Материал: Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Резюме
Цель работы продемонстрировать основные понятия теории фильтрации жидкости на примере вывода и решения уравнений однофазного течения однородной жидкости для различных условий. Произведен вывод решений, описывающих производительность одно- и многопластовой скважины с различными условиями на внешней границе пласта на неустановившемся режиме.
В работе показано качественное отличие многопластовой системы от однопластовой системы с осредненными параметрами. На основе построенной модели показано, как по данным гидродинамических исследований выявить наличие ограниченных пропластков,
оценить гидродинамическую согласованность пласта.
3
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
1.Введение в математические модели и математический аппарат теории фильтрации
1.1.Уравнение пьезопроводности
Для описания процессов фильтрации жидкости в пласте используют математическую модель, в основе которой лежат несколько предположений: 1) добыча происходит на упругом режиме фильтрации, то есть допустимо считать, что в обычных интервалах изменения пластового давления плотность жидкости и пористость среды линейно зависят от давления [1]; 2)скорость фильтрации прямо пропорциональна градиенту давления,то есть выполняется закон Дарси:
u x, y,z,t
k x, y,z,tx, y,z,t x, y,z,t
p x, y,z,t
.
(1.1)
При вышеизложенных предположениях распределение давления в пласте в любой момент времени описывается с помощью уравнения пьезопроводности, которое в случае наличия анизотропии по проницаемрости имеет вид [1]:
где
- вязкость,
k |
x |
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
p |
|
k y |
2 |
p |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
y |
|
|
z |
||||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- проницаемость
|
2 |
p |
* p |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
t |
,. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
в данном направлении,
*
(1.2)
- коэффициент
упругоемкости пласта,
|
|
|
* |
|
|
|
|
f |
|
s |
|
,
|
f |
|
и s - коэффициенты сжимаемости жидкости и
пористой среды.
В случае наличия распределенных стоков и источников в фильтрационном потоке уравнение пьезопроводности примет следующий вид:
kx |
2 |
p |
|
k y |
2 |
p |
|
kz |
2 |
p |
* p |
|
q |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
z |
2 |
|
t |
|
|
|
,. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
где q – массовая производительность стоков или источников,
|
кг |
|
||
|
м |
3 |
|
|
|
|
с |
||
.
(1.3)
Рассмотрим скважину в центре однородного изотропного кругового пласта с отсутствием непрерывно распределенных стоков и источников (см. Рисунок 1.1), в случае наличия плоскорадиальной симметрии уравнение (1.3) имеет вид [1]:
|
|
|
1 p r,t |
|
1 p r,t |
|
|
2 |
p r,t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
r |
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
где |
k |
|
- коэффициент пьезопроводности. |
||||||||
|
* |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
,
(1.4)
4
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
re
Рисунок 1.1. Скважина в центре однородного изотропного кругового пласта
1.2.Начальные и граничные условия
Как уже было сказано, процесс фильтрации описывается уравнением пьезопроводности. Решение задачи фильтрации в однофазном случае в какой-либо области сводится к задаче решения соответствующего уравнения пьезопроводности, то
есть к отысканию необходимой функции |
p r,t . Процесс отыскания решения уравнения в |
частных производных также называется интегрированием этого уравнения. Для того чтобы проинтегрировать уравнение пьезопроводности, необходимо также знать граничные и начальные условия [2].
Начальное условие заключается в задании начального распределения давления в пласте (то есть распределение давления на момент пуска скважины в работу), обычно считают, что пласт вначале невозмущен – когда давление во всех точках пласта одинаково
и равно начальному среднему пластовому давлению:
p r,t p |
, r r |
,r |
, t 0 . |
(1.5) |
0 |
w |
e |
|
Граничные условия задаются на скважине и на границах пласта. На границах пласта чаще всего рассматриваются так называемые условия 1-го и 2-го родов [2]. Граничное условие 1-го рода – это условие поддержания постоянного давления на данной границе,
реализуются такие условия в пластах с мощным аквифером: |
|
|
p(r,t) r r |
p0 , t 0 . |
(1.6) |
e |
|
|
Граничные условия 2-го рода – это условия поддержания постоянного значения
производной давления, то есть поддержания постоянного потока через границу пласта.
Это условие используется, в частности, при описании пластов с отсутствием перетока через границу (значение производной в этом случае равно нулю):
5
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
pr
, t 0 r re
(1.7)
Также, как будет показано далее, данное условие может быть использовано при описании поведения скважины на псевдоустанвившемся и установившемся режимах в системе разработки.
Существуют еще граничные условия 3-го рода – условия связи давления и производной давления по координате (то есть связь между давлением и потоком через границу пласта)[5]:
pr
r,t p |
r r |
|
f r,t , t 0 |
|
|
|
|
r r |
Г |
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
(1.8)
В системе заводнения для корректного описания процесса взаимодействия скважин,
как на неустановившемся, так и на псевдоустановившемся и установившемся режимах необходимо использовать, как будет показано далее граничные условия 4-го рода [3],[4] –
условия сопряжения зоны закачки и зоны добычи.Конкретный вид данных граничных условий будет рассмотрен далее.
Также необходимо задать граничное условие на скважине. В зависимости от задания граничного условия на скважине, математические модели работы скважины классифицируются на модели постоянного давления и модели постоянного дебита. В
случае, когда на скважине поддерживается постоянное забойное давление (граничное условие 1-го рода), используется модель постоянного давления, а граничное условие выглядит следующим образом:
p r,t |
w |
p |
wf |
, t 0 |
(1.9) |
|
r r |
|
|
|
Модель постоянного дебита используется, соответственно, когда на скважине задано условие 2-го рода – поддерживается постоянный дебит и представляет собой закон фильтрации Дарси .
p( r,t ) |
|
B q |
|
, t 0 |
|
o |
s |
||
|
|
|
||
r |
r r |
2 khr |
|
|
|
|
w |
|
|
|
w |
|
|
|
(1.10)
С учетом эффекта послепритока [6]:
p( r,t ) |
|
B q |
|
|
C |
|
p |
wf |
, t 0 |
|
o |
s |
|
s |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
r |
r r |
2 khr |
|
2 khr |
t |
|
|||
|
|
w |
|
|
w |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.11)
где Cs - коэффициент послепритока.
Модель постоянного дебита лучше применять, если имеется технические ограничения по добыче: это может быть предельная пропускная способность поверхностного обустройства, законодательные ограничения на максимальный дебит.
6
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Модель постоянного давления лучше применять в долгосрочном режиме работы скважины, когда дебит меняется сильно, а забойное давление остается приблизительно на одном уровне.
Необходимо упомянуть, что вообще говоря, на скважине меняется как забойное давление так и дебит, поэтому корректнее предположить, что дебит связан с давлением некоторой связью, например – в некоторых случаях с большой точностью можно аппроксимировать эту связь - линейной зависимостью (в первом приближении). Работа скважины с граничным условием 3-го рода, то есть с условием линейной связи забойного давления с дебитом рассматривается в статье [7]. Также есть ряд публикаций,
посвященных работе скважины при условии, что их дебит – есть некоторая функция
времени, например степенная: |
* |
s |
[1]. В [8] решена более общая задача о |
q qs t |
|
||
взаимодействии пласта со скважиной, |
дебит которой меняется следующим образом: |
||
q q at e t . |
|
|
|
0 |
|
|
|
1.3.Способы интегрирования уравнения пьезопроводности
Существуют различные способы нахождения решений уравнения пьезопроводности.
Широкий обзор методов решения уравнения пьезопроводности можно найти в книгах [9], [1], [10], а также [2].
1.3.1. Фундаментальные решения
Рассмотрим одномерные потоки. В «одномерных» потоках все характеристики потока (давление, скорость фильтрации и т.д.) зависят не более чем от одной координаты.
Примерами одномерных потоков в могут служить: 1) Прямолинейно-параллельный поток
2) Плоскорадиальный поток (рисунок) 3) Сферический радиальный.
Изобары |
а) |
Изобары |
б) |
Траектории
Траектории
X
7
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts