Материал: Маленькая шпаргалка по теормеху

Случай 1.

→→

an =0, aτ =0.

Если в течение некоторого промежутка времени норF мальное и касательное ускорения точки равны нулю, то в течение этого промежутка не изменяются ни наF правление, ни модуль скорости. Это означает, что точF ка движетсяr равномерно прямолинейно и ее ускореF ние a=0 .

Случай 2.

→→

an ≠0, aτ =0.

Если в течение некоторого промежутка времени норF мальное ускорение не равно нулю и касательное ускоF рение равно нулю, то происходит изменение направлеF ния скорости без изменения ее модуля. Это означает, что точка движется равномерно криволинейно и моF дуль ее ускорения

a = an =v 2 R.

aτ = dv dt =0

в определенный момент времени, то точка не движетF ся равномерно, а в этот момент времени модуль ее

Путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени, — это сумма абсолютных значений элеменF тарных перемещений точки за данный промежуток времени. Линия этого графика поднимается вверх неF зависимо от направления движения точки и только при остановках точки превращается в прямую, котоF рая параллельна оси времени t. На графике пути расF стояния, пройденные точкой в промежуток времени [t1, t2], суммируются с путем σ1 = s1, пройденным к моменту времени t1. Путь, пройденный точкой к моF менту времени t2: σ2 = 2s1. Алгебраическая величина средней скорости движущейся точки за промежуток времени [t1, t2] — это отношение приращения дугоF вой координаты к промежутку времени:

vср =(s2 −s1 )/(t2 −t1 ),

(s2 −s1 )/(t2 −t1 )= tgα1.

Следовательно,

vср =tgα1,

т.е. средняя скорость точки за этот промежуток вреF мени равна тангенсу угла наклона секущей графика движения к оси времени t. Алгебраическая величиF на скорости точки в некоторый момент времени t:

v =dsdt =tgα.

19а 19. Простейшие движения твердого тела

Существует 5 видов движения твердого тела:

1)поступательное;

2)вращательное;

3)плоское или плоскопараллельное;

4)сферическое;

5)общий случай движения твердого тела.

Поступательное — это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения тела параллельной своему начальному положению.

Теорема. Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скоростиr и ускоренияr .

Скорость v и ускорение a называются скоростью

иускорением поступательного движения твердо$ го тела.

Вращательным движением твердого тела назыF вается такое движение, при котором все точки, приF надлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая назыF вается осью вращения тела. Зададимся направлеF нием оси вращения z, проведем через эту ось две полуплоскости: неподвижную полуплоскость P и подF вижную полуплоскость Q, связанную с твердым телом

ивращающуюся вместе с ним. Двугранный угол ϕ межF ду этими полуплоскостями, отсчитываемый от непоF движной полуплоскости P к подвижной полуплоскости Q, называется углом поворота тела. При вращении тела угол поворота ϕ изменяется в зависимости от времени: ϕ = f(t) — уравнение вращательного движеF ния тела.

20а 20. Векторные выражения вращательной скорости,

вращательного и центростремительного ускорений

Отложим вектор угловой скорости тела ϖ от любой точки оси вращения, направляя его по оси так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение чаF совой стрелки. Модуль данного вектора равен абсоF лютному значению угловой скорости:

ϖ = dϕ dt .

Псевдовекторы — это векторы, направления котоF рых не зависят от принятой в каждом конкретном слуF чае системы координат. При сложении псевдовекторов действительны правила параллелограммаr и многоF угольника. Вектор углового ускорения ε характериF зует изменение вектора угловой скорости ϖ в завиF симости от времени,

→→

ε=d ϖ/ dt.

Направление вектора εr совпадает с направлением вектора ϖ при ускоренном вращении и противопоF ложно ему при замедленном. Вращательное ускореF ние точки твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению вектора углового ускорения тела на радиусFвектор этой точки относительно любой точки оси вращения:

→→ →

aε = ε × r.

18б Следовательно, для определения скорости точки в любой момент времени следует провесF ти касательную к графику движения в соответствуюF

щей точке A и определить угол α наклона этой касаF тельной к оси t. Тангенс угла α равен алгебраической величине скорости точки в этот момент времени. ГраF фик скорости показывает зависимость алгебраиF ческого значения скорости точки v от времени t. По графику скорости определяется алгебраическая величина касательного ускорения точки:

аτ =dv dt =tgβ.

