Материал: Линьков С.А. Моделирование мехатронных систем

Математическая модель технического объекта есть совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, которая адекватно отображает свойства технического объекта. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация.

Различные виды моделирования - физическое, математическое и аналоговое - имеют один общий момент, который заключается в том, что моделировать можно только уже известные явления. Независимо от вида моделирования, в результате его осуществления неизбежно возникает некоторая побочная информация, не имеющая отношения к изучаемому явлению. Для эффективного исследования методом моделирования необходимо заранее знать, какого рода информация является основной с тем, чтобы на всю остальную, выходящую за ее рамки, просто не обращать внимания.

Отсюда следует вывод о том, что с помощью моделирования в принципе невозможно получение какой-то неожиданной информации, какого-то нового знания. Все неожиданное и новое будет неизбежно уничтожено при обработке результатов моделирования. То есть, получается, что с помощью моделирования нельзя сделать открытия какого-то неизвестного эффекта. Мы, может быть, даже увидим этот эффект, но отбросим его, потому что примем его за издержки моделирования. Таким образом, назначение моделирования - изучение и уточнение уже имеющейся информации о том или ином явлении, но не получение новой.

Аналоговое моделирование широко используется при изучении разного рода механизмов. Это осуществляется с помощью специально разработанных электромеханических аналогий. Данный тип моделирования является одим из важнейших видов моделирования, основанный на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими (дифференциальными, алгебраическими или какими-либо другими) уравнениями.

Простой пример - две системы, первая из которых имеющая механическую природу, состоит из оси, передающей вращение через пружину и маховик, погруженный частично в вязкую тормозящую жидкость, валу, жестко связанному с маховиком.

8

Вторая система - электрическая - состоит из источника электродвижущей силы, соединённого через катушку индуктивности, конденсатор и активное сопротивление со счётчиком электрической энергии. Если подобрать значения индуктивности, ёмкости и сопротивления так, чтобы они определённым образом соответствовали упругости пружины, инерции маховика и трению жидкости, то эти системы обнаружат структурное и функциональное сходство (даже тождество), выражаемое, в частности, в том, что они будут описываться одним и тем же дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида, [2]

Для визуального программирования в мощных математических пакетах, таких как МаtLab Simulink такие дифференциальные уравнения можно представить в операторной

основе построить структурную схему объекта регулирования.

Это уравнение может служить «теоретической моделью» обеих систем, любая же из них - «экспериментальной моделью» этого уравнения и «аналоговой моделью» друг друга. Эта аналогия лежит в основе электрического моделирования механических систем: электрические модели гораздо более удобны для экспериментального исследования, нежели моделируемые механические.

1.2. Идеальный операционный усилитель и его основные характеристики

1.2.1. Свойства операционного усилителя

Применение ОУ в электронике чрезвычайно широко — операционный усилитель, вероятно, наиболее часто встречающийся элемент в аналоговой схемотехнике. Добавление лишь нескольких внешних компонент делает из ОУ конкретную схему аналоговой обработки сигналов.

Операционный усилитель изначально был спроектирован для выполнения математических операций (отсюда его название), путём использования напряжения как аналоговой величины. Такой подход лежит в основе аналоговых компьютеров, в которых ОУ

9

использовались для моделирования базовых математических операций (сложение, вычитание, интегрирование, дифференцирование и т. д.). Однако идеальный ОУ является многофункциональным схемотехническим решением, он имеет множество применений помимо математических операций.

Идеальный операционный усилитель

Для того, чтобы рассматривать функционирование ОУ в режиме с обратной связью, необходимо вначале ввести понятие

идеального операционного усилителя. Идеальный ОУ является физической абстракцией, то есть не может реально существовать, однако позволяет существенно упростить рассмотрение работы схем на ОУ благодаря использованию простых математических моделей.

Идеальный ОУ обладает следующими характеристиками: 1.Бесконечно большой коэффициент усиления с разомкнутой

петлей обратной связи Gopenloop.

