Материал: Маленькая шпаргалка по теормеху

26б Проведем сферическую поверхность с центF ром в неподвижной точке О и отметим положеF ния двух точек тела А1 и В1 на этой поверхности, котоF

рые после перемещения тела займут положения А2

иВ2 на той же поверхности.

Затем проведем через эти точки дуги больших круF

гов А1В1 и А2В2, тогда положение тела в некоторый момент t1 определится точками А1 и В1, т. е. дугой А1В1, а его положение в момент t2 — той же дугой в новом положении А2В2. После этого проведем дуги больших кругов А1А2 и В1В2. Разделим эти дуги точками D и Е пополам и проведем из этих точек дуги больших круF гов, перпендикулярные дугам А1А2 и В1В2, продолжив их до пересечения в точке С. Затем соединим точку С поверхности с ее центром О и покажем, что тело можF но переместить из первого положения во второе поF воротом вокруг этой прямой. Соединим точку С с точF

ками А1, В1, А2, В2 дугами больших кругов А1С, В1С, А2С, В2С. Получившиеся сферические треугольники

А1СА2 и В1СВ2 равны по равенству трех сторон А1С = = А2С и В1С = В2С, как стороны равнобедренных сфеF рических треугольников А1СА2 и В1СВ2, а А1В1 = А2В2, как два положения одной и той же дуги. Из равенства треугольников вытекает А2СВ2 = А1СВ1. При этом угол сферического треугольника определяется углом между касательными, проведенными в вершине угла к дугам, образующим этот угол. Прибавляя к обеим частям равенства А1СВ2, получим А1СА2 = В1СВ2 = α. Это означает, что сферический отрезок А1В1 можно переместить в положение А2В2 поворотом вокруг неF подвижной оси ОС.

28б Следствие 1. В каждый момент времени проF екции скоростей любых 2Fх точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны межF

ду собой.

Следствие 2. Скорости 3Fх точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, полностью определяют скорость любой точки тела.

Следствие 3. Если векторы скоростей 3Fх точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, в некотоF рый момент времени равны, то тело совершает мгноF венно поступательное движение.

Следствие 4. Если в данный момент времени скоF рости 2Fх точек тела равны нулю, то тело либо нахоF дится в мгновенном покое, либо совершает мгновенF ное вращение вокруг прямой, проходящей через эти точки.

Следствие 5. Если скорость некоторой точки тела

вданный момент времени равна нулю, то тело нахоF дится либо в мгновенном покое, либо в мгновенном вращении вокруг оси, проходящей через эту точку.

Следствие 6. Мгновенное движение твердого тела

всамом общем случае разлагается на два движения: поступательное со скоростью, равной скорости произF вольного полюса, и вращательное вокруг оси, проходяF щей через этот полюс.

Теорема. Ускорение точки твердого тела в общем случае его движения складывается из трех составF ляющих:

1) поступательного ускорения;

2) вращательного ускорения вокруг полюса;

3) осестремительного ускорения.

25б Центростремительное ускорение точки В в ее вращательном движении вокруг полюса А направF лено по оси шатуна от точки В к точке А, а его модуль

равен:

wABц = OA × ω2AB = АВ(ab / АВ)2 = (ab)2 / АВ.

Отложив в точке В ускорение полюса wA и приложив к его концу центростремительное ускорение точки В во вращательном движении вокруг полюса А, направF ленное параллельно ВА от В к А, проводят из конца wАВц прямую, перпендикулярную ВА, т. е. прямую, паF раллельную вращательному ускорению wABВ.

Точка пересечения этой прямой с прямой, по котоF рой направлено ускорение ползунка В, определит неF достающую вершину многоугольника ускорений, блаF годаря чему можно будет найти графически модули ускорений wB и wABВ.

Так как wABВ = AB × εAB, то, определив wABВ, найдем модуль углового ускорения звена АВ.

Отложив найденное ускорение wABВ из точки В, можF но установить, что его направление по отношению к полюсу А укажет направление углового ускорения шатуна εAB. Если направления εAB и wAB противоположF ны, то шатун в данный момент вращается замедленно.

Когда кривошип и шатун находятся на одной пряF мой, то мгновенный центр скоростей шатуна РАВ совF падает с точкой В, план скоростей шатуна АВ получает вид отрезка прямой, поскольку направления ускореF ний wA и wАВц совпадают.

27б Модуль вращательного ускорения:

WEB =εr sin(ε, r) = hE ε,

где hЕ = МК1 — расстояние от точки М до оси углового ускорения Е.

Вектор центростремительного ускорения

ωΩос = ω × v

имеет направление, перпендикулярное векторам углоF вой скорости ω и линейной скорости точки v.

Модуль осестремительного ускорения:

ωΩoc = wv sin(w, v) = wv = hΩ ε,

где hΩ = MK2 — расстояние от точки M до мгновенной оси Ω.

Модуль ускорения:

w= (wEB )2 +(wΩoc )2 +2wEBwΩoc cos(wEB, wocΩ ) =

=ε2hE2 + hΩ2 ω4 +2hE hΩεω2 cos(wEB, wΩoc).

Из этого выражения можно получить формулу усF корения точки тела, вращающегося вокруг неподвижF ной оси:

w =R ε2 +ω4 ,

где R = hE = hΩ.

29а 29. Составное движение точки

Движение точки М относительно неподвижной систеF мы координат называется абсолютным, а по отношеF нию к подвижной системе координат — относитель$ ным. Скорости и ускорения точки, рассматриваемые по отношению к указанным системам, соответственно называются абсолютными и относительными. ДвиF жение подвижной системы координат OXYZ по отноF шению к неподвижной системе отсчета Аξηζ является для движущейся точки переносным движением. СоотF ветственно скорости и ускорения называются пере$ носными. Движение подвижной системы координат можно охарактеризовать скоростью ее поступательF ного движения v0, например вместе с точкой М, и векF тором угловой скорости w ее вращения вокруг М.

Теорема о сложении скоростей. Абсолютная скоF рость va точки при сложном движении равна векторF ной сумме относительной vr и переносной ve скороF стей. Пусть положение точки М в подвижной системе координат определяется радиусFвектором ρ, в непоF движной — радиусFвектором r, а положение начала подвижной системы координат относительно непоF движной — радиусFвектором r0, тогда r = r0 + ρ. ПроF дифференцировав это выражение, получим:

dr/dt = dr0/dt + we × ρ + d′ρ/dt,

где е — переносное движение. На основании опреF деления абсолютной, относительной и переносF ной скоростей имеем:

va = dr/dt, vr = d′ρ/dt, ve = v0 + we × ρ.

31а 31. Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха

Свободное падение тела без учета сопротивле$ ния воздуха. Материальную точку массой m бросили вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью v0. Она движется под действием силы тяжести по заF кону тяготения Ньютона. Требуется найти зависиF мость скорости точки от ее расстояния до центра ЗемF ли, не учитывая сопротивления воздуха.

Решение. Направим ось ОX по прямолинейной траF ектории точки и выберем начало координат в центре Земли. В соответствии с законом Ньютона для силы тяготения имеем: F = k/х2.

В данном случае k удобнее выразить из условия, что на поверхности Земли сила тяготения F равна силе тяF жести P = mg, при x = R получим:

mg = k/R2; k = mgR2,

где g — ускорение силы тяжести у поверхности Земли; R — радиус Земли.

Подставляя полученное значение k в выражение для силы тяготения, придем к следующей формуле:

F = mgR2/x2.

Получили дифференциальное уравнение:

md2x/dt2 = – mgR2/x2,

30а 30. Основные понятия динамики. Основные законы механики

Положение точки в пространстве относительно каF койFлибо системы отсчета обуславливается тремя неF зависимыми параметрами или координатами точки. В классической механике время универсально и не связано с пространством и движением материальных точек.

Динамикой называется раздел теоретической меF ханики, в котором изучается механическое движение материальной точки, системы материальных точек и абсолютно твердого тела с учетом сил, которые дейF ствуют на эти движущиеся объекты. Сила в динамике характеризуется ускорением, которое она вызывает.

Первая задача динамики. По заданному механиF ческому движению тела определяют силы, под дейстF вием которых совершается это движение.

Вторая задача динамики. По заданным силам, приF ложенным к телу, и начальным условиям определяют движение, которое они вызывают.

В основе динамики лежат законы Ньютона и ГалиF лея. Системы координат, в которых справедливы заF коны Ньютона, называются инерциальными (гали$ леевыми).

Закон инерции (закон Галилея). Изолированная материальная точка движется равномерно и прямолиF нейно или находится в покое до тех пор, пока дейстF вие других тел на эту материальную точку не изменит ее состояние.

Изолированной называется материальная точка, взаимодействием которой с окружающими телами преF небрегают. Свойством инертности называется свойF

32а 32. Движение падающего тела с учетом сопротивления воздуха

Пример. Точка массой m падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести. При этом она испытывает силу сопротивления воздуF ха R:

R = kmv2,

где k — постоянная положительная величина. Решение. Направим ось ОX вертикально вниз, поF

ложив за начало координат положение точки в момент начала движения. В этот же момент примем t = 0. В произвольный момент времени прикладываем к точF ке действующие на нее силы Р и R и составляем дифF ференциальное уравнение ее движения. Имеем:

md2x/dt2 = mg – kmv.

При этом скорость можно определить зависимостью:

md2x/dt2 = mvdv/dx.

Последняя подстановка позволяет исключить из дифференциального уравнения время при определеF нии скорости.

dv/dt = k(g/k – v2).

Разделяя переменные и интегрируя обе части, поF лучаем:

30б ство изолированной материальной точки сохраF нять состояние прямолинейного движения.

Основной закон динамики (второй закон Ньюто$ на). Скорость изменения количества движения матеF риальной точки равна силе, которая действует на эту точку. Также справедливо, что ускорение материальF ной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление.

d(mv)/dt = F,

где mv — количество движения материальной точки; m — масса точки.

Массой материальной точки называется физичеF ская величина, являющаяся мерой ее инертных и граF витационных свойств.

Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона). Силы взаимодействия двух материальных точек или двух тел (действие и протиF водействие) равны по величине, направлены в противоF положные стороны и имеют общую линию действия:

F1 = – F2.

Закон независимости действия сил (принцип суперпозиции). Ускорение материальной точки, котоF рое возникает при одновременном действии на нее нескольких сил, равно векторной сумме ускорений, сообщаемых точке отдельными силами.

или ln((g/k)1/2 – v)/((g/k)1/2 + v))) – ln1 = –2(g/k)1/2t.

Потенцируя и решая относительно v, получаем:

= g / kth( g / kt ).

Переходя в уравнении к пределу при t →∞ , получаем:

Закон движения точки

00

29б Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Абсолютное ускорение точки при составном движении равно векторной сумме относиF тельного, переносного ускорений и ускорения КориоF

лиса:

a = dv/dt = d/dt(v0 + we × ρ + vr).

Поскольку dv0/dt = a0, dw/dt = ε, то получим для абсоF лютного ускорения:

a = a0 + ε × r + w × (w × r) + ar + 2(w × vr).

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой коF ординат, ε × r и w × (w × r) — вращательное и осестреF мительное ускорения точки. Это уравнение примет вид:

a = ae + ar + ak,

где ak — ускорение Кориолиса, ak = 2(w × vr).

При поступательном переносном движении абсоF лютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений.

v = (v02 + 2gR2(1/x – 1/R))1/2.

Движение тела, брошенного под углом к гори$ зонту без учета сопротивления воздуха. Пусть в точF ке М в начальный момент времени t тело находитF ся в начале координат и имеет скорость v0, лежащую в плоскости OXZ и направленную под углом α к гориF зонту. При этом начальные условия t0 = 0, тогда:

С1 = v0cosα, С2 = 0, С3 = v0sinα, С4 = С5 = С6 = 0.

Закон движения точки:

x = tv0cosα, y = 0,

z = tv0sinα – gt2/2.