Для определения касательного ускорения точки проF водят касательную к графику скорости в соответF ствующей точке B и находят угол β наклона этой касательной к оси t. Тангенс угла β обуславливает алгебраическое значение касательного ускорения точки в этот момент. График касательного ускорения изображает зависимость алгебраической величины касательного ускорения αx от времени. Если движение точки неравномерно криволинейное, то для построеF ния графиков нормального и полного ускорений точки числовые значения αn и α для различных моментов времени определяют с помощью расчета по соответF ствующим формулам, пользуясь значениями v и αx, определенными по соответствующим графикам.

20б Центростремительное ускорение точки тверF дого тела, которое вращается вокруг неподвижF ной оси, равно векторному произведению вектора угF

ловой скорости тела на вращательную скорость этой точки:

→→ →

aϖ =ϖ ×v .

Передаточные механизмы служат для передачи вращения от одного вала, который называется веду$ щим, к другому, называемому ведомым. Если оси ведущего и ведомого валов параллельны или пересеF каются, то вращение можно передать с помощью фрикционной или зубчатой передачи. Во фрикционF ной передаче вращение передается вследствие дейF ствия силы сцепления на поверхности соприкасаюF щихся колес, в зубчатой передачеr — от зацепления зубьев. Вращательная скорость v в точке соприкасаF ния колес относится к точкам обоих колес:

v = r1ϖ1 = r2ϖ2.

Тогда

ϖ1 ϖ2 = r2 r1 ,

т.е. угловые скорости колес обратно пропорциональF ны радиусам колес. Отношение угловой скорости веF дущего колеса к угловой скорости ведомого колеса называется передаточным числом: i = ϖ1/ ϖ2.

17б скорости имеет максимум, минимум или наименьF шую быстроту монотонного изменения.

Случай 3.

→→

an =0, aτ ≠0.

Если в течение некоторого промежутка времени норF мальное ускорение точки равно нулю и касательное усF корение не равно нулю, то не изменяется направление скорости, а изменяется ее модуль, т. е. точка движетF ся по прямой неравномерно.

падают, то движениеr rточкиr ускоренное. Если направF ления векторов v и a = ax противоположны, то двиF жение точки замедленное.

an =v 2 R =0

в некоторый момент времени, то точка не движется прямолинейно, а проходит точку перегиба траектории R =∞ или модуль ее скорости обращается в нуль.

19б Величина, характеризующая быстроту измеF нения угла поворота ϕ с течением времени, наF

зывается угловой скоростью тела.

Числовая величина, характеризующая быстроту изF менения угловой скорости с течением времени, назыF вается угловым ускорением тела.

Пусть дана окружность, представляющая собой траекF торию произвольной точки M тела. При этом R — расF стояние точки от оси вращения, равное радиусу этой окружности. Если OC — радиус, лежащий в неподвижF ной полуплоскости P, а NC — радиус, лежащий в подF вижной полуплоскости Q и вращающийся вместе с ней, то

OCN = ϕ =f (t ).

Угол NCM = α при вращении его сторон NC и MC вместе с телом не изменяется, т. е. α = const. ПоложеF ние точки M можно определить дуговой координатой s, отсчитанной от неподвижной точки O в направлении отсчета угла поворота ϕ. Тогда

s = OM =R(ϕ+ α),

где углы ϕ и α выражены в радианах. Модуль скорости точки M:

v = ds dt =R d ϕ dt =Rϖ.

21а 21. Плоское движение твердого тела

Плоское или плоскопараллельное движение твердого тела — это такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельF ной некоторой неподвижной плоскости.

Пусть дана система точек тела, расположенных на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости Q, точка C1 движется в плоскости Q1, а точка C2 — в плосF кости Q2. Обе эти плоскости параллельны неподвижF ной плоскости Q. При движении тела отрезок C1C2 остается перпендикулярным плоскости Q, т. е. остаетF ся параллельным своему начальному положению, следовательно, траектории A1B1, A2B2, AB точек тела C1, C2, C тождественныr и параллельны,r r r rа ихrскорости

и ускорения равны: v1 = v2 = v, a1 = a2 = a. Значит, движение каждой точки плоской фигуры в неподвижF

ной плоскости Q определяет движение всех точек твердого тела, расположенных на перпендикуляре к плоскости Q, восстановленном в этой точке. ДвижеF ние плоской фигуры в ее плоскости можно рассматF ривать как движение прямолинейного отрезка в этой плоскости.

Зависимость между скоростями точек плоской фиF гуры устанавливается по следующей теореме: скоF рость любой точки плоской фигуры равна геометриF ческой сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг поF люса.

Пустьr точка O — полюс, а скорость в этой точке равF на v0. Для нахождения скорости любой точки плоской фигуры, к примеру точки A, нужно провести из непоF движнойr r плоскости O1 в точки O и A радиусFвекторыr

R0 и RA. Кроме того, проведем радиусFвектор r0A из

22а 22. План скоростей. Мгновенный центр скоростей

Пусть известны скорости точек A, B, C и D плоской фигуры. Откладываем из произвольной точки O по наF правлению скоростей точек A, B, C и D отрезки Oa, Ob, Oc, Od, равные скоростям этих точек. Затем соединим точки a, b, c и d отрезками прямых. Такое построениеr r r называетсяr планом скоростей. Отрезки Oa, Ob, Oc, Od, — лучи, а точки a, b, c, d — вершины плана скороF стей. В треугольнике aOb:

→ → → → → →

Ob =Oa + ab, v B =v A +v AB,

тогда

→→

ab=v AB ,

→ → → →

bc =v BC , cd =v CD.

Каждый из отрезков, соединяющих вершины плана скоростей, геометрически равен вращательной скоF рости соответствующей точки фигуры вокруг другой точки как вокруг полюса, следовательно, ab = AB ×ϖ

и ab AB, bc =BC и bc BC, cd =CD и cd CD. Таким образом, многоугольник abcd подобен многоугольниF ку ABCD и повернут относительно последнего на 90° в сторону вращения движущейся плоской фигуры. Пусть известныr скорость некоторой точки O плоской фигуры v 0 и угловая скорость фигуры ϖ в некоторый момент времени. Точка O является полюсом, тогда скоF

23а 23. Уравнения неподвижной и подвижной центроиды

Теорема Шаля: плоскую фигуру можно перемесF тить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом некоторого неподвижF ного центра.

Пусть дан отрезок, который соединяет точки A и B плоской фигуры. Он занимает на плоскости в два разF личных момента времени положения AB и A1B1. Из сеF редин отрезков AA1 и BB1 проведем перпендикуляры к отрезкам и продолжим их до пересечения в некотоF рой точке C. Докажем, что данная точка неподвижной плоскости есть центр поворота для данного конечного перемещения плоской фигуры. Если соединить точку C с концами отрезков AB и A1B1, получатся треугольF ники ACB и A1CB1. Тогда эти треугольники равны соF гласно равенству трех их сторон: A1B1 = AB, A1C = AC,

B1C = BC.

Каждым двум положениям плоской фигуры на плосF кости соответствует собственный центр поворота. Предельным положением центра поворота при стремF лении времени перемещения плоской фигуры t к нуF лю является точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент времени совпадает мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Модуль скорости v точки A:

v =C A ×ϖ,

где точка C* — мгновенный центр вращения фигуры. На неподвижной плоскости имеются положения A1B1, A2B2, A3B3, … отрезка AB, который определяет положение плоской фигуры в моменты времени t,

24а 24. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры и ее следствия.

Положение мгновенного центра ускорений

Ускорение точек плоской фигуры определяется слеF дующей теоремой: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

В каждый момент времени существует точка плосF кой фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю. В определенный момент времени ускорениеr неF которой точки O плоской фигуры равно a0, фигура вращается ускоренно в направлении, противоположF ном направлению вращения часовой стрелки, а модуF ли угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры равны ϖ и ε. Угол α = arctg ε/ ϖ2, причем ε — модуль вектора ε. Если tg α = ε/ ϖ2 > 0, то соотF ветствующий этому тангенсу угол находится в предеF лах от 0rдо 90°. Затем нужно отложить угол α от ускоF рения a0 по направлению углового коэффициента ε. В данном случае это нужно сделать в сторону, обратF ную вращению часовой стрелки, значит, отложим отF резок на проведенной полупрямой:

OQ =a0 ε2 +ϖ 4.

Если точка O — полюс, то ускорение построенной точки Q:

→ → →

aQ = aO + aOQ.

22б рость любой точки фигуры равнаr геометричеF ской сумме скорости полюса v0 и вращательной скорости вокруг этого полюса. Проведемr в точке О перпендикуляр к направлению скоростиr v0 так, чтобы направление поворота скорости v0 к этому перпендиF куляру совпадало с направлением вращения фигуры. Затем найдем конкретную точку P, вращательная скоFr ростьr которойr равна по модулю скорости полюса v0 или v0P = v0. Направленияr r данных скоростей противоF

положны, т. е. v0P = –v0. Скорость точки P

→ → →

v P =v 0+v 0P =0.

Следовательно, точка P в рассматриваемый момент времени является мгновенным центром скоростей. Для определения положения точки P нужно вычислить вращательную скорость точки P вокруг полюса O и приравнять ее к скорости полюса:

v0P =OP ×ϖ =v0, OP =v 0 ϖ.

Таким образом, мгновенный центр скоростей плосF кой фигуры находится на перпендикуляре к направF лениюr скорости полюса на расстоянии от полюса v0/ϖ. Скорость любой плоской фигуры в каждый моF мент времени имеет модуль, который равен произвеF дению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соF единяющего точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно этому отрезку в стоF рону вращения фигуры.

24б Ускорение точки Q во вращательном движении вокруг полюса O состоит из центростремительF ного ускорения и вращательного. Причем вращательF ное направлено по отношению к полюсу в сторону,rсоF

ответствующую направлению углового ускорения ε:

aOQ = aOQε 2 + aOQϖ 2 =OQ ε2 +ϖ4 =

= aO ε2 +ϖ4 × ε2 +ϖ4 = aO.

Углы α и β лежат в пределах отr 0 доr 90°, а значит, β = α. Таким образом, ускорения a0Q и a0 равны по абF солютнойr величине,r r но противоположны по направлеF нию: a0Q = –a0, aQ = 0. Точка Q, ускорение которой в определенный момент времени равно нулю, назыF вается мгновенным центром ускорений. При этом модули ускорений точек плоской фигуры в каждый моF мент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений, а векторы усF корений составляют с отрезками, соединяющими данF ные точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол:

α =arctg β ϖ2.

21б полюса O в точку A. За все время движения межF ду радиусFвекторами сохраняется следующая заF

висимость:

→→ →

RA =R0+r 0 A ,

r

где модуль r0A = const. Тогда скорость точки A:

→ → →

v =d RA dt =v 0 —

скорость полюса O. Приr движении плоской фигуры модуль радиусFвектора r0A остается неизменным, а наF правление его при повороте фигуры изменяется. СлеF довательно:

→→

d r 0 A dt =v0 A, v0 A =OA ×ϖ.

После подстановки получим

v A =v 0 +ϖ × r0 A .

Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраиF чески равны.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяеF мого отрезка лежат на одной прямой и делят эту пряF мую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка.

23б t + t, t + 2 t, t + 3 t, … Предельные положения центров поворота C1, C2, C3, … — это мгновенF

ные центры вращения плоской фигуры, поэтому в преF деле ломаная линия C1C2C3C4… преобразуется в криF вую, которая называется неподвижной центроидой. Линия C1′C2′C3′C4′ обращается в кривую, которая является геометрическим местом точек мгновенных центров скоростей на движущейся фигуре. Она назыF вается подвижной центроидой.

Теорема Пуансо о качении подвижной центрои$ ды по неподвижной. При действительном движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде.

Уравнения неподвижной центроиды в параметF рической форме в неподвижной системе координат имеют вид:

ξP =ξ0 − 1 dη0 ,

ϖdt

ηP =η0 + 1 dξ0 .

ϖ dt

Уравнения подвижной центроиды в параметриF ческой форме в подвижной системе осей имеют вид:

25а 25. Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев

плоского механизма

Пусть нужно найти ускорение ползунка В кривошипF ноFшатунного механизма и угловое ускорение шатуна АВ этого механизма, если известно, что кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ω в наF правлении, противоположном направлению движения часовой стрелки.

Следует использовать следующее:

1)модуль и направление ускорения wA пальца кривоF шипа А wA = wAц = OA × ω2;

2)прямую, по которой направлено ускорение ползунF ка В;

3)угловую скорость wАВ шатуна АВ, которую легко опF ределить по плану скоростей или применением мгновенного центра скоростей.

Зная скорость пальца А кривошипа vA, модуль котоF рой равен vA = OA × ω, можно определить скорость vB ползунка В по плану скоростей или при помощи мгноF венного центра скоростей. Затем вычисляют модуль угловой скорости шатуна АВ:

wAB = ab / AB

или

wAB = vA / (PABA) = OA × ω / (PAB A).

Приняв точку А шатуна за полюс, можно вычислить ускорение точки В по формуле:

wB = wA + wABц + wABВ.

26а 26. Сферическое движение твердого тела

При движении твердого тела, имеющего одну непоF движную точку, все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпаF дают с неподвижной точкой. Такое движение назыF вают сферическим движением твердого тела.

Воспользуемся двумя системами осей координат: неподвижной системой OXYZ с началом в неподвижF ной точке О и подвижной системой Оξηζ, неизменно связанной с твердым телом, с началом в той же непоF движной точке О; здесь OJ — линия пересечения неF подвижной плоскости XOY и подвижной плоскости ξОη, называемая линией узлов. Пусть

(x, J) = ψ, (z, ζ) = θ, (J, ξ) = ϕ.

Углы ϕ, ψ, θ будут положительными, если при наблюF дении навстречу осям z, J, ζ, перпендикулярным плосF костям этих углов, можно видеть эти углы, отложенные от осей x, z, J в направлении, противоположном наF правлению движения часовой стрелки.

ψ = f1(t), θ = f2(t), ϕ = f3(t).

Их называют уравнениями сферического движения твердого тела.

Теорема Эйлера$Даламбера. Твердое тело, котоF рое имеет одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом воF круг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

27а 27. Ускорения точек твердого тела при сферическом движении

Для определения ускорения какойFлибо точки при сферическом движении используется формула v = ω × r. Тогда

w = dv / dt = dω / dt × r + ωdr / dt,

однако

dω / dt = ε, а dr / dt = v = ω × r.

Подставляя эти значения, получим:

w = ε × r + ω × v

или w = ε × r + ω × (ω × r),

где ε × r = wEB — вращательное ускорение точки;

ω × v = ωΩос — центростремительное ускорение точки.

Это обусловливает теорему Ривальса об ускорении точки тела, совершающего сферическое движение: ускорение любой точки твердого тела при сферичеF ском движении определяется как геометрическая сумF ма ее вращательного и осестремительного ускорений. Вектор wEB = ε × r имеет направление, перпендикулярF ное плоскости, проходящей через вектор углового усF корения ε. РадиусFвектор точки r направлен в ту стоF рону, откуда поворот вектора ε к вектору r на наименьший угол виден происходящим против двиF жения часовой стрелки.

28а 28. Теорема о скоростях точек свободного твердого тела и ее

следствия. Теорема об ускорениях точек свободного твердого тела

Рассмотрим случай движения свободного твердого тела, которое имеет 6 степеней свободы. При этом треугольник можно переместить поступательным пеF ремещением вместе с какойFлибо точкой и поворотом относительно оси, которая проходит через эту точку. Любое движение свободного тела можно заменить совокупностью поступательных движений вместе с каF койFлибо точкой тела и вращений вокруг этой точки, совершаемых за то же время, что и истинное движеF ние. Другим словами движение тела можно составить из поступательного движения и сферического относиF тельно системы координат. Для относительного сфеF рического движения: ω — угловая скорость, ε — углоF вое ускорение. Эти величины не зависят от выбора точки тела.

Пусть OaXYZ — неподвижная система координат, О — произвольно выбранный полюс. При этом система коF ординат OXYZ получается из OaXYZ поступательным перемещением, которое определяется вектором R0. Пусть Р — некоторая точка тела, ρ и r — вектор ОР, заF данный своими компонентами в системах координат.

Теорема. Существует единственный вектор ω, наF зываемый угловой скоростью тела, с помощью котоF рого скорость v точки Р тела может быть представлеF на в виде:

v = vО + ω × r,

где vО — скорость полюса О; при этом вектор ω от выF бора полюса не зависит.