Материал: Маленькая шпаргалка по теормеху

6б новесия q0 называется устойчивым, если в кажF дой паре сколь угодно малых положительных фиксированных чисел е для моментов времени t > t0

выполняется неравенство:

q(t) – q(t0) < е.

Потенциальная энергия тела будет иметь минимум или равняться нулю, т. е.

П = 1/2∑Ciqi = 0,

где Ci — коэффициент устойчивости. Приближенные законы, препятствующие качению.

1.Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, не зависит от радиуса катка.

2.Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению, а значит, и равной ему норF

мальной реакции, т. е. Mmax = δN. Коэффициент треF ния качения δ при покое называется коэффициентом трения второго рода.

3.Этот коэффициент устойчивости (сцепления) заF висит от материала катка, плоскости и физического состояния поверхности.

При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поF верхности соприкосновения возникает сила трения. Если поверхности абсолютно гладкие, то реакция поF верхности связи направлена по нормали к общей каF сательной в точке соприкосновения.

5б но этих осей равны нулю. Значит, условия равF новесия:

n

∑Mx (Fi ) = 0,

i=1

n

∑My (Fi ) = 0

i=1

будут тождествами.

Сложение параллельных сил на плоскости.

Пусть заданы две параллельные силы ( F1, F2), они направлены в одну (или разные) стороны. Если F1≠−F2, т. е. они не образуют пару сил, то они привоF дятся к равнодействующей с некоторым центром приведения О. Положение точки О можно найти, подF считав относительно нее момент равнодействующей, он равен нулю в каждом из приведенных случаев:

n

R =∑Fi ,

i=1

M0 (R) = F1 ×О1О −F2 ×ОО2 ,

F1 = ОО2

F2 О1О

следует, что система двух параллельных сил, не обраF зующих пару, имеет равнодействующую, параллельF ную этим силам.

8б напряжению силам пары ( F1, F2) и параллельF ные им, то

( F1, F2) ≈ ( F1, F2, F3, F4, F5, F6).

Сложив силы F2, и F4, получим равнодействующую, равную 2 F, которая будет приложена в середине параллелограмма и направлена вверх. Если сложить силы F1 и F5, можно получить их равнодействующую, равную 2F′ и направленную вниз. Тогда F1, F5, F2, F4 ≈ 0, поэтому система

(F1, F2, F3, F4, F5, F6) ≈ ( F3, F6)

ипара ( F3, F6) эквивалентна паре ( F1, F2).

Значит, плоскость пары можно переносить паралF

лельно ей самой, не изменяя при этом оказываемого на тело действия.

Сложение пар в пространстве. Пусть на твердое тело действует система пар сил:

(F1, F1′), (F2, F2′), ... (Fn, Fn′).

Момент kFой пары сил обозначим через

M (Fk , Fk′), при k =1, n.

Данную систему пар сил можно заменить одной паF рой сил, такой, ( F, F′), тогда момент M ( F, F′) равен геометрической сумме моментов данных пар сил.

7б Проецирование силы на оси координат.

Пусть дана сила F, тогда ее проекции на пряF моугольные оси координат вычисляются по формулам:

Fx =Fi =F cos(F, x),

Fy =Fj =F cos(F, y),

Fz =Fk =F cos(F, z).

где i, j, к — единичные векторы, направленные по осям координат.

Косинусы углов силы с осями координат удовлетвоF ряют условию:

cos2 (F, x) +cos 2(F, y) +cos 2(F, z) =1.

Из трех углов независимыми будут только два. При проецировании силы на прямоугольные оси коF ординат лучше использовать два угла. Для этого силу нужно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие. При этом одна из них параллельна каF койFлибо оси координат, например OZ, а другая нахоF дится в координатной плоскости двух других осей, в нашем случае — координатной плоскости ОXY. Тогда получается

Fx = F sin αcos β, Fy = F sin αcos β, Fz = Fcos α.

Условие равновесия системы сходящихся сил: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сила равняF лась нулю R =0.

9а 9. Главные моменты системы сил

Момент силы F относительно некоторого выбранF ного центра О — это векторная величина M 0( F ), определяемая формулой

M0 (F )=r ×F,

где r — радиусFвектор точки А, причем r =OA . Тогда

|M0 (F )| = hF, F = |F|,

где h — кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы, называемое плечом силы.

Вектор

10а 10. Приведение пространственной системы сил к главному вектору

и к главному моменту

Лемма о параллельном переносе сил. Пусть к абсолютно твердому телу в точке А приложена сила FA. Состояние твердого тела не изменится, если эту силу перенести параллельно самой себе в любую другую точку тела В и приложить к телу пару сил, моF мент которой равен:

M (F ′, FA )= BA ×FA,

где

F′=−FA, FB = FA .

M0 (F ) r , F

и направлен в ту сторону, откуда вращение произF водимой силой осуществляется против часовой стрелки. Сила измеряется в [H], а момент силы — в [H·м].

Пусть в точке О будет начало некоторой прямоугольF ной декартовой системы координат XYZ. СпроектиF руем векторную формулу на координатные оси, получим:

Доказательство очевидно, так как

FB, (F ′, FA )≈ FB, F ′, FA,

адве силы FB и F′ взаимно уравновешиваются. Приведение пространственной системы сил к главF

ному вектору и к главному моменту. Пусть на абсоF лютно твердое тело действует произвольная простF ранственная система сил ( F1, F2, ..., Fn). Эта система сил может быть заменена одной силой F и парой сил, момент которой M0, причем сила F — главный вектор пространственной системы сил

n

F = ∑Fk .

k=1

11а 11. Условия равновесия пространственных систем сил.

Сложение параллельных сил в пространстве. Центр тяжести тела

Для равновесия пространственных систем сил ( F1, F2, ..., Fn), приложенных к абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

n

1) F =∑Fk =0;

k=1

n

2) M0 =∑rk Fk =0,

k=1

которые говорят, что для любого центра приведения главный вектор и главный момент пространственных систем сил должны быть равны нулю.

Если ввести координатные оси с началом в центре приведения и спроектировать предыдущие векF торные равенства на эти оси, то получатся скалярF ные условия равновесия пространственной систеF мы сил:

Fx =∑Fkx =0, Fy =∑Fky =0, Fz =∑Fkz =0,

12а 12. Вспомогательные теоремы для определения положения

центра тяжести

Теорема 1. Площадь поверхности, полученной враF щением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанF ной ее центром тяжести.

Теорема 2. Объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плосF кости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произF ведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести площади фигуры.

Метод группировки. При нахождении центра тяжесF ти тела легче определить центры тяжести отдельных его частей, на которые можно разбить тело. Пусть теF ло разбили на несколько частей и определили центр тяжести каждой такой части тела, тогда будут иметь место равенства:

Если сгруппировать слагаемые, то получится:

Метод отрицательных масс является частным случаем метода разбиения и применяется к телам, имеющим разрывы.

10б Момент M0 — главный момент пространстF венной системы сил, равный

n

M0 =∑rk ×Fk ,

k=1

т. е. момент равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения.

Доказательство этого утверждения основывается на лемме о параллельном переносе сил. Все силы исF ходной системы переносят параллельно самим себе в выбранную точку приведения О, тогда получится система исходящих сил. Данная система может быть заменена равнодействующей F, приложенной в точке О. Чтобы состояние тела не изменилось при выполF ненном переносе сил, необходимо к телу приложить n пар сил, моменты которых относительно центра О определяются соотношениями:

M (F ) = r ×F , k =1, n.

0 k k k

Главный момент M0 этой результирующей пары обычF но изображают приложенным в центре О, хотя он явF ляется свободным вектором и может переноситься паF раллельно самому себе.

Теорема Вариньона. Для системы сходящихся сил момент равнодействующей силы относительно выбF ранного центра равен геометрической сумме моменF тов всех сил системы.

12б Используя метод разбиения и свойства центF ров тяжести симметричных однородных тел, можF но найти центр тяжести сложных тел, разбивая на таF

кие части, центры которых легче определяются. Пример. Можно рассматривать отверстие как плоF

щадь с отрицательной массой. Фигура имеет ось симF метрии, значит, будем определять только одну коорF динату х, взяв начало координат в центре большого круга, тогда получится:

Метод веревочного многоугольника. Пусть задаF на некоторая сила F. Возьмем произвольный полюс О, не лежащий на линии действия силы F, и соединим его с концами силы F. Тогда можно рассматривать силу F как равнодействующую двух сил, приложенF ных в той же точке, в которой будет приложена сила F. Возьмем нить АСВ так, что АС и СВ будут соответF ственно параллельны заданным силам. Закрепим конF цы А и В неподвижно, а к точке С приложим ту же силу F. Тогда эта сила может быть представлена как равF нодействующая заданных сил, приложенных к точке С. Первой фигурой будет план заданных сил, а втоF рой — веревочный многоугольник.

где x, y, z — координаты точки приложения силы.

Момент силы относительно оси OZ — это проекF ция вектора момента силы относительно некоторого центра, взятого на этой оси, на эту же ось, т. е.

M0z (F ) = (z ×F )z —

моменты силы F относительно координатных осей X,

Y, Z.

Главным моментом системы сил относительно выбранного центра О будет называться вектор, равF ный геометрической сумме моментов всех сил систеF мы относительно выбранного центра:

nn

M0 = ∑M0 (Fi ) = ∑ri ×Fi .

Если все силы системы приложены в одной точке, то все ri = r, тогда

n

M = r + ∑Fi = z ×F .

i=1

11б Тогда

n

Mox = ∑(yk Fkx − zk Fky )= 0, k=1

n

Moy = ∑(zk Fkz − xk Fkz )= 0, k=1

n

Moz = ∑(xk Fky − yk Fkx )= 0. k=1

Следовательно, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на координатные оси быF ли равны нулю и чтобы сумма моментов всех сил систеF мы относительно координатных осей тоже была равна нулю.

Если рассматривать условия равновесия несвободF ного твердого тела, находящегося под действием сил ( F1, F2, ..., Fn), то связи, наложенные на тело, мысленF но отбрасываются, а к телу прикладываются реакции связей (R1, R2, ..., Rl), после чего условия равновесия записываются для системы сил, объединяющей акF тивные силы и реакции связей:

(R1, R2, ..., Rl), (F1, F2, ..., Fn).

13а 13. Центр тяжести некоторых линий, плоских фигур и тел

Пусть имеется дуга AB окружности R. Радиус ОС будет осью симметрии, значит, центр тяжести будет лежать на оси х.

Центр тяжести площади кругового сектора. СоF средоточивая массы элементарных секторов в их центF рах тяжести, сведем нахождение центра тяжести плоF щади кругового сектора к нахождению центра тяжести дуги окружности радиуса 2/3R с центральным углом 2α.

Для дуги радиуса r имеем:

sin α x0 =r α .

В этом случае r = 2/3R, значит, абсцисса центра тяF жести площади кругового сектора будет равна:

Центр тяжести тетраэдра. Разделим тетраэдр на элементарные пластинки плоскостями, параллельныF

14а 14. Основные понятия кинематики

Движущаяся точка описывает в пространстве некоF торую линию, которая называется траекторией точF ки. В зависимости от траектории движения точки быF вают прямолинейными и криволинейными.

Естественный способ движения точки применяетF ся в том случае, когда траектория точки заранее изF вестна. При движении точки M расстояние s от непоF движной точки O меняется с течением времени, s = f(t). Если в начальный момент времени t0 точка занимала положение M0, а в момент времени t занимает полоF жение M, то пройденный ею путь за промежуток вреF мени [0, t] при движении точки в одном направлении можно записать:

σ = M0 M = OM −OM0 = s −s0 .

Изменение дуговой координаты равно ds = f′(t)dt. Приращение пути:

dσ = ds = f ′(t )dt.

Путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени,

t

σ0t =∫ f′(t )dt.

0

Векторный способ задания движения точки. ПоF ложение точки в пространстве определяется задаF

Скорость — это векторная величина, которая хаF рактеризует быстроту и направление движения точки

вданной системе отсчета.

Векторный способ задания движения. ПоложеF

ние движущейся точки в каждыйrмомент времени опF ределяется радиусFвекторомr r r, который является функцией времени r = r (t). Допустим, в момент вреF мени t точка занимаетr положение М, определяемое радиусFвектором r, а в момент времени t1 = t + t r— положение М1, определяемое радиусFвектором r1, причем О — центр отсчета. Из треугольника OMM1 следует:

uuuuur uuuur uuuuur

OM1 =OM +MM1,

→ → → → →

r1 = r + r, vср = r/ t.

Вектор точки в момент времени t:

Таким образом,

→→

v =d r/ dt,

аэто значит, что вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиусFвектора точки во времени.

16а 16. Ускорение точки

Ускорение точки характеризует быстроту изменеF ния модуля и направления скорости точки. Пусть в моF

мени t, можем получить вектор среднего ускорения точки за этот промежуток:

Проекции ускорения точки на неподвижные оси деF картовых координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или перF вым производным по времени от проекции скорости на соответствующие оси.

Естественные координатные оси. Проведем в точF ке M кривой AB соприкасающуюся плоскость, норF мальную плоскость, перпендикулярную касательной, и спрямляющую плоскость, перпендикулярную соприF касающейся и нормальной плоскостям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник. Естественные координатные оси — это три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты; главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой; бинормаль, направленная по отношению к касательF ной и главной нормали.

r

14б нием радиусFвектора r, проведенного из некоF торого неподвижного центра O в данную точку М.

Чтобы определить движение точки, необходимо знать, какr изменяется с течением времени радиусFr вектор r, должнаr r быть задана векторFфункция r арF гумента t: r = r (t). Траектория точки —rэто геометриF ческое место концов радиусFвектора r движущейся точки.

Координатный способ задания движения точки.

Положение точки М в системе отсчета Oxyz опредеF ляется декартовыми координатами точки x, y, z. При движении точки М ее координаты со временем меF няются: x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t). Это уравнения дви$ жения точки в декартовых координатах. Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, можно рассматривать как параметF рические уравнения траектории точки. Например, уравнения движения точки М имеют вид x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t). Решив 1Fе уравнение, получаем

t =ϕ(x ),

после чего можно вычислить уравнение траектории точки в координатной форме:

y =f2 ϕ(x ) ; z =f3 ϕ(x ) .

Пусть движение точки М в плоскости задано уравF нениями x = f1(t); y = f2(t); тогда, исключив параметр t, получим уравнение точки в координатной форме:

y =f2 ϕ(x ) .

16б Определим проекции ускорения точки на естестF венные координатные оси:

→→

v =τ dsdt ,

→ → →

a=nv 2 ρ+τ d2s dt 2.

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной норF мали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением точки. Проекция ускорения точки на главF ную нормаль равна квадрату модуля скорости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответстF вующей точке:

an =v 2 R.

Проекция ускорения точки на касательную равна второй производной от дуговой координаты точки по времени или первой производной от алгебраической величины скорости точки по времени:

→

aτ =d2 s dt 2 =d v dt .

13б ми основанию АСВ. Центры тяжести этих пластиF нок будут лежать на прямой SF, где F — центр тяF жести площади основания, который лежит на пересеF

чении медиан, т. е.

EF = 1 EC. 3

Теперь проделаем то же самое по отношению к граF ни ASB:

значит, FO = 1OS = 1 SF.

34

Окончательно будет:

FO = 1 SF, SO = 3 SF.

44

Центр тяжести объема пирамиды лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади ее основания с вершиной на расстоянии 1/4 длины этой прямой.

15б Естественный способ задания движения.

Пусть известны траектория AB, начало и направF ление отсчета дуговой координаты, а также уравнеF ние движения точки s = f(t).

Из произвольногоr центра O проведем в точку М раF диусFвектор r и определим скорость в момент вреF мени t:

→→

v =dr/dt.

→

Вектор dr / ds направлен по касательной к кривой

в сторону увеличения дуговой координатыr.

→

Вектор dr / ds — от этого направления τ:

→→

τ=dr/ds.

Вектор скорости:

→→

v =τ ds / dt.

Значит,

→

v = v = ds dt —

модуль скорости равен абсолютному значению произF водной от дуговой координаты точки по времени.