Таким образом, траекторией движения точки М явF ляется плоская кривая, лежащая в плоскости OXZ.

33а 33. Колебательное движение точки. Свободные колебания

Пусть точка М движется прямолинейно под дейстF вием одной только восстанавливающей силы F, наF правленной к неподвижному центру О и пропорциоF нальной расстоянию от этого центра. Проекция силы F

на ось OX: Fx= –сx.

Будем искать закон движения точки М. Составим дифференциальное уравнение движения в проекции на ось OX, тогда получим: mx′′ = Fx или mx′′ = сх. РазF делим обе части равенства на m и введем обозначеF ние cm = k2, тогда приведем уравнение к виду:

x′′+ k2 x =0,

которое представляет собой дифференциальное

уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородF ного дифференциального уравнения второго порядка находят в виде x = ent.

Колебания, совершаемые точкой по этому закону, называются гармоническими колебаниями.

Пусть точка В движется равномерно по окружности радиуса А из положения В0, определяемого угломDOB0 = α. Обозначим постоянную угловую скорость вращения радиуса ОВ через k. Тогда в произвольный момент времени t угол ϕ = DOB = α + kt, а проекция М точки В на диаметр, перпендикулярный DE, движется по закону х = Asin(kt + α), где х = ОМх. Другими словаF ми, она совершает гармонические колебания. АмплиF туда колебаний — величина А, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний О. Величина ϕ = α + kt называется фазой колебаний, она в отличие

34а 34. Затухающие колебания материальной точки, апериодическое

движение точки. Явление биений. Явление резонанса

Пусть на материальную точку М с массой m, кроме восстанавливающей силы F, проекция которой на ось OX равна сх, действует также сила сопротивления R, проекция которой на ту же ось равна ах. Разделим обе части этого уравнения на m и получим:

k2 + 2hx + x = 0,

линейное однородное дифференциальное уравнение. Ему соответствует характеристическое уравнение:

λ2 + 2hλ + k2 = 0.

Корни этого уравнения:

λ1,2 = – h ± (h2 + k2)1/2.

Движение точки М, описываемое таким уравнением, не будет периодическим, поскольку не существует таF кой постоянной, прибавляя которую к аргументу t, поF лучили бы равенство x(t + T) = х(t), справедливое при любых значениях t. Однако движение точки М имеет

колебательный характер. Коэффициент h, характеF ризующий быстроту затухания колебаний во времени, называется коэффициентом затухания. Он опредеF ляется отношением коэффициента сопротивления к веF личине удвоенной массы колеблющейся материальF ной точки.

35а 35. Математический маятник и его малые колебания

Математический маятник — тяжелая материальF ная точка, которая двигается либо по вертикальной окружности (плоский математический маятник), либо по сфере (сферический маятник).

Будем рассматривать движение плоского матемаF тического маятника по окружности радиуса l с центF ром в точке О. Определим положение точки М (маятF ника) углом отклонения ϕ радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную Mτ в сторону положительного отсчета угла ϕ, можно составить естественное уравнеF ние движения, которое образуется из уравнения двиF жения mw = F + N, где F — действующая на точку активF ная сила, а N — реакция связи.

Проекции на ось τ даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

В начальный момент маятник отклонен от вертикали на угол ϕ и опущен без начальной скорости, тогда наF

36а 36. Динамика относительного движения материальной точки

Пусть есть инерциальная система отсчета O1X1Y1Z1 и материальная точка массой m, на которую дейстF вуют приложенные силы F и N, где F — равнодейстF вующая заданных активных сил; N — равнодействуюF щая сил реакций связей.

Если ввести другую, неинерциальную, систему отF счета OXYZ, которая в общем случае может двигаться относительно инерциальной как свободное твердое тело, то по теореме сложения ускорений имеем:

a=ae +ar +aк ,

где аi — соответственно переносное, относительное и кориолисово ускорения.

После преобразований получим:

mar = F +N+Фе +Фк ,

где Фе = –mае, Фк = –mак — соответственно переF носная и кориолисова силы инерции.

Динамическая теорема Кориолиса. Материальная точка движется относительно неинерциальной систеF мы отсчета так же, как и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и реакциям связей следует добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Если координаты движущейся точки относительно подвижной системы координат OXYZ в момент времеF

34б Условный период затухающих колебаний (апериодический) — это промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки М через положение статического равновесия

в фиксированном направлении.

Вынужденными называются колебания материальF ной точки, если на точку, кроме восстанавливающей силы F, действует некоторая изменяющаяся во вреF мени возмущающая сила Q.

x&& + k 2 x = H sin(ωt +σ)

неоднородное линейное дифференциальное урав$ нение второго порядка с постоянными коэффи$ циентами.

Колебание точки М состоит из следующих трех типов:

1)свободных колебаний, которые зависят от начальF ных условий и имеют частоту собственных колебаF ний k;

2)вынужденных колебаний, которые имеют частоту собственных колебаний k;

3)вынужденных колебаний, которые имеют частоту ω возмущающей силы Q и амплитуду. При частоте возмущающей силы, близкой к частоте собственF ных колебаний точки, возникает явление, называеF мое биением; при совпадении указанных частот наF ступает явление резонанса.

36б ни t есть х, у, z, то в проекциях на подвижные оси координат уравнение примет форму:

Относительное движение по инерции. Если маF териальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то таF кое движение называют относительным движением по инерции. При этом относительная скорость vr посF тоянна по модулю и направлению, а значит, относиF тельное ускорение а = 0.

Относительный покой. При покое материальной точки относительно подвижной системы отсчета ее относительные скорость, ускорение и ускорение КоF риолиса равны нулю. При абсолютном движении по инерции или абсолютном равновесии относительно инерциальной системы отсчета имеем для сил одно

ито же условие F + N = 0.

Инерциальные системы отсчета.

ae =a0 +ε × r +ω × (ω × r),

где а0 — ускорение точки, принятой за полюс;

ω — угловая скорость вращения подвижной систеF мы координат вокруг выбранного полюса; ε — угловое ускорение этого вращения;

r — радиусFвектор движущейся точки относительF но выбранного полюса.

33б от координаты х определяет не только положеF ние точки в данный момент времени, но и направF ление ее последующего движения. Например, из полоF жения М при фазе, равной ϕ, точка движется вправо, а при фазе (π – ϕ) — влево. Фазы, отличающиеся на 2π, считаются одинаковыми. Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса OB, называетF ся круговой частотой колебаний. Промежуток вреF мени Т, в течение которого точка совершает одно полF ное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2π. Таким образом, kT = 2π, тогда период T = 2π/k. Величина ν, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за 1 сек, называется частотой колеба$

ний: ν = 1/T.

Свойства свободных колебаний:

1)амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных (или краевых) условий;

2)частота k, а следовательно, и период Т колебаний,

от начальных (или краевых) условий не зависят и являются неизменными характеристиками данF ной колеблющейся системы.

Рассмотренные колебания называются линейны$ ми, поскольку они описываются линейными диффеF ренциальными уравнениями. Период этих колебаний не зависит от начальных (или краевых) условий, а, знаF чит, и от амплитуды. Колебания, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, наF зывают нелинейными, они не обладают такими свойF ствами.

35б чальные условия будут: при t = 0, ϕ = ϕ0, ϕ0= 0. Энергия:

mv 2 +V (x, y, z )=h, 2

где V — потенциальная энергия;

h — постоянная интегрирования.

Тогда при этих условиях в любой момент времени угол ϕ ≤ ϕ0. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол ϕ0 мал (ϕ0 ≤ 1), тогда угол ϕ будет также мал и можно приближенно доF пустить, что sinϕ ≈ ϕ. При этом уравнение примет вид:

d2 ϕ

dt2

+ω2ϕ=0.

Его общее решение имеет вид:

ϕ= A cos ωt +B sin ωt =a sin (ωt +ε),

где A и B, или a и ε, — суть постоянные интегрироF вания.

Период T колебания маятника равен