Материал: Маленькая шпаргалка по теормеху

Статика — это раздел теоретической механики, в коF тором устанавливаются методы преобразования одF них систем сил в другие, им эквивалентные, а также условия равновесия различных систем сил, действуюF щих на твердое тело.

Материальная точка — это простейшая модель маF териального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометF рическую точку, имеющую определенную массу.

Механическая система — это любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердое тело — это механическая система, расстояние между точками которой не измеF няется при любых взаимодействиях.

Сила — это одна из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект. Сила характеризуется числовым значением, а также точкой приложения и направлением действия. Это векторная величина и обозначается она, наприF

мер, F.

Система сил — это совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело.

Система сил, эквивалентная нулю (равновесная система сил), — это такая система сил, действие коF торой на твердое тело или точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменеF нию его состояния.

Существуют следующие аксиомы.

1. О равновесии системы двух сил. Для равновеF сия системы 2Fх сил, приложенных к точкам твердого тела, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были

3а 3. Равнодействующая сходящихся сил на плоскости.

Леммы о нулевых стержнях

Равнодействующая сила при равновесии системы R =0 представляет собой замыкающую силового мноF гоугольника, или векторную сумму сил, однако, с друF гой стороны,

n

R =∑Fi .

i=1

Следовательно, условия равновесия системы схоF дящихся сил в аналитической форме будут

nn

Иными словами, для равновесия системы сходяF щихся сил, действующих на твердое тело, необходиF мо и достаточно, чтобы суммы проекции этих сил на каждую из двух прямоугольных координат осей, лежаF щих в плоскости, были равны нулю.

Фермы — это конструкции, которые состоят из прямолинейных стержней, соединенных между собой шарнирами и образующих неизменяемую геометриF ческую фигуру.

Существует определенная зависимость между коF личеством стержней (n) и количеством шарниров (k). В основном треугольнике имеются 3 стержня и 3 узла. При этом для образования одного узла требуются

2а 2. Сходящиеся силы на плоскости

Система сходящихся сил — это такая система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке — центре пучка. Пусть задана произвольная система сходящихся сил F1, F2, ..., Fn, приложенных к твердому телу. Сложение двух сходящихся сил

графически осуществляется по правилу параллелоF грамма,

R12 = F 1 + F2.

По правилу параллелограмма складываем силы R12 и F3, и получаем их равнодействующую

R123 = R12 + F3 = F1 + F2 + F3;

n

R =∑Fi .

i=1

Для плоской системы сходящихся сил одну из коордиF натных осей (обычно OZ) выбирают перпендикулярF ной силам. Таким образом, каждая из сил пучка даст проекцию на эту ось, равную нулю, а значит, будет равна нулю и проекция равнодействующей силы на ось OZ. После этого проецируют векторы векторF ного равенства на прямоугольные оси координат. ТогF да в соответствии с теоремой о проекции замыкающей получится

nn

Rx =∑Fix , Ry =∑Fiy .

4а 4. Теория пар сил, лежащих в одной плоскости. Момент силы

относительно точки на плоскости

Система двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны, называется парой сил. Пара сил, как правило, прилагается к телу (F1, F2), которое должно вращаться. Плоскость, в коF торой расположены пары сил, называется плоскос$ тью действия пары сил N. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется пле$ чом пары h. Алгебраический момент пары сил —

это взятое со знаком плюс или минус произведение одной из сил пары на плечо пары сил:

M = M(F1, F2) =±Fd.

Алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара сил стремится вращать тело против часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится враF щать тело по часовой стрелке. Алгебраический моF мент пары сил не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия и может быть равен нулю, если линии действия пары сил совпадают. Произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки

M0 (F ) =±Fh

называют алгебраическим моментом пары отно$

сительно точки. Плечо пары h относительно точ$ ки — это кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы. Две пары сил называются

2б По проекциям определяют модуль равнодейстF вующей силы и косинусы углов ее с осями коорF

динат по формулам

nn

R = (∑Fix )2 +(∑Fiy )2

i=1 i=1

и

cos(Rx, x )=Rx / R, cos(Ry , y )= Ry / R.

Следовательно, система n сходящихся сил эквиваF лентна одной силе R, которая и является равнодейF ствующей этой системы сил. Процесс последовательF ного применения правила параллелограмма означает по сути построение многоугольника из заданных сил. Этот силовой многоугольник называют замкнутым.

Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил. Для равновесия системы сходяF щихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодейF ствующая сила равнялась нулю R = 0.

Теорема о трех силах. Если твердое тело под дейF ствием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таF ких трех сил пересекаются в одной точке. Для случая трех сходящихся сил при равновесии силовой треF угольник, построенный из трех сил, должен быть замкF нутым.

4б эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях, а также если они имеют одинаковые по модулю и наF

правлению векторные моменты.

Теорема об эквивалентности пары сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить друF гой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющей одинаковый с первой парой алF гебраический момент.

Пару сил как жесткую фигуру можно поворачивать

ипереносить в плоскости ее действия как угодно. У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия. Эти операции над парами сил не изменяют их действия на твердое тело.

Теорема о сумме алгебраических моментов пары сил. Пары сил, действующие на твердое тело

ирасположенные в одной плоскости, можно привести к одной паре сил, алгебраический момент которой раF вен сумме алгебраических моментов составляющих пар сил:

n

M =∑Mi .

i=1

Пары сил, расположенные в параллельных плосF костях, также складываются, поскольку их предвариF тельно можно перенести в одну плоскость. Если сложеF ние выполнять графически, когда векторные моменты пары сил находятся в одной плоскости, то векторный момент эквивалентной пары сил будет иметь вид заF мыкающей векторного многоугольника, построенного из векторных моментов заданных пар сил.

1б равны по модулю и действовали вдоль одной прямой, проходящей через точки их приложеF

ния, в противоположных направлениях.

2.О добавлении системы сил, эквивалентной ну$ лю. Если на твердое тело действует система сил, то

кней можно добавить систему сил, эквивалентную нулю.

3.Аксиома параллелограмма сил. Две силы, дейF ствующие в одной точке твердого тела или на одну маF териальную точку, можно заменить одной равнодейF ствующей силой, равной по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на заданF ных силах:

R = F + F = F 2 + F 2 + 2F 2F 2 cos F , F .

1 2 1 2 1 2 1 2

4. Аксиома о равенстве сил действия и противо$ действия. Всякой силе действия есть равная протиF воположная сила противодействия.

Несвободное твердое тело — это тело, не имеюF щее возможность совершать в рассматриваемый моF мент любые перемещения в пространстве.

Аксиома связи: всякую связь можно отбросить или заменить силой, реакцией связей или систе$ мой сил. Реакция связи — это сила, с которой связь действует на систему материальных точек или тверF дое тело. Сила реакции связи направлена в сторону, противоположную направлению перемещения рассматF риваемого тела.

3б 2 стержня. Значит, для образования (k – 3) узлов нужно 2(k – 3). Общее число стержней:

n = 2 (k – 3) + 3,

n = 2k – 3.

Нулевыми называются стержни, ненагруженные силой, на концах которых находятся точечные шарниF ры и весом которых можно пренебречь.

Способ вырезания узлов заключается в том, что каждый узел вырезается из фермы и рассматриваетF ся отдельно, как находящийся в равновесии. Система сил, действующих на стержень, — это плоская систеF ма сходящихся сил, которая находится в равновесии. Построение силовых многоугольников всегда начиF нают с узла, в котором сходятся 2 стержня. Каждый последующий узел следует выбирать так, чтобы в нем сходилось не более двух стержней с неизвестными усилиями. Если усилия разрезанных стержней направF лены по стержням в сторону узла, то их называют сжи$ мающими, а если наоборот — растягивающими.

Леммы о нулевых стержнях.

1.Если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, и которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю, т. е. он является нулевым.

2.Стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных в шарнирах, где силы равны по величине и противоположны по направлению, т. е. его реакция также будет направлена по оси стержня.

5а 5. Система сил, произвольно расположенных на плоскости

Приведение силы к заданному центру. Силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку твердого тела, добавляя при этом пару сил, векF торный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки прилоF жения силы.

Теорема Пуансо. Любую произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил.

Главный вектор системы сил — это вектор, котоF рый равен векторной сумме этих сил. Главный вектор системы сил изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник, построенный на силах:

n

R =∑Fi .

i=1

Главный момент системы сил относительно точ$ ки тела — это сумма векторных моментов всех сил системы относительно этой точки. Главный момент L0 равняется сумме векторных моментов присоединеF ния пар:

n

L0 =∑M0 (Fi ).

i=1

Уравнения равновесия системы сил, произ$ вольно расположенных на плоскости. Пусть кажF дая из сил расположена в одной плоскости с осями координат ОX, ОY, и потому ее моменты относительF

7а 7. Система сходящихся сил в пространстве. Уравнение

равновесия сил

Система сходящихся сил — это такая система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке — центре пучка. Для аналитического опредеF ления равнодействующей силы выбирают систему прямоугольных осей координат. Проецируя векторы векторного равенства на прямоугольные оси коордиF нат, получают

По проекциям определяют модуль равнодействуюF щей силы и косинусы углов ее с осями координат по формулам:

и

cos(Rx, x )= Rx / R, cos (Ry, y )=Ry / R, cos(Rz, z)=Rz / R.

Для равновесия системы сходящихся сил, прилоF женных к твердому телу, равнодействующая сила должна обратиться в точку.

6а 6. Условия равновесия сил, приложенных к рычагу.

Сцеплениеи трение скольжения

Рычагом называется форма действия плоской систеF мы сил на объект, при которой соблюдаются те же усF ловия равновесия сил, что и для точки, на которую дейF ствует сила.

Алгебраический момент относительно точки —

это произведение модуля силы на плечо силы относиF тельно этой точки:

M0 (F ) =±Fh.

Плечо пары h относительно точки — это кратчайF шее расстояние между этой точкой и линией дейстF вия силы. Алгебраический момент относительно точки численно равен удвоенной площади треугольника, поF строенного на силе.

Векторное условие равновесия: для равновесия системы сил, приложенных к точке, необходимо и досF таточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно точки также был равен нулю.

Три условия равновесия:

n n n

∑Fix =0, ∑Fiy =0, ∑M0 (Fi ) =0.

i=1 i=1 i=1

В случае опрокидывания на устойчивое положение тела или системы тел действует возбуждающая сила, которая стремится опрокинуть объект. Положение равF

8а 8. Теория пары сил в пространстве

Пусть к тердому телу приложена пара сил (F, F′)

так, что F = −F′. Момент пары сил — это векторная величина, обозначаемая M (F, F′) и определяемая форF мулой

M (F , F ′) = A′A × F =AA′ × F ′.

Данный вектор, перпендикулярный плоскости дейF ствия пары сил, является свободным, иными слоF вами, он может быть перенесен параллельно сам себе и приложен в любой точке тела. Этот вектор направлен в ту сторону, откуда вращение, произвоF димое парой сил, происходит против хода часовой стрелки.

Плечо пары сил h — это расстояние между линиями действия сил, т. е.

|M (F, F ′)| = hF.

Теорема об эквивалентности пар сил.

1.Пару сил можно переносить, не меняя ее дейстF вия на тело, как единое целое в плоскости действия пары сил.

2.Не изменяя действий пары, плоскость действия можно переносить параллельно самой себе.

Доказательство. Пусть дана пара ( F 1, F 2) с плеF чом АВ. Если перенести плечо АВ в положение А1В1

ик точкам А1 и В1 приложить направленные в противоF положные стороны силы F3, F4 и F5, F6, равные по