2.Бесконечно большое входное сопротивление входов V- и V+. Другими словами, ток, протекающий через эти входы, равен нулю.

3.Нулевое выходное сопротивление выхода ОУ.

4.Способность выставить на выходе любое значение напряжения.

5.Бесконечно большая скорость нарастания напряжения на выходе ОУ.

6.Полоса пропускания: от постоянного тока до бесконечности.

Пункты 5 и 6 в действительности следуют из формулы (1.1), поскольку в неё не входят временны́е задержки и фазовые сдвиги. Из перечисленных условий следует важнейшее свойство идеального ОУ, упрощающее рассмотрение схем с его использованием:

Идеальный ОУ, охваченный отрицательной обратной связью, поддерживает одинаковое напряжение на своих входах.

Другими словами, при указанных условиях всегда выполняется равенство:

(1.1)

Не следует думать, что ОУ выравнивает напряжения на своих входах, подавая напряжение на входы «изнутри». На самом деле ОУ выставляет на выходе такое напряжение, которое через

10

обратную связь подействует на входы таким образом, что разность входных напряжений уменьшится до нуля.

Легко убедиться в справедливости равенства (1.1). Допустим, (1.1) нарушено — имеет место небольшая разность напряжений. Тогда входное дифференциальное напряжение, усиленное в ОУ, вызвало бы (вследствие бесконечного коэффициента усиления) бесконечно большое выходное напряжение, которое, в соответствии с определением ООС, ещё уменьшило бы разность входных напряжений. Заметим, что выходное напряжение может быть любым — оно определяется видом обратной связи и входным напряжением.

Операционный усилитель почти всегда охвачен глубокой отрицательной обратной связью, свойства которой и определяют свойства схемы с ОУ.

Принцип введения отрицательной обратной связи иллюстрируется рис. 1.1.

Рис. 1.1. Принцип отрицательной обратной связи

Часть выходного напряжения возвращается через цепь обратной связи ко входу усилителя. Если, как это показано на рис. 1, напряжение обратной связи вычитается из входного напряжения, обратная связь называется отрицательной.

Для физического анализа схемы, представленной на рис. 1, допустим, что входное напряжение изменилось от нуля до некоторого положительного значения Uвх. В первый момент выходное напряжение Uвых, а следовательно, и напряжение

обратной связи Uвых также равны нулю. При этом напряжение,

приложенное ко входу операционного усилителя, составит Uд = Uвх. Так как это напряжение усиливается усилителем с большим коэффициентом усиления KU, то величина Uвых быстро возрастет до некоторого положительного значения и вместе с ней возрастет

также величина Uвых. Это приведет к уменьшению напряжения

11

Uд, приложенного ко входу усилителя. Тот факт, что выходное напряжение воздействует на входное напряжение, причем так, что это влияние направлено в сторону, противоположную изменениям входной величины и есть проявление отрицательной обратной связи. После достижения устойчивого состояния выходное напряжение ОУ

Решив это уравнение относительно Uвых, получим:

K=Uвых /Uвх =KU/(1 + KU) (1.2)

Таким образом, из соотношения (1.2) следует, что коэффициент усиления ОУ с обратной связью определяется почти исключительно только обратной связью и мало зависит от параметров самого усилителя, [18]. В простейшем случае цепь обратной связи представляет собой резистивный делитель напряжения. При этом схема с ОУ работает как линейный усилитель, коэффициент усиления которого определяется только коэффициентом ослабления цепи обратной связи. Если в качестве цепи обратной связи применяется RC-цепь, то образуется активный фильтр. Наконец, включение в цепь обратной связи ОУ диодов и транзисторов позволяет реализовать нелинейные преобразования сигналов с высокой точностью.

Реальные ОУ, основанные на транзисторах, электронных лампах или других активных компонентах, выполненные в виде дискретных или интегральных схем, являются приближением к идеальным. На рис.1.2 показано схематичное изображение операционного усилителя.

Рис. 1.2. Обозначение операционного усилителя на схемах

Выводы имеют следующее значение:

• V+: неинвертирующий вход;

12