Материал: Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

разбиения [18]. Широкое представление о численных методах можно найти в книгах [18],

[19].

1.3.7. Принцип суперпозиции

Уравнение пьезопроводности является линейным уравнением. Решения этого уравнения соответствуют принципу суперпозиции. Это означает, что для того чтобы посчитать давление в произвольной точке пласта, который вскрывают 2 и более скважин,

необходимо просто сложить решения для разных скважин, как показано на Рисунок 1.1.

Используя принцип суперпозиции, можно смоделировать остановку скважины, переход скважины на другие режимы работы.

Рисунок 1.3. Принцип суперпозиции при решении линейных уравнений: давление в данной точке – есть сумма вкладов в изменение давления от разных скважин

, где ri - расстояние от исследуемой точки X до i-ой скважины, ti - время работы i-ой скважины.

Поэтому, для того чтобы смоделировать случай, когда дебит скважины -

переменный, достаточно рассмотреть две скважины, находящиеся в одной точке и сложить решения для этих скважин, причем дебит первой скважины – q1 , второй q2 q1 ,

вторая скважина начинает работать в момент времени t t1 (Рисунок 1.4).

13

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рисунок 1.4. Принцип суперпозиции при решении линейных уравнений: скважина с переменным дебитом

В случае модели постоянного давления – все те же рассуждения верны, в отношении перепадов давления, относительно среднего пластового давления.

1.3.8. Метод отображения

Иногда полезен метод, называемый методом отображения [9]. Поясним его на примере. Допустим необходимо найти динамику распределения давления от скважины

(добывающей или нагнетательной), расположенной на некотором расстоянии от полубесконечного пласта (Рисунок 1.5).

Рисунок 1.5. Метод отображения при решении некоторых смешанных задач

Распределение давления в этом случае будет эквивалентно распределению от работы двух одинаковых скважин: первая – данная скважина, а вторая – «мнимая» скважина,

расположенная симметрично от границы полубесконечного пласта (Рисунок 1.5).

Рассмотрим скважину в центре прямоугольного ограниченного пласта. Данная система эквивалентна скважине, работающей с теми же параметрами в бесконечном пласте, но при этом скважину окружают совокупность таких же «мнимых» скважин,

симметрично расположенных от границы пласта (Рисунок 1.6).

14

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рисунок 1.6. Метод отображения при решении некоторых смешанных задач: скважина в прямоугольном пласте

Вообще говоря – необходимо рассматривать бесконечное число таких «мнимых» скважин (как будто они симметрично расположены во всем бесконечном пласте), но, как показывают расчеты – уже при рассмотрении 9 скважин (1 данная скважина и 8 скважин окружения) в бесконечном пласте, можно получить хорошее приближение. Однако необходимо проводить анализ чувствительности решения к количеству скважин окружения при решении данной конкретной задачи.

1.4.Неустановившийся режим

При анализе решения уравнения пьезопроводности, выделяют несколько режимов работы скважины. Неустановившийся (Transient), поздний неустановившийся (late transient), псевдоустановившийся (pseudo steady state) – их существует несколько типов, в

зависимости от того, где находится скважина, установившийся режимы (steady state).

Стоит отметить, что разделение на различные режимы – весьма условное.

15

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

При неустановившемся режиме скважина не чувствует границ, то есть динамика ее дебита (в модели постоянного давления) или забойного давления (в модели постоянного дебита) не отличается от таковой, если бы пласт был бесконечным. Математически это означает, что вне зависимости от граничных условий (на границах пласта), решения во время протекания неустановившегося режима совпадают. Это проиллюстрировано на рисунке ниже. На Рисунок 1.8 представлен пример динамики забойного давления в модели постоянного дебита, а также динамики дебита в модели постоянного давления для трех случаев – бесконечный пласт, пласт с поддержанием постоянного давления, а также пласт с отсутствием перетока на границе (о смысле введения безразмерных координат tDA ,

и есть неустановившийся режим.

16

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рисунок 1.8. Иллюстрация протекания неустановившегося режима в модели постоянногог дебита (слева) и в режиме постоянного давления (справа)

1.4.1. Аппроксимация решения на временах неустановившегося режима для модели постоянного дебита

Аналитическое решение уравнения пьезопроводности даже для самых простых случаев плоскорадиального притока в ограниченном пласте выглядит достаточно громоздко. Но если мы говорим об неустановившемся режиме, то как было выше показано, это решение не должно отличаться от решения для бесконечного пласта на временах протекания неустановившегося режима. Заметим, что решение для бесконечного пласта имеет относительно простой вид.

Как уже было сказано, наиболее распространены две модели работы скважины:

модель постоянного дебита и модель постоянного давления. Причем в литературе в основном описывается модель постоянного дебита. Решение для скважины, работающей с постоянным дебитом в бесконечном пласте, в случае плоскорадиального притока, легко получить, проинтегрировав соответствующее фундаментальное решение (1.13) [20], [1]:

где Ei z - интегральная показательная функция или интегральная экспонента.

Для данного решения имеется более удобная аппроксимация [20], [1]:

где 0.5772 - константа Эйлера-Маскерони.

Аппроксимация (1.32) - называется логарифмической аппроксимацией и имеет место при следующем условии на время:

17

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts