Материал: Маленькая шпаргалка по теормеху

46б Кинетической энергией системы материальF ных точек называется сумма кинетических энерF

гий всех входящих в систему точек:

T =1/ 2∑mi vi 2.

Кинетическая энергия согласно этому определению является существенно положительной величиной, обF ращающейся в ноль лишь в том случае, когда скороF сти всех входящих в систему точек обращаются в нуль,

т.е. в случае покоя системы.

Теорема. Кинетическая энергия системы матеF

риальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре инерции и движущейся со скоростью центра инерции, и кинетической энергии системы в ее отF носительном движении по отношению к поступательF но движущейся системе отсчета с началом в центре инерции:

T= 1/2MvС2 + T′.

М— масса всей системы, vС — скорость центра ее инерции; кинетическая энергия системы в ее относиF тельном движении равна:

T =1/ 2∑mi vi 2,

45б При удлинении пружины на f проекция силы упругости на ось x равна (–сx), получим

dА = Fxdx = – сxdx = d(– сx2/2).

Полная работа сил упругости при удлинении пружины на f будет равна А = – сf2/2. Работа упругой силы окаF залась пропорциональной квадрату перемещения. Как и в случае силы тяжести, работа сил упругости не зависит от траектории, а только от начального и коF нечного положений точки.

Теорема об изменении кинетической энергии свяF зывает изменение кинетической энергии с работой сил, вызывающих это изменение. Для вывода этой теоF ремы умножим обе части основного дифференциальF ного уравнения динамики точки скалярно на элеменF тарное приращение точки dr, получим (mdv/dt)dr = Fdr. Замечая, что dr = vdt, получим соотношение интереF сующей нас теоремы dT = d′А: приращение кинетичеF ской энергии материальной точки на элементарном участке пути равно элементарной работе приложенF ных к точке сил на этом участке пути.

где величина vi (r) — величина скорости массы mi по отношению к системе, поступательно движущейся с центром инерции.

48б ные и конечные положения для всех точек совмеF щены), равна нулю, так как в рассматриваемом случае можно записать U2 = U1. Потенциальная энерF гия системы в любом данном ее положении равна сумме работ сил потенциального поля, приложенных к ее точкам на перемещении системы из данного поF ложения в нулевое. Рассматриваемая сумма работ зависит только от того, из какого положения систеF ма перемещается в выбранное нулевое положение; потенциальная энергия зависит только от положения системы. Работа сил поля, которые приложены к точF кам системы, на ее перемещении из первого положеF ния в нулевое равна потенциальной энергии системы

впервом положении. Аналогично работа сил поля на перемещении системы из второго положения в нулеF вое равна потенциальной энергии системы во втором положении. Работа сил, приложенных к точкам мехаF нической системы, на любом ее перемещении равна разности значений потенциальной энергии в начальF ном и конечном положениях системы.

Проекции на координатные оси силы, действующей

впотенциальном поле на каждую точку Mi механичеF ской системы, равны взятым со знаком минус частF ным производным от потенциальной энергии системы по соответствующим координатам этой точки. В выF ражение потенциальной энергии можно добавить люF бую дополнительную постоянную величину, в резульF тате от этого частные производные от потенциальной энергии не изменятся.

i

представляет сумму элементарных работ сил, дейстF вующих на рассматриваемом элементарном перемеF щении на каждую точку системы.

∑d′A

i

сумма двух слагаемых: элементарной работы внешF них — обозначим ее через d′А, и элементарной рабоF ты d′А′ внутренних сил.

dT = d′А + d′А′,

т. е. приращение кинетической энергии системы маF териальных точек на элементарном перемещении равно сумме элементарных работ внешних и внутренF них сил, действовавших на этом участке пути.

Интегрируя между пределами, соответствующими двум положениям системы — начальному 1 и конечF ному 2, — и обозначая через T1 и T2 кинетические энергии в этих положениях, получим теорему об изF менении кинетической энергии системы в интегральF ной форме:

При движении механической системы под дейстF вием сил, имеющих потенциал, изменения кинетичеF ской энергии системы определяются по формулам:

T1 +П1 =T2 +П2 , Т +П =const.

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называют полной механической энергией системы. При движении механической системы в стаF ционарном потенциальном поле полная механическая энергия системы при движении остается неизменной. Расход механической энергии движущейся механичеF ской системы обычно означает превращение ее в тепF лоту, электричество, звук или свет, а приток мехаF нической энергии связан с обратным процессом превращения различных видов энергии в механичеF скую энергию. Если на материальную точку действует центральная сила P, то момент количества движения этой точки L0 относительно центра силы O является постоянным и точка движется в плоскости l, которая перпендикулярна L0, L0 является постоянной величиF ной или L0 = const.

r

Рассмотрим векторное произведение: r × dr. ПлоF щадь треугольника OMM′, который построен на вектоF

50а 50. Динамика поступательного и вращательного движения

твердого тела

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и его центр масс. ДифF ференциальные уравнения движения центра масс теF ла являются дифференциальными уравнениями постуF пательного движения твердого тела. Запишем в виде формулы:

mx&&c =∑XiE = X E , my&&c =∑Yi E =Y E , mz&&c =∑ZiE =Z E ,

где m — масса тела;

xc, yc, zc — координаты центра масс тела. Заметим, что по дифференциальным уравнениям поF

ступательного движения можно решать два основных типа задач на поступательное движение твердого тела:

1)по заданному движению твердого тела определять главный вектор приложенных к нему внешних сил;

2)по заданным внешним силам, действующим на теF ло, и начальным условиям движения находить киF нематические уравнения движения тела, если изF вестно, что оно движется поступательно.

Изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения отдельной материальF ной точки, которая имеет массу данного тела. Введем в рассмотрение твердое тело, которое вращается воF круг неподвижной оси Z с угловой скоростью ω.

Физическим маятником называется твердое тело, которое имеет неподвижную горизонтальную ось враF щения, не проходящую через его центр тяжести, и наF ходящееся под действием только силы тяжести. Ось вращения физического маятника называется осью привеса маятника. Примем ось привеса маятника за ось X. Координатную плоскость YOZ проведем через центр тяжести C маятника и совместим эту плоскость с плоскостью чертежа.

На маятник, который отклонен от положения покоя, действуют внешние силы: сила тяжести G и составF ляющие реакции цилиндрического шарнира Y0 и Z0. Трением в шарнире в рассматриваемом случае можно пренебречь. Реактивные силы не имеют моментов относительно оси привеса. При повороте маятника на угол ϕ в положительном направлении или, другими словами, против вращения часовой стрелки, сила G стремится вращать плоскость ZOY по вращению часоF вой стрелки и противоположно. Следовательно, знак момента силы G относительно оси X противоположен знаку угла поворота маятника ϕ и знаку sin ϕ.

Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси для маятника можно записать в виF де следующего выражения:

Jx ϕ&&=−Gd sinϕ,

где Jx — момент инерции маятника относительно оси привеса;

G — вес маятника;

52а 52. Динамика плоского движения твердого тела

При плоскопараллельном движении точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неF подвижной плоскости. Положение тела будет опреF делятся положением центром масс C, т. е. радиусF вектором rc и углом ϕ между осями CX′ и CX′′.

Кинетический момент определяется равенством

G0 = ∑(mυ × mυvυ),

так как rυ = rc + r′υ, где r′ — радиусFвектор любой точF ки системы по отношению к осям CX′Y′, то

G0 = rc ×Mvc + ∑(r′υ×mυv′υ),

где vυ и v′υ — скорости центра масс по отношению к осям OXY и CX′Y′ соответственно.

Кинетический момент системы относительно какоF гоFнибудь неподвижного центра равен моменту отноF сительно этого центра количества движения центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масF са всей системы, сложенному с кинетическим моменF том системы относительно центра масс в ее двиF жении по отношению к подвижной системе отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступаF тельно.

50б Требуется определить кинетический момент этого тела относительно оси его вращения.

Момент количества движения точки Mi тела относиF тельно оси Z:

Liz =miri2ω.

Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно неподвижной оси его вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела. Уравнение

Jz ϕ&&=∑MizE

представляет собой дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. ПроF ведем сравнительную характеристику уравнения с дифF ференциальным уравнением поступательного прямоF линейного движения твердого тела:

mxc =∑XiE .

Момент инерции является характеристикой инертF ности тела при вращательном движении. Если вращеF ние тела происходит в одном направлении, то это направление считают положительным. В этом случае моменты движущих сил положительны, моменты сил сопротивления отрицательны, а главный момент внешF них сил может иметь тот или другой знак.

52б По теореме о движении центра масс имеем:

Md2 rc / dt 2 =∑Fi .

Теорема моментов относительно центра масс дает уравнение:

Jcd2 ϕ / dt 2 =∑momcFi .

Применим теорему моментов относительно оси OZ основной неподвижной системы:

Goz =M(xc(dyc /dt) −yc(dxc /dt )) + Jcd ϕ/dt.

В результате теорема моментов дает:

d/ dt[M(xc(dyc /dt ) − c(dxc /dt )) + Jcd ϕ/dt ] =

=∑(xiFiy − yiFix ).

Свободное твердое тело может совершать плоскоF параллельное движение только по отношению к плосF кости OXY; при этом необходимо, чтобы для дейстF вующих на тело внешних сил выполнялось условие

∑Fi =0, ∑momx′Fi =0, ∑mom y′Fi =0,

а начальные скорости всех точек должны быть равF ны нулю или параллельны плоскости OXY.

rr

49б рах r и dr, равна половине модуля этого векF торного произведения:

Площадь треугольника OMM′ представляетr собой площадь, описанную радиусFвектором r движущейF ся точки в течение некоторого промежутка времени dt. Чтобы охарактеризовать быстроту изменения этой площади с течением времени, введем новую величиF ну, численно равную dF/dt, называемую секторной скоростью: dF/dt = C = const.Теперь мы можем опреF делить с точностью до величины первого порядка маF лости площадь треугольника OMM′ как площадь круF гового сектора:

dF = 1/2r2dϕ. dF/dt = const.

Из выше полученных равенств имеем:

F = Ct + F0.

Такая зависимость называется законом площадей, который формулируется так: при движении точки под действием центральной силы площадь, описываемая радиусFвектором точки, изменяется пропорциональF но времени. Чтобы получить дифференциальное уравF нение траектории материальной точки, движущейся под действием центральной силы, воспользуемся поF лярными координатами в плоскости l. Cделаем доF полнительные построения: проведем полярную ось x через центр силы O и начальное положение точки M0. В результате начальные значения координат будут OM0 = r0 и ϕ0 = 0.

51б d — расстояние от центра тяжести маятника до оси привеса.

Уравнение такого вида

ϕ&&+(Gd / Jx )sinϕ=0

представляет собой дифференциальное уравнение каF чаний физического маятника. Рассматриваемое уравF нение отличается от дифференциального уравнения качаний математического маятника только значением постоянного коэффициента при sinϕ. Требуется опреF делить длину математического маятника, период каF чаний которого равен периоду качаний данного физиF ческого маятника. Формула следующего вида

l =Jx g (Gd )=Jx /(md )

определяет приведенную длину физического маятF ника, т. е. длину такого математического маятника, период качаний которого равен периоду качаний данF ного физического маятника. Следующим шагом, отлоF жив по прямой OC отрезок OO1 = l, получим точку O1, называемую центром качания маятника. Ось, про$

ходящую через центр качания параллельно оси привеса, будем называть осью качаний маятника.

Для этого воспользуемся формулой для установления особых свойств оси привеса и оси качаний физичеF ского маятника. В связи с этим предположим, что маятF ник качается вокруг оси привеса OX.

Гироскопом (или волчком) обычно называют быстF ро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело вращения, ось которого может изменять свое положение в пространстве.

Всякое движение свободного твердого тела можF но рассматривать как совокупность двух движений: поступательного и движения (вращательного) около неподвижной точки (теорема Шаля). Твердое тело

содной неподвижной точкой имеет 3 степени своF боды. Классическими параметрами являются три эйF леровых угла: ϕ, ψ, θ. Если они заданы для данного момента, то задано и положение тела. Если же ϕ, ψ, θ известны в функции времени t, то известF но будет положение тела в каждый момент времени, а следовательно, будет известно движение твердоF го тела.

Рассмотрим с кинематической точки зрения одно из движений твердого тела с неподвижной точкой О, так называемую регулярную прецессию, т. е. таF кое сложное движение тела, когда тело вращается

спостоянной по численной величине угловой скоF

ростью ω1 вокруг оси Z, связанной с телом, а эта ось поворачивается с постоянной угловой скоростью ω2 вокруг другой неподвижной оси ζ, составляя с непоF движной осью ζ один и тот же угол. Ось Z называют осью собственного вращения, а ось ζ — осью преF цессии.

Прецессия называется прямой, если угол между

угловой скоростью собственного вращения ω1 и угF ловой скоростью прецессии ω2 острый, и обратной, если угол между ω1 и ω2 тупой.

Сущность явления удара заключается в том, что при ударе происходит конечное приращение скорости за весьма малый промежуток времени. Обозначая средF нее значение ударной силы F в интервале τ через F*, поF лучим (по теореме о среднем значении) mv – mv0 = F*τ. Поскольку приращение количества движения остаетF ся величиной конечной, то удобней оперировать не с ударными силами, а с их импульсами S, так что

S =∫Fdt.

Следовательно, mv – mv0 = S, причем время удара τ считается величиной бесконечно малой. Также переF мещение точки за время удара будет бесконечно мало.

Обозначим приращение количества движения mv – mv0, которое может быть названо «приобретенным коF личеством движения», через mv; тогда mv = S.

Результат можно сформулировать так: количество движения, приобретенное во время удара, равно ударF ному импульсу. Это соотношение, эквивалентное уравF нению Ньютона, является основным уравнением теоF рии удара.

∑ (mυvυ)=∑Sυвн или Q ≡Δ∑mυvυ,

где Q — количество движения системы.

Количество движения, приобретенное системой за время удара, равно сумме всех внешних ударных имF пульсов, приложенных к системе.

55а 55. Потеря кинетической энергии при ударе двух тел

Изменение за время удара кинетического момен$ та системы, взятого относительно некоторого цент$ ра, равно сумме моментов, взятых относительно того же центра, всех внешних ударных импульсов.

Докажем теорему Карно, позволяющую определить изменение кинетической энергии в тех случаях, когда система испытывает удар благодаря тому, что на нее мгновенно накладывается или мгновенно снимается абсолютно неупругая идеальная связь. Это значит, что связь, наложенная во время удара, будет продолжать существовать и после удара, а связь, снятая во вреF мя удара, будет отсутствовать и после удара. В обоих случаях каждой точке системы с массой mυ будет справедлива формула:

mυv′υ−mυvυ=Sυ,

где vυ и v′υ — скорости соответствующей точки в наF чале и в конце удара;

Sυ — ударный импульс реакций, приложенных к этой же точке.

Найдем изменение кинетической энергии для кажF дого случая.

1. Связи мгновенно налагаются.

Умножая обе части равенства на v′υ и произведя суммирование по индексу υ (1, 2, … n) для всех точек системы, получим:

∑mυv′2υ−∑mυv ′υvυ =0,

поскольку ∑v′υSυ=0,

56а 56. Общее уравнение динамики. Принцип возможных перемещений

в случае движения системы. Примеры применения общего уравнения динамики

Уравнение Даламбера—Лагранжа в обобщенных координатах:

∑(Qi −(d / dt (∂T (∂qi /∂t ))−∂T /∂qi )).

В этом уравнении все вариации обобщенных коорF динат δqi произвольны, а потому, полагая все, кроF ме одной, равными нулю, получим, что выражение во внешних скобках равно нулю.

(d / dt (∂T / (∂qi /∂t ))−∂T /∂qi )= Qi,

(i =1, 2, ..., n).

Эта система есть система обыкновенных диффеF ренциальных уравнений второго порядка относительF но обобщенных координат.

Составим, пользуясь уравнениями Лагранжа, дифF ференциальное уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z. В данном случае тело имеет одну степень свободы. В качестF ве обобщенной координаты выберем угол ϕ (q1 = ϕ). Тогда уравнение Лагранжа примет вид:

(d / dt (∂T / (∂ϕ / ∂t )) − ∂T / ∂ϕ)= Q1.

54б Рассмотрим точку массы m, на которую налоF жены связи, когда она движется со скоростью v и встречает на своем пути неподвижную поверхность.

Благодаря мгновенному наложению связи точка исF пытывает удар и мгновенно изменяет свою скорость. Обозначим скорость точки в конце удара через v′. ПоF лучим:

mv′ – mv = S,

где S — ударный импульс ударных реакций связей. Разложим скорости v и v' по направлениям нормали

и касательной к поверхности в точке удара А. Тогда

v = vn + vτ, v′ = v′n + v′τ.

Будем предполагать связь идеальной. Есть три возF можных случая:

1)v′ = 0. Этот случай называют абсолютно неупру$ гим ударом точки о связь, и саму связь называют абсолютно неупругой;

2)v′ = –v. Этот случай называют абсолютно упругим ударом, а связь абсолютно упругой;

3)v′ = –kv, где 0 < k < 1 (коэффициент упругости). Этот случай называют несовершенно упругим ударом.

Ударный импульс можно найти только для одного из тел (т. к. S1 = –S2).

53б Так как скорость точки твердого тела есть v = rxω, то кинетический момент G0 твердого теF

ла относительно неподвижной точки O будет:

Спроектируем обе части этого равенства на поF движные оси. Проекция на ось X будет:

Gx = p∑mi (yi2 +zi2 )−q∑mi xi yi −r ∑mi xi zi ,

где p, q, r — проекции угловой скорости на оси поF движной системы координат.

Вводя компоненты симметричного тензора инерции относительно неподвижной точки и повторяя вывод для осей Y и Z, получим окончательно:

Gx = pJxx – qJxy – rJxz,

Gy = –pJyx + qJyy – rJyz,

Gz = –pJzx – qJzy + rJzz.

Формулы показывают, что проекции G являются лиF нейными функциями проекций ω, коэффициентами коF торых являются компоненты тензора инерции.

56б Кинетическая энергия тела

T=1/2Jz (dϕ/ dt )2

и(∂T / (∂ϕ/∂t ))= Jzdϕ/ dt, ∂T /∂ϕ= 0.

Сообщая телу виртуальное перемещение — повоF рот на угол δϕ,

δA =(∑momzFi )δϕ =Mzδϕ.

Подставляя найденные величины, получим:

Jz (d2ϕ / dt2 )=Mz.

Это уравнение представляет собой дифференциF альное уравнение движения твердого тела, вращающеF гося вокруг неподвижной оси.

Принцип виртуальных перемещений можно сфорF мулировать так: положение равновесия системы отF личается от смежных положений, совместимых со связями, тем, что только для положения равновесия сумма элементарных работ активных сил, действуюF щих на систему, для всяких виртуальных перемещеF ний равна нулю.

∑Fi δri =0.

Принцип Даламбера—Лагранжа: во всякий момент времени истинное движение отличается от кинемаF тически возможного тем, что только для истинного движения сумма элементарных работ сил активных и сил инерции при всяких виртуальных перемещениях системы равна нулю.

55б перемещение точек согласно во время удара, и связи — идеальные. Изменение кинетической

энергии за время удара будет:

T′−T ≡1/2∑mυv′2υ −1/2∑mυv 2υ.

Приведя подобные члены, найдем:

T′−T =1/2∑mυ(vυ −v′υ)2.

Так как правая часть в равенстве отрицательна, то Т′ после удара меньше, чем до удара Т. В результате наF ходим

T′−T =1/2∑mυ(vυ −v′υ)2,

т. е. кинетическая энергия, потерянная системой

при мгновенном наложении на нее абсолютно не$ упругих связей, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее точки дви$ гались с потерянными скоростями.

2. Мгновенное снятие связей. В этом случае умноF жим обе части равенства скалярно не на вектор v′υ,

ана вектор vυ.

Проведя в этом случае те же рассуждения, что и раF

ньше, получим следующее выражение для изменения кинетической энергии системы при ударе:

T′−T =1/2∑mυ(vυ −v′υ)2.

Кинетическая энергия, приобретенная системой при внезапном снятии связей, равна той кинетиче$ ской энергии, которую имела бы система, если бы ее точки двигались с потерянными скоростями.