Материал: Линьков С.А. Моделирование мехатронных систем

движения исполнительного привода, представленный в виде функций времени показано на рис.1.5.

t

Рис.1.5. Представление переменных, характеризующих процесс движения исполнительного привода

в виде функций времени

Таким образом, математическая модель в общем случае представляет собой систему уравнений математического описания, отражающую сущность явлений, протекающих в объекте моделирования, которая с помощью определённого алгоритма позволяет прогнозировать поведение объекта при изменении входных и управляющих параметров. Практически любой исследуемый процесс может быть отнесён к классу объектов с сосредоточенными или распределёнными параметрами. Определяющим признаком объекта с сосредоточенными параметрами является изменение параметров, описывающих его состояние только во времени. Параметры состояния для объектов с распределёнными параметрами могут изменяться как во времени, так и в пространстве, то есть могут являться функциями пространственных координат объекта.

Продолжим рассмотрение математической модели технического объекта, к которому относится и современный электропривод.

Содержание и форма модели определяются постановкой задачи и уровнем знаний о процессах в системе.

Математические модели, отражающие только структурные свойства объекта, например его геометрическую форму, взаимное расположение элементов в пространстве и тому подобное,

18

называют структурным. Структурной моделью (схемой) в теории автоматического управления называют графическое изображение математической модели автоматической системы управления в виде соединений звеньев (рис.1.6).

-Uос

W4

Рис.1.6. Структурная схема автоматической системы управления: W1…W4 – передаточные функции звеньев

Математические модели, отражающие закономерности процессов функционирования объектов, называются функциональными. К их числу можно отнести систему уравнений, описывающих электрические, тепловые или механические процессы. Функциональные модели, как правило, более сложные, так как в них отражаются также сведения о структуре объектов.

Блочно-иерархическое представление объектов проектирования на каждом уровне использует свои математические модели. Наиболее крупными, имеющими место при проектировании технических изделий иерархическими уровнями, являются три, которым соответствуют функциональные модели микро-, макро- и метауровня.

На микроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. В качестве математического аппарата обычно выступают дифференциальные уравнения в частных производных. Эти уравнения описывают, например поля электрического потенциала, напряжённо-деформированное состояние деталей механических конструкций и тому подобное, [5]. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, плотности токов, механические напряжения и деформации, температуры, давления и т.п. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты, причём пространство и время рассматриваются как непрерывные,

19

а выходными параметрами (переменными) – сопротивление резистора, характеристики механических элементов и так далее.

На макроуровне производится дискретизация пространств с выделением в качестве элементов отдельных деталей. При этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты, сохранив в качестве независимой переменной время. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве фазовых переменных в них фигурируют электрические напряжения, токи, силы, скорости, расходы, температуры и т.п. Выходными параметрами могут быть, например коэффициент усиления усилителя, передаточное число редуктора и т.д. Математические модели объектов на макроуровне состоят из компонентных уравнений элементов и топологических уравнений связи элементов. Уравнения, входящие в математическую модель элементов, называют компонентными. Для них характерно то, что они связывают разнотипные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу. Основными фазовыми переменными электрических систем являются токи и напряжения в элементах (резисторах, конденсаторах, катушках индуктивности, трансформаторах и др.).

Компонентные уравнения простых элементов имеют вид:

где i –ток, U – напряжение, R – сопротивление резистора, C – ёмкость конденсатора, L – индуктивность катушки.

Из математических моделей элементов формируются математические модели систем, в которые, наряду с компонентными уравнениями, обязательно входят уравнения, отражающие способ связи элементов между собой в составе системы, называемые топологическими. Их особенностью является то, что каждое из них связывает однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным элементам системы, [6].

Примером могут служить уравнения законов Кирхгофа. Ниже приведен пример компонентных и топологических уравнений для второго закона, записываемого для контуров Ui=0, уравнение этого вида называют еще уравнением совместимости.

С ростом числа элементов растет порядок системы уравнений, соответственно растут затраты машинного времени на

20

ее решение. Возможности моделей макроуровня оказываются исчерпанными и возникает необходимость перехода к модели третьего уровня.

Компонентные уравнения:

1.Ur=R i

2.UL=L di/dt;

3.Uc=1/c idt

Топологические уравнения:

1.Ui=0

2.U-Ur-Uc-UL=0

На информационном уровне в качестве объектов рассматриваются, например, сложные устройства и комплексы вычислительной техники, системы управления, электрические системы. Дискретность представления пространства и времени обусловливается дискретностью фазовых переменных, которыми являются величины, характеризующие состояние элементов. Роль элементов и внутренних параметров выполняют системы и выходные параметры предыдущего иерархического уровня

1.2.4. Требования, предъявляемые к математическим моделям

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования точности (адекватности), универсальности (массовости) и экономичности, [18].

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность

21

математической модели определяется степенью совпадения предсказанных или рассчитанных с ее помощью значений параметров объекта с реальными значениями. Пусть j – относительная погрешность модели по j-му выходному параметру

j = ( YMj – Yj ) / Yj ,

где YМj – j-й выходной параметр, рассчитанный с помощью модели; Yj – тот же выходной параметр, имеющий место в моделируемом объекте. Погрешность модели Eм по совокупности учитываемых выходных параметров оценивается одной из норм вектора Eм=( 1, 2,…, j), например:

Определение областей адекватности – сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро возрастают с увеличением размерности пространства внешних параметров.

Требование универсальности математической модели предполагает возможность ее применения для описания объектов достаточно широкого класса и для анализа всех или многих режимов их функционирования.

Экономичность математической модели может оцениваться прежде всего затратами машинного времени Tмаш, которое для обеспечения независимости от типа ЭВМ выражают числом элементарных операций, выполняемых при однократном решении уравнений модели. Показанием экономичности математической модели может служить также число внутренних параметров, используемых в ней. Чем больше таких параметров, тем больше затраты машинной памяти, тем больше усилий требуется для получения сведений о числовых значениях параметров и их разбросе. Требование высокой точности, большой степени универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности с другой, противоречивы. Чем детальнее в модели отражаются различные закономерности процессов, тем точнее и универсальнее модель, но тем больше требуемый объем вычислений и тем больше число используемых параметров, что приводит к снижению экономичности. Попытки сделать модель более экономичной обычно сопровождаются снижением точности,

22