Материал: Маленькая шпаргалка по теормеху

37а 37. Система материальных точек

Система материальных точек — это совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны. Бывают свободные и несвободные системы. Если на движение точек системы не наложеF ны заранее заданные ограничения, не зависящие от закона движения, то система называется свободной. Несвободной называется такая система материальF ных точек, на движение которых наложены связи. БыF вают геометрические и кинематические системы.

Геометрические связи накладывают ограничения на координаты точек системы, а кинематические — на скорости точек системы. Условия, ограничивающие свободу движения материальных точек системы, выF ражаются некоторыми уравнениями — уравнениями связей. Если на систему материальных точек одноF временно наложены геометрические и кинематичеF ские связи, то общее число связей будет равно:

k = k1 + k2,

где k1 — число геометрических связей; k2 — число кинематических связей.

Связи, уравнения которых могут быть проинтегриF рованы, называются голономными. Связи, в дифF ференциальные уравнения которых явно входят скоF рости таким образом, что для этих уравнений не существует интегрирующего множителя, называются

неголономными или неинтегрируемыми. Различают связи неудерживающие и удерживающие. Связь называется удерживающей, если она ограничивает движение как в данном направлении, так и в протиF воположном. Такая связь выражается уравнениями.

39а 39. Центробежные моменты инерции

Различаются моменты инерции осевые, или акси$ альные, полярные, планарные и центробежные. Центробежные моменты инерции тела

Ixy =∫m xydm, Ixz =∫m xzdm, Iyz =∫m yzdm.

38а 38. Твердое тело. Моменты инерции твердого тела

Твердое тело — тело, имеющее равенство нулю главного вектора и главного момента поверхностF ных сил.

Момент инерции твердого тела — интеграл, расF пространенный по всей массе:

Ix =∫m r2dm.

Абсолютно твердое тело — это тело, состоящее из системы материальных точек, непрерывно заполF няющих некоторую часть пространства так, что расF стояние между любыми двумя его точками остается неизменным.

Теорема о моментах инерции твердого тела от$ носительно параллельных осей. Существует завиF симость между моментами инерции системы относиF тельно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Имеются две системы прямоугольF ных, взаимно параллельных осей координат OXYZ и CX′Y′Z′. Начало системы координат CX′Y′Z′ находитF ся в центре масс системы. Из определения момента инерции относительно оси имеем:

N

JOz =∑mk (xk2 +yk2 ), k=1

N

JOz/ =∑mk (xk′2 +yk′2 ), k=1

40а 40. Теорема о движении центра масс механической системы. Дифференциальные уравнения

движения механической системы

По теореме об изменении количества движения системы:

Центробежные моменты инерции зависят от направF ления координатных осей и от выбора начала коорF динат. Центробежные моменты инерции могут равF няться нулю и иметь любой знак (плюс или минус). Если центробежные моменты инерции равны нулю, то оси называют главными осями инерции тела в дан$ ной точке. Если эта точка находится в центре масс, то оси являются главными и центральными осями инерции.

Эллипсоид инерции. Выберем точку N, располоF женную от начала координат на расстоянии

ON = d = 1/(Iи).

Ax2 + By2 + Cz2 – 2Dxy – 2Eyz – 2Fzx = 1.

Это эллипсоид инерции, его оси симметрии ОX′, ОY′, OZ′ — главные оси инерции в точке О. Если начаF ло координат находится в центре инерции системы (тела), то эллипсоид инерции называется центральF ным, его оси симметрии — главными центральны$ ми осями инерции, а соответствующие моменты инерции — главными центральными моментами инерции.

dQ = ∑Fke, dt

однако количество движения системы можно вычисF лить по формуле: Q = Mvc, где vc — скорость центра масс; М — масса системы.

Теорема о движении центра масс формулируется так: центр масс системы движется так же, как и маF териальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние сиF лы, приложенные к рассматриваемой механической системе. Проецируя на прямоугольные декартовы оси координат, получаем дифференциальные уравнения движения центра масс:

где хc, уc, zc — координаты центра масс.

38б где mк — масса точки Мк, а хк, ук, zк и х′к, у′к, z′к — координаты этой точки относительно систем

координат OXYZ и CX′Y′Z′ соответственно. Если хс, ус, zс — координаты центра масс относиF

тельно системы координат OXYZ, то для взаимно паF раллельных осей координаты одной и той же точки Мк связаны соотношениями параллельного переноса

хк = х′к + хс; ук = у′к + ус; zк = z′к + zс. Подставим эти знаF чения координат в выражение момента инерции; посF

ле преобразований получим:

NN

JOz =∑mk (xk2 + yk2)+2x ∑mk xk′ +

NN

+2yC ∑mk yk′ +(xC2 + yC2 )∑mk

и JOz =JCz′ +Md2 .

Центр масс находится в начале этой системы коорF динат.

Величина x2 + y2 = d2, где d — расстояние между осяF ми OZ и OZ′.

Мы получили связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит чеF рез центр масс.

Теорема Штейнера или Гюйгенса—Штейнера.

Момент инерции системы относительно какойFлибо оси равен моменту инерции относительно параллельF ной оси, проходящей через центр масс, плюс произвеF дение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

40б 1. Если главный вектор внешних сил, дейстF вующих на систему, равен нулю, т. е.

Fke =0,

то из уравнения следует, что ускорение центра масс ас равно нулю, а значит, скорость центра масс vc являетF ся постоянной по модулю и направлению, т. е. центр масс движется прямолинейно и равномерно по инерF ции или находится в покое. Если, в частности, в наF чальный момент он находится в покое, то он покоится в течение всего времени, пока главный вектор внешF них сил равен нулю.

2. Если проекция, например на ось OX главного векF тора внешних сил, действующих на систему, равна нулю

Fkxe =0,

то проекция ускорения хс центра масс на эту ось равF на нулю, а значит, проекция скорости центра масс явF ляется постоянной величиной, т. е. vcx = хс = const. Пусть даны внешние и внутренние силы, действующие на систему, состоящую из N точек. Если к каждой точF ке системы приложить равнодействующую силу внешF них сил F ek, равнодействующую силу всех внутренF них сил F ik, то для любой kFой точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения:

37б Связь называется неудерживающей, если она ограничивает движение в данном направлении, но не ограничивает в противоположном. Различают

также связи стационарные и нестационарные. Если в уравнение связи время явно не входит, то связь называется стационарной, в противном же случае связь называется нестационарной. Внутренними

называются силы взаимодействия между материальF ными точками одной и той же системы и обозначаютF ся Ff. Внешними называются силы взаимодействия между материальными точками данной системы и друF гими физическими телами, не входящими в систему. Массой системы, которая состоит из n материальF ных точек, называется сумма масс точек системы

n

m=∑mi .

i =1

Центр масс системы материальных точек — это центр параллельных сил Fi = miw, сообщающих движеF ние точкам системы с одинаковым ускорением или поступательное движение неизменяемой системе. Координаты центра масс:

где mi — масса iFй точки системы.

39б Если в качестве координатных осей взять главF ные оси инерции, то уравнение эллипсоида приF

мет вид:

A′x′2 + B′y′2 + C′z′2 = 1.

Главные моменты инерции системы (тела) соответF ственно равны А′, В′, С′, а центробежные моменты инерции равны нулю:

Ix′ = A′, Iy ′ =B′, Iz′ =C′,

Iy′z′ =Iz′x′ =Ix′y′ =0.

Каждой точке О системы (тела) соответствует опреF деленный эллипсоид инерции. Если оси координат являются главными осями инерции, то

Для определения момента инерции относительно какойFлибо оси, проходящей через любую точку, для рассматриваемого тела необходимо иметь:

I +Ix cos2 α +Iy cos2 β +Iz cos2 γ.

Действие силы F на материальную точку в течение времени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом силы Fdt. Полный импульс силы F за время t, или импульс силы S, равен

Имеем точку переменной массы М. Применяя закон сохранения количества движения за промежуток вреF мени от t до t + dt, имеем:

Qt = Qt + dt.

S =∫0t Fdt.

Проекции импульса силы на прямоугольные оси коF ординат выражаются формулами:

Количество движения материальной точки q —

это вектор, равный произведению массы точки m на ее скорость v, т. е. q = mv; в физике его часто называют импульсом материальной точки.

Теорема об изменении количества движения точки. Дифференциальное уравнение движения маF териальной точки под действием силы F можно предF ставить в следующей векторной форме:

m dv =F. dt

Так как масса точки m принята постоянной, то ее можно внести под знак производной.

43а 43. Моменты количества движения материальной точки относительно

центра и относительно оси

Моментом количества движения точки относиF тельно центра О называется величина, равная векторF ному произведению радиусаFвектора r материальной точки, проведенного из этого центра, на количество ее движения:

k0 = r × q = r × х mv.

Соотношение между моментом количества движеF ния (кинетическим моментом) и моментом силы усF танавливается на основании теоремы об изменении момента количества движения.

Теорема. Производная по времени от момента коF личества движения материальной точки относительно неподвижного центра О (или оси) равняется моменту МО силы F, приложенной к точке, относительно того же центра О (или оси).

Законы сохранения момента количества движения материальной точки.

1.Если момент силы относительно неподвижного центра равен нулю, то момент количества движения точки сохраняется постоянным.

2.Если момент силы относительно некоторой оси равен нулю, то момент количества движения точки отF носительно оси будет постоянным. При движении маF териальной точки под действием центральной силы

еерадиусFвектор r описывает площадь, которая изF меняется пропорционально площади (центральной наF зывается сила, линия действия которой проходит чеF рез некоторый неподвижный центр О).

Учитываем только взаимодействие точки переменF ной массы с отделившейся от нее частицей массы d′M за время dt и пренебрегаем действием на точку и эту частицу ранее отделившихся частиц. Получаем Qt = Mv, так как в момент t имеется одна точка массой М, двиF жущаяся со скоростью v относительно системы коорF динат OXYZ. В момент t + dt имеются точка массой M – d′M, скорость которой v + dv2, и отделившаяся чаF стица массой d′M, скорость которой u относительно той же системы координат OXYZ.

Qt+dt = (M – d′M)(v + dv2) + ud′M.

dv = (F/M)dt + (u – v)dM/M.

После умножения обеих частей этого уравнения на массу точки М и деления на dt получаем следующее дифF ференциальное уравнение движения точки переменной массы в векторной форме: Mdv/dt = F + (u – v)dM/dt. Выражение называют дифференциальным уравне$ нием Мещерского (получено впервые в 1897 г.).

Дифференциальные уравнения движения точки переменной массы имеют такой же вид, как и для точки постоянной массы, только кроме приложен$ ных к точке сил действует дополнительно реактив$

44а 44. Работа. Теоремы о работе силы

Для характеристики действия силы на материальF ную точку на протяжении некоторого пути вводится мера этого действия, называемая работой силы. РаF бота A силы F, имеющей постоянную величину и наF правление на прямолинейном направлении u, опреF деляется как скалярное произведение векторов силы

иперемещения A = Fu.

Из вышеприведенного определения следует, что раF

бота является мерой действия силы, которая является причиной движения. Еще одной мерой движения явF ляется кинетическая энергия, определяемая формуF лой T = 1/2mv2, где через m и v обозначены соответF ственно масса и величина скорости.

Пусть материальная точка M, находящаяся под дейF ствием силы F, совершает элементарное перемещеF ние dr. Тогда элементарной работой силы на этом пеF ремещении называется скалярное произведение силы на перемещение, т. е. величина d′A = Fdr. Здесь симF вол d′ употребляется с целью отличить его от d, так как работа вообще не является полным дифференциалом какойFнибудь функции координат.

Работа силы на конечном пути M1M2 определяется как сумма элементарных работ на отдельных бескоF нечно малых перемещениях, т. е. интегралом

A1,2 =∫MM2 Fdr.

1

Так как работа силы на конечном пути выражается инF тегралом, то из геометрических соображений ее можF но представить как площадь под графиком кривой M1M2. Интеграл работы определяет циркуляцию векF

42б ная сила, обусловленная изменением массы точки.

Первая задача Циолковского. Пусть точка переF менной массы или ракета движется прямолинейно

втак называемом, по терминологии Циолковского, своF бодном пространстве под действием только одной реактивной силы. Считаем, что относительная скоF рость vr отделения частиц постоянна и направлена

всторону, противоположную скорости v движения точF ки переменной массы. Тогда, проецируясь на ось OX, направленную по скорости движения точки, диффеF ренциальное уравнение прямолинейного движения точки переменной массы принимает вид:

Mdv/dt = –dMvr/dt.

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

где v0 — начальная скорость, направленная по реакF тивной силе; М0 — начальная масса точки.

Выполняя интегрирование, получаем v = v0 + + vrln(M/M0). Вводя число Циолковского Z = –m/Mp, получаем формулу Циолковского: v = v0 + vrln(1 + Z). Из формулы Циолковского следует, что скорость в кон$

це горения не зависит от закона горения, т. е. за$ кона изменения массы.

44б тора силы F по дуге M1M2, т. е. работа силы на криволинейном пути равна циркуляции силы по

этому пути.

Отметим некоторые свойства, непосредственно слеF дующие из определения работы как скалярного произF ведения силы и перемещения:

1)работа силы F, имеющей проекции Fx, Fy, Fz на оси OXYZ, на перемещении u с проекциями ux, uy, uz на те же оси равна:

А= Fxux + Fyuy + Fzuz;

2)работа равнодействующей нескольких сил, прилоF женных к движущейся точке, равна сумме работ слагаемых сил на общем для них перемещении точF ки приложения сил. Если к точке, совершающей

перемещение u, приложены силы F1, F2, F3, … с равF нодействующей R, то работа равнодействующей равна:

А= Ru = (F1 + F2 + F3 + …)u =

=F1u + F2u + F3u + … = А1 + А2 + А3 + …;

3)работа силы на совокупности последовательных перемещений равна работе силы на результируюF щем перемещении. Доказательство аналогично преF дыдущему.

41б Тогда

d (mv )=F. dt

Первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

Если обе части умножить на t, то получим другую форму этой же теоремы — теорему импульсов в дифF ференциальной форме:

d(mv )=Fdt,

т. е. дифференциал от количества движения точки раF вен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Интегрируя обе части в пределах от нуля до t, имеем mv – mv0 = S, где v — скорость точки в момент t; v0 — скорость при t = 0; S — импульс силы за время t.

Это выражение часто называют теоремой импульF сов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какойFлибо промежуF ток времени равно импульсу силы за тот же промежуF ток времени. В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:

mvx – mvOx = Sx; mvy – mvOy = Sy; mvz – mvOz = Sz.

43б Кинетическим моментом КО материальной точки, или главным моментом количества двиF жения точек системы относительно центра, называетF ся векторная сумма моментов количеств движения

точек системы относительно того же центра:

где kОi — момент количества движения iFй точки сисF темы;

mivi — количество движения iFй точки;

ri — радиусFвектор, соединяющий неподвижный центр О с iFй точкой системы.

Проектируя вектор на координатные оси х, у, z, найF дем выражение для определения кинетических моF ментов относительно координатных осей в виде:

Kx =∑mi (yi zi −zi yi ),

Ky =∑mi (zi xi −xi zi ),

Kz =∑mi (xi yi −yi xi ),

где xi, yi, zi — координаты iFй точки системы;

mi — момент количества движения относительно оси вращения:

Kx =ω∫r 2dm,

где интегрирование распространено на массу всего тела.

Вычислим работу силы тяжести отдельной материF альной точки. Пусть точка М веса G переместилась по некоторой траектории L из точки М1 в точку М2. ЭлеменF тарная работа на перемещении dr будет равна

dA = Gxdx + Gydy + Gzdz,

но при выбранном направлении осей Gx = 0, Gy = 0, Gz = –G. Полная работа силы тяжести на конечном участке траектории М1М2 будет равна

А = G(z1 – z2).

Работа силы тяжести материальной точки равна произведению веса на разность высот начально$ го и конечного положений точки, причем она по$ ложительна, если конечное положение ниже на$ чального, и отрицательна, если наоборот.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектоF рии, по которой точка переместилась из начального положения в конечное. Это свойство силы тяжести окаF зывается характерным для широкого класса других сил, которые именуются потенциальными или консерF вативными. Отметим также, что работа силы тяжести выражается полным дифференциалом некоторой функF ции координат и именно поэтому не зависит от формы траектории.

Рассмотрим работу силы упругой пружины, коэфF фициент жесткости обозначим через с. Вычислим, каF кую работу произведут упругие силы при растяжении конца пружины на длину f из нерастянутого состояния.

46а 46. Применение теоремы об изменении кинетической энергии

материальной точки

Пусть силы F1, F2, F3, …, Fn приложены к твердому телу в точках M1, M2, M3, … Mn; выбирая произвольную точку тела О за полюс и обозначая радиусFвектор iFй точки тела за ОМi = ri′ получим dri = dr0 + θxri′, т. е. элеF ментарное перемещение dri точки Мi равно геометF рической сумме перемещения полюса dr0 и перемеF щения поворота θxri′ вокруг полюса (θ — бесконечно малый вектор поворота). Элементарная работа силы Fi будет:

d′Аi = Fi dri = Fi dr0 + Fi (θxri′).

Второе слагаемое согласно свойству скалярноFвекF торного произведения может быть написано в виде:

Fi(θxri′) = θ(ri′x Fi)=θ momO Fi.

Проекция момента силы относительно точки на каF куюFлибо ось, проходящую через точку, равна моменту силы относительно этой оси, то предыдущее выражеF ние представляет собой произведение бесконечF но малого угла поворота dϕ на момент силы относиF тельно оси L, параллельной мгновенной оси поворота и проходящей через полюс О. Находим d′Аi = Fi dr0 +

+momL Fidϕ.

Элементарная работа всех сил будет:

d′A=dr0 ∑Fi +θ∑momOFi =dr0 ∑Fi +d ϕ∑momLFi.

47а 47. Кинетическая энергия твердого тела

В случае поступательного движения твердого тела, обозначая скорость через v, одинаковую для всех тоF чек тела, найдем:

T =1/ 2∑mi vi 2 =1/ 2v 2 ∑тi =1/ 2Mv 2,

где М — масса тела.

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси OZ, обозначая угловую скорость через ω и расстояние элеF ментарной массы тi от оси вращения через hi, имеем vi = ωhi, и выражение для кинетической энергии будет:

T =1/ 2∑тi (ωhi )2 =1/ 2Jx ω2.

48а 48. Силовое поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция.

Потенциальная энергия

Силовое поле, силы которого не зависят от времеF ни, называется стационарным. Силовым полем наF зывается физическое пространство, удовлетворяющее условию, при котором на точки механической систеF мы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от поF ложения точек и времени (но не от их скоростей). ПриF мерами силового поля могут служить поле силы тяжеF сти, электростатическое поле, поле силы упругости. Стационарное силовое поле называют потенциальF ным в том случае, если существует такая функция, коF торая однозначно зависит от координат точек систеF мы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются следующим обF разом:

T =1/ 2Mv 2 + 1/ 2Jz(C) ω2,

где Jz(С) — момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проF ходящей через центр инерции.

Теорема об изменении кинетической энергии маF териальной точки легко распространяется на случай системы материальных точек: dTi = d′Аi — суммируя эти уравнения для всех точек, включенных в систему, и зная, что кинетическая энергия системы есть сумма кинетических энергий всех ее точек, получим:

dT =d ∑miv i 2 /2 =∑d′Ai.

Если силовое поле является потенциальным, элеменF тарная работа сил в этом поле численно равняется полному дифференциалу силовой функции. Работа сил, которые действуют на точки механической систеF мы в потенциальном поле, равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях системы и не зависит от формы траектории точек этой системы. Работа сил, которые действуют на точки системы в потенциальном поле на всяком замкнутом перемещении (на перемещении, при котором начальF