) I (

s )K

(r

s )

K

(

s )I

(r

s ) I

(

s )K

(r

pD

0

пласт с

1

0

eD

1

0

eD

0

eD

0

eD

постоянным

K (

s)I

(r

s) I (

s)K

(r

s)

давлением

~

s C s

K (

1

0

eD

1

0

eD

s)

s) K

на контуре

Q

D

s)I

(r

s) I (

s)K

(r

(

s)I

(r

s) I

(

s)K

(r

1

0

eD

1

0

eD

0

eD

0

eD

Круговой

~

K

(r

s )I (r

s ) I

0

(r

s )K (r

s )

0

D

1

eD

D

1

eD

пласт с

p

D

s C

s K ( s )I (r

s ) I (

s )K (r

s ) K

(

s )I (r

s ) I

(

s )K (r

s )

0

непроницае

1

eD

1

eD

1

eD

0

1

eD

мой

~

K (

s )I (r

s ) I (

s )K (r

s )

1

eD

1

eD

границей

Q

D

s C

s K (

s )I (r

s ) I (

s )K (r

s )

K

(

s )I (r

s ) I

(

s )K (r

s )

1

eD

1

eD

0

1

eD

0

1

eD

После того, как определены изображения искомых функций, необходимо вернуться в обычное пространство. Для этого нужно произвести обратное преобразование Лапласа.

Для перехода к оригиналу воспользуемся численным алгоритмом [32], по которому осуществляется обратное преобразование Лапласа при заданных значениях безразмерного времени tD.

Таким образом при заданных граничных условиях определим забойное давление и дебит скважины как функцию времени.

2.3.Решение с учетом влияния объема ствола скважины

В рамках операционного метода Лапласа можно получить точное решение рассматриваемой задачи с учетом влияния объема ствола скважины. Как уже отмечалось,

для этого запишем граничное условие на скважине в виде [34]:

Qsf Bl Qwh Bl	Cs	p	.	(2.19)
		t	r r
			w
Заметим, что в отличие от ранее рассматриваемых случаев Qwh				теперь не является

постоянной величиной, а должен определяется из условий работы скважины, то есть из выражения (2.2):

Qwh	p(r,t)	r rw	p0	.	(2.20)
		r rw
		a
		a
			30

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

В остальном ход решения аналогичен представленному ранее. Решение в

пространстве Лапласа для бесконечного пласта выглядит следующим образом:

~

K

0

(r

s )

(2.21)

(r

, s)

D

,

p

D

s K

s )

D

(

s ) 1 CC

s C

sK

(

0

D

1

~

(r

1, s)

K1

s

,

Q

D

s K

s )

(2.22)

D

( s ) 1 CC

s

C

sK

(

0

D

1

где CD

Cs

– безразмерный коэффициент влияния ствола скважины.

r 2

2 hc

t

w

Для других случаев задания внешних граничных условий решения показаны в

таблице 3.

Таблица 3

Круговой

~

K0

(rD

s )I0

(reD s ) I0

(rD

s )K0 (reD

s )

пласт с

p

D

s C s K ( s )I

(r

s ) I (

s )K

(r

s )

1 CC

s K

(

s )I

(r

s ) I

(

s )K

(r

s )

постоянн

1

0

eD

1

0

eD

D

0

eD

0

eD

ым

давление

~

K (

s )I

(r

s ) I ( s )K

(r

s )

1

0

eD

1

0

eD

м на

Q

D

s

C

s K (

s )I

(r

s ) I (

s )K

(r

s ) 1 CC

s K

(

s )I

(r

s ) I

(

s )K

(r

s )

контуре

D

0

1

0

eD

1

0

eD

0

eD

0

eD

~

K0 (rD s )I1(reD s ) I0 (rD s )K1(reD s )

Круговой

pD

s C

s )K1(reD s )

s K1(

s )I1(reD

s ) I1(

s )K1(reD

s ) 1 CCD s K0 (

s )I1(reD

s ) I0 (

пласт с

непрониц

аемой

~

K (

s )I (r

s ) I ( s )K (r

s )

1

eD

1

1 eD

границей

Q

D

s C

s K ( s )I (r

s ) I (

s )K (r

s ) 1 CC

s K

(

s )I (r

s ) I

(

s )K (r

s )

D

0

1

eD

1

eD

1

eD

0

1

eD

Следует отметить, что решение с учетом влияния ствола скважины получено при

условии стационарности кривой эффективности лифта, которое, строго говоря, будет

справедливо лишь по прошествии некоторого характерного времени t2

с момента начала

работы скважины. Характерное время эффекта влияния ствола скважины имеет порядок

			V
t		~		an
t	3	~	Q
	3
				pump
				pump

, где

V	an

– объем затрубного пространства, а

Q	pump

– производительность насоса.

Обычно Van – порядка 10 м3, Qpump ~ 10 3 м3/с. Используя проведенную выше оценку

значения времени t2 , получим

t	3

t	2

~

10

, откуда видно, что эффект влияния ствола

скважины значительно более медленный процесс, чем процесс «установления» кривой лифта, а, значит, может рассматриваться в рамках предложенной математической модели.

2.4.Анализ результатов

31

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Полученное решение, а также известные решения для случая задания на скважине постоянного давления или дебита представлены на рис.2. В данном примере a = 2.12

атм/(м3/сут) , p0 = 50 атм, pi = 250 атм, re = 200 м, rw = 0.1 м, h = 10 м, = 0.001 м2/с.

Рассматривается пласт с постоянным давлением на контуре, эффект влияния ствола скважины не учитывается.

Как видно из графиков в отличие от известных решений в случае учета работы системы пласт-скважина в целом (при задании на скважине кривой эффективности лифта в линейной аппроксимации) как забойное давление, так и дебит изменяются с течением времени. Это продолжается до тех пор, пока влияние границ невелико. После этого распределение давления устанавливается, дебит становится постоянным, и работа скважины переходит в стадию установившегося режима.

Кривые, описывающие изменение дебита скважины и забойного давления при различных вариантах задания внешних граничных условий и с учетом влияния ствола скважины (Cs = 0.01 м3/атм) показаны Рисунок 2.4 - Рисунок 2.5. Пунктиром показаны результаты расчета без учета влияния ствола скважины. Представленные зависимости отражают процессы, происходящие в пласте и скважине при их совместной работе.

В начальные моменты времени ( t t* ) определяющую роль в изменении забойного давления и дебита играет эффект влияния ствола скважины. Дебит из пласта непосредственно после запуска скважины практически равен нулю. При этом добыча на поверхности идет в основном за счет жидкости, находящейся в затрубном пространстве. В

дальнейшем все больше пластового флюида поступает на поверхность, уровень столба жидкости в затрубном пространстве стабилизируется, и после окончания периода влияния объема ствола скважины пластовый и поверхностный дебиты становятся равными.

Отметим, что в реальной практике нефтедобычи эффект влияния ствола скважины не играет большой роли из-за своей непродолжительности, но должен учитываться при проведении гидродинамических исследований скважин [33].

В дальнейшем, при t* t t** и давление, и дебит, изменяясь с течением времени,

определяются нестационарным процессом распространения возмущения давления в пласте. Заметим, что во время неустановившегося режима (на графиках это соответствует временам t t** ), когда скважина еще «не чувствует» внешних границ на характер изменения забойного давления и дебита не влияет тип пласта (вид внешних граничных условий), поэтому кривые во всех трех случаях совпадают.

32

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

Материал: Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи

Смотрите